混合變分不等式的變分原理

黃冬梅

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

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混合變分不等式的變分原理

黃冬梅

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

描述并分析了有限維空間中混合變分不等式的變分原理,同時(shí)給出了混合變分不等式的解基于鞍點(diǎn)的刻畫(huà),最后,針對(duì)一些特殊情型給出了混合變分不等式問(wèn)題基于經(jīng)典優(yōu)化問(wèn)題的等價(jià)性刻畫(huà)。因?yàn)榫€性，非線性補(bǔ)問(wèn)題也可納入混合變分不等式問(wèn)題的框架，所以文章中得到的結(jié)果也可以直接用于這類問(wèn)題。

變分不等式；混合變分不等式；變分原理

0 引 言

混合變分不等式是Duvaut與Lions在文獻(xiàn)[1]中引入的,

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,?y∈K，

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

為了描述問(wèn)題(1)的變分原理,先介紹一些凸分析中的基本概念和結(jié)果[6,7]。

定義的函數(shù)δK稱為K的示性函數(shù)。由δK的定義,可以驗(yàn)證δK是一個(gè)閉正常凸函數(shù)而且domδK=K。

f(y)-f(x)≥〈ξ,y-x〉

則稱ξ為凸函數(shù)f在點(diǎn)x處的次梯度。一般來(lái)說(shuō),在某點(diǎn)處的次梯度未必只有一個(gè),將f在點(diǎn)x處的全體次梯度構(gòu)成的集合記為?f(x),并稱之為f在點(diǎn)x處的次微分。

這表明，x∈levf(f°g,β)，即f°g下半連續(xù)。

即f+g是閉的。

凸函數(shù)的次微分與共軛函數(shù)之間有著如下的聯(lián)系[6,7]。

此外,若f為閉正常凸函數(shù),則ξ∈?f(x)也等價(jià)于x∈?f*(ξ)。

有了上述準(zhǔn)備, 可以將混合不等式問(wèn)題(1)的解與函數(shù)次微分之間聯(lián)系起來(lái)。

證明 先證充分性。由于K為閉凸集,δK為閉正常凸函數(shù),又由于f也為閉正常凸函數(shù),且domf∩K≠?，利用引理1,f+δK也為閉正常凸函數(shù)。假設(shè)-F(x)∈?(f+IK)(x),則

(f+δK)(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉。

(2)

特別地,取y∈domf∩K,則上式變?yōu)?/p>

f(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉,

這表明x∈K。在(1)中取y∈K,則有

f(y)-f(x)≥〈-F(x),y-x〉,?y∈K,

也即

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0,?y∈K。

這樣,x是混合變分不等式問(wèn)題(1)的解。

再證必要性,假設(shè)x∈K是混合變分不等式問(wèn)題(1)的解,則對(duì)任意的y∈K,有

〈F(x),y-x〉+f(y)-f(x)≥0，

從而

(f+δK)(y)-(f+δK)(x)≥〈-F(x),y-x〉。

由次梯度的定義,有-F(x)∈?(f+δK)(x)。

2 混合變分不等式問(wèn)題的變分原理

(3)

(4)

我們有如下的結(jié)果:

(f+h+δK)(x)+(f+h+δK)*(ξ)≥〈ξ,x〉。

(5)

特別地,任取ξ=▽h(x)-F(x)及x∈K,有

f(x)+h(x)+(f+h+δK)*(▽h(x)-F(x))≥〈▽h(x)-F(x),x〉，

(6)

即是

(7)

(8)

其中h如(3)所定義。

(9)

我們有如下的結(jié)論：

(h+δK)(x)+(h+δK)*(ξ)≥〈x,ξ〉。

(10)

由于domf∩domh∩K≠?,特別地,任取ξ=-F(x)-▽f(x)+▽h(x)及x∈K,有

h(x)+(h+δk)*(-F(x)-▽f(x)+▽h(x))≥〈x,-F(x)-▽f(x))+▽h(x)〉，

從而

由于f,h在包含K的某個(gè)開(kāi)鄰域上連續(xù)可微, 由次微分定義有

?h(x)={▽h(x)},?f(x)={▽f(x)}。

從而有

-F(x)∈?(f+δK)(x)。

由引理2,知x是混合變分不等式(1)的解。

(3)證明與定理1對(duì)應(yīng)結(jié)果的證明類似。

3 混合變分不等式的解與鞍點(diǎn)

在本節(jié)中,K,f,h與前面一樣且K?domf∩domh。為了引入與定理1中的變分原理相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變分原理,定義L1∶K×K→(-∞,+∞)如下：

L1(x,y)=〈y-x,▽h(x)-F(x)〉+f(x)-f(y)+h(x)-h(y)。

(11)

當(dāng)f在包含K的某個(gè)鄰域上連續(xù)可微時(shí),下面引入與定理2中的變分原理相對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變分原理。定義L2∶K×K→(-∞,+∞)

L2(x,y)=〈F(x)+▽f(x)-▽h(x),x-y〉+h(x)-h(y)。

(12)

且有與定理3類似的如下結(jié)果。

證明 與定理3的證明類似。

4 例子

本節(jié)將給出第3節(jié)中關(guān)于變分不等式(1)變分原理應(yīng)用的一些具體例子。

例1 設(shè)混合變分不等式(1)中的K是一個(gè)閉凸集,f在包含K的某個(gè)開(kāi)鄰域上連續(xù)可微,則在(8)中取h(x)≡0,有

F(x)+▽f(x)∈K*,〈F(x)+▽f(x),x〉=0。

當(dāng)然,它們也都等價(jià)于如下的最小值問(wèn)題

在(8)中令h≡0,x∈K,由定理2,混合變分不等式問(wèn)題(1)等價(jià)于求如下函數(shù)的最小值問(wèn)題

[1] DUVAUT G，LIONS J.Les inequations en mechanique et en physique[M].Paris：Dunod,1972.

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Variational Principles for Mixed Variational Inequalities

HUANG Dongmei

(College of Mathematic and Information,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637002,China)

The theory of mixed variational inequality problems has wide applications in economics,finance,optimization and game theory.This paper describes and analyzes variational principles for the solution of mixed variational inequalities on closed convex sets in finite dimensional Euclidean spaces.A saddle point characterization of the solution is also given.Some special cases are also given to illustrate mixed variational inequalities.Since linear,and nonlinear complementarity problems may be framed as mixed variational inequalities,this theory also applies to such problems.

variational inequality;mixed variational inequality;variational principle

1673-5072(2016)03-0297-06

2015-12-26 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371015)；教育部科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)項(xiàng)目(211163);四川省青年科技基金(2012JQ0035)

黃冬梅(1980—) , 女, 湖北荊州人,講師,主要從事優(yōu)化理論及應(yīng)用研究。

黃冬梅，E-mail: huangdmmath@163.com

O221

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.03.012