尹健
摘 要:本文將對(duì)彈性勢能的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo),以及對(duì)在不同零點(diǎn)位置的勢能問題做出解釋,并展開一系列有關(guān)彈性勢能的分析討論。
關(guān)鍵詞:彈性勢能;勢能表達(dá)式;零點(diǎn)問題;勢能相對(duì)性
一、彈性勢能表達(dá)式的推導(dǎo)
(一)坐標(biāo)原點(diǎn)為勢能零點(diǎn)且可在任意位置
如圖1所示,選取勢能零點(diǎn)為A點(diǎn),則可以求出B點(diǎn)的彈性勢能為Epx=1/2K(X-X0)2;O點(diǎn)的彈性勢能為Epo=KX02/2;由B點(diǎn)和O點(diǎn)的彈性勢能表達(dá)式可以得出O、B兩點(diǎn)的勢能差為ΔEp=K(X-X0)2/2-KX02/2=KX2/2-KXX0。若又以O(shè)點(diǎn)為勢能零點(diǎn),根據(jù)彈性勢能具有的相對(duì)性可以得到:Ep=KX2/2-KXX0;該式可作為彈性勢能的一般表達(dá)式,即表示O為勢能零點(diǎn)時(shí),任意一點(diǎn)X的彈性勢能。其中當(dāng)X0=0時(shí),Ep=KX2/2。
如圖2所示,為該情形下的勢能曲線圖。勢能曲線所反映的內(nèi)容有:當(dāng)X=0或X=2X時(shí),存在兩個(gè)勢能零點(diǎn),當(dāng)0
(二)坐標(biāo)原點(diǎn)在自然端點(diǎn),勢能零點(diǎn)為任意點(diǎn)
如圖3所示,我們將彈簧振子的自然端定為坐標(biāo)原點(diǎn),零勢能點(diǎn)為A點(diǎn),要求X點(diǎn)的彈性勢能。當(dāng)O點(diǎn)為零勢能點(diǎn)時(shí),可以求得X點(diǎn)處的彈性勢能為Epx=KX2/2;A點(diǎn)的彈性勢能同樣可求得為Epa=KX02/2;于是可得,A、X兩點(diǎn)之間的勢能差為ΔEp=KX2/2-KX02/2;當(dāng)X0點(diǎn)為零勢能點(diǎn)時(shí),由于勢能具有相對(duì)性,則可以求得任意點(diǎn)X處的彈性勢能為:Ep=KX2/2-KX02/2;在該式中,當(dāng)XO=0時(shí),Epa=KX2/2。
如圖4所示,為該種情況下的勢能曲線圖。該勢能曲線圖反映的內(nèi)容有:當(dāng)X=-X0或X=X0時(shí),Ep=0;當(dāng)-X0
綜上所述:當(dāng)自然端作為勢能零點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的彈性勢能的表達(dá)式為:Ep=KX2/2;當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)為勢能零點(diǎn),但不為自然端時(shí)的彈性勢能的表達(dá)式為:Ep=KX2/2-KXX0;當(dāng)自然端為坐標(biāo)原點(diǎn),但勢能零點(diǎn)為任意點(diǎn)時(shí)的彈性勢能的表達(dá)式為:Ep=KX2/2-KX02/2;當(dāng)零勢能點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)其中一個(gè)不在自然端時(shí),存在雙勢能零點(diǎn),其值可正可負(fù)。
二、雙勢能零點(diǎn)問題的解釋
由上文對(duì)彈性勢能表達(dá)式的推導(dǎo)過程及結(jié)果可以得出結(jié)論:在彈性勢能的計(jì)算過程中,零勢能點(diǎn)的選擇決定了彈性勢能的表達(dá)式。我們以彈簧為例,首先,選擇彈簧自由長度即不伸長也不縮短的位置作為彈性勢能的零值點(diǎn),通過推導(dǎo)計(jì)算可得這時(shí)的彈性勢能表達(dá)式為:Ep0=KX2/2;其次,再選擇彈簧伸長量為x的A點(diǎn)處為彈性勢能零值點(diǎn),其中x為一常量,通過推導(dǎo)計(jì)算同樣可得彈性勢能表達(dá)式為:EpA=KX2/2-KX02/2;比較以上得出的兩個(gè)表達(dá)式可知,彈性勢能零值在彈簧原長處時(shí)與彈性勢能零值在伸長量x處時(shí)相差KX02/2。因此,彈性勢能零值不在彈簧原長時(shí)的表達(dá)式并不能直接等于Ep=(X-X0)2/2。
在零勢能點(diǎn)的選取問題中,通常認(rèn)為彈性勢能具有相對(duì)性。彈性勢能為標(biāo)量,由于相對(duì)性的存在,也存在勢能的正負(fù)之分,其含義為:彈性勢能為正時(shí)系統(tǒng)在該狀態(tài)的彈性勢能大于零勢能點(diǎn)的勢能;與之相反,彈性勢能為負(fù)時(shí)系統(tǒng)在該狀態(tài)的彈性勢能小于零勢能點(diǎn)的勢能。由于系統(tǒng)的彈性勢能產(chǎn)生與否由彈力的作用決定,在通常情況下,我們選擇彈力作用的臨界點(diǎn)即無形變狀態(tài)為零勢能點(diǎn),因此,無論是伸長還是壓縮,彈力總是做負(fù)功,系統(tǒng)的彈性勢能也總是為正,在后期解題過程中是需要注意的。
參考文獻(xiàn):
[1]李力舟.對(duì)彈性勢能問題的一些討論[J].青海師專學(xué)報(bào):教育科學(xué)版,2004(5).
[2]徐建兵.實(shí)驗(yàn)探究彈性勢能的表達(dá)式[J].物理教師,2010(2).