基于時變波動率與混合對數(shù)正態(tài)分布的50ETF期權(quán)定價

王 鵬，楊興林

西南財經(jīng)大學(xué) 中國金融研究中心，成都 611130

基于時變波動率與混合對數(shù)正態(tài)分布的50ETF期權(quán)定價

王 鵬，楊興林

西南財經(jīng)大學(xué) 中國金融研究中心，成都 611130

經(jīng)典B-S期權(quán)定價模型經(jīng)歷了從常數(shù)波動率、正態(tài)分布到時變波動率、非正態(tài)分布的發(fā)展歷程。

對已有針對時變波動率期權(quán)定價模型效果的研究進行擴展，以時變波動率模型SSP對經(jīng)典B-S期權(quán)定價公式的常數(shù)波動率進行修正，該隨機條件波動率的構(gòu)建充分反映了未來標(biāo)的資產(chǎn)收益對其波動率的影響；運用廣義學(xué)生t分布構(gòu)建時變波動率調(diào)整后的B-S期權(quán)定價公式，并研究其風(fēng)險中性概率分布形狀，引入混合對數(shù)正態(tài)模型捕捉實際收益率分布相對于正態(tài)收益率分布的偏離；采用2015年2月9日、2月16日和2月25日的50ETF期權(quán)高頻數(shù)據(jù)，應(yīng)用嚴謹?shù)膮?shù)顯著性檢驗、樣本內(nèi)定價偏差和樣本外預(yù)測偏差的模型選擇比較標(biāo)準(zhǔn)，對提出的具有時變波動率的混合對數(shù)正態(tài)期權(quán)定價模型的定價精度進行分析。

研究結(jié)果表明，中國50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)高頻收益率呈現(xiàn)出較為明顯的有偏和尖峰厚尾分布，收益波動具有明顯的聚集特征和長記憶性；采用時變波動率修正后的B-S模型能夠顯著提高對中國50ETF期權(quán)的定價精度；在綜合考慮模型對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化動力學(xué)的刻畫效果以及對期權(quán)的定價精確性后，具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型是一個相對更為合理的期權(quán)定價模型。

研究結(jié)果不僅為投資者和監(jiān)管機構(gòu)提供了更為準(zhǔn)確的期權(quán)定價方法，同時也豐富了有關(guān)中國50ETF期權(quán)典型統(tǒng)計特征的研究。

混合對數(shù)正態(tài)分布；時變波動率；Black-Scholes模型；期權(quán)定價；50ETF

1 引言

近年來，對期權(quán)定價的研究是現(xiàn)代金融理論的重要內(nèi)容之一，期權(quán)作為一種衍生性金融工具，對于活躍金融市場、完善金融市場價格發(fā)現(xiàn)功能具有重要意義。因此，對期權(quán)進行精確定價不僅直接影響到機構(gòu)投資者和個人投資者的投資策略，而且還可以為金融監(jiān)管當(dāng)局提供相關(guān)決策的信息支持。與此同時，標(biāo)志著中國正式擁有了全套主流金融衍生產(chǎn)品的50ETF期權(quán)的成功上市，使中國監(jiān)管機構(gòu)、做市商和投資者等對于期權(quán)的定價精度的要求提高，因此，對于如何改善期權(quán)定價模型的定價精度的相關(guān)研究具有實踐意義。

2 相關(guān)研究評述

在已有研究中，由于BLACK et al.[1]提出的經(jīng)典B-S模型邏輯嚴密、形式優(yōu)美、涉及變量較少及計算相對簡便，被理論界和實務(wù)界廣泛用于為衍生品定價[2-4]。但是，由于經(jīng)典B-S模型的假設(shè)條件中存在若干與實際市場運行特征不符之處，如現(xiàn)實中存在的金融資產(chǎn)(經(jīng)驗)收益率的時變波動性[5-7]和其非正態(tài)性[8-10]說明經(jīng)典B-S模型常數(shù)波動率和正態(tài)分布的假設(shè)有誤，因此學(xué)者們在經(jīng)典B-S模型上進行了許多有意義的改進[11-12]。

首先，由于波動率是對標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險的二階矩刻畫且也是期權(quán)定價建模的重要組成部分，因此對經(jīng)典B-S模型的常數(shù)波動率假設(shè)進行修正成為金融實務(wù)界關(guān)注的熱點。CHRISTOFFERSEN et al.[13]和BYUN et al.[14]對期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率采用GARCH波動率建模，構(gòu)建風(fēng)險中性估值模型，并發(fā)現(xiàn)GARCH波動率模型比經(jīng)典B-S模型中的常數(shù)波動率模型能夠更好地解釋已被充分證實存在的系統(tǒng)性偏差； CHRISTOFFERSEN et al.[15]和CORSI et al.[16]采用高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建實現(xiàn)波動率模型，發(fā)現(xiàn)得到的隨機波動率期權(quán)定價模型具有更好的定價效果；CHEN et al.[17]和ALS et al.[18]通過構(gòu)建隱含波動率模型實現(xiàn)對標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動預(yù)測，進而取得了更好的期權(quán)定價效果。中國也有許多關(guān)于常數(shù)波動率修正的有價值的研究[19-21]。

其次，許多學(xué)者對于標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布的非正態(tài)性展開研究，取得了許多有價值的成果。趙攀等[22]提出Tsallis分布的歐式期權(quán)定價模型，并在對上證指數(shù)數(shù)據(jù)實證分析中發(fā)現(xiàn)Tsallis分布對資產(chǎn)收益率尖峰厚尾及偏尾等現(xiàn)象的捕捉更為精確；KIM et al.[23]和HUANG et al.[24]認為廣義極值分布和廣義的Logistic分布更能準(zhǔn)確地刻畫標(biāo)的資產(chǎn)收益率厚尾特征，通過對標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期權(quán)實證研究，發(fā)現(xiàn)這些分布可以讓修正后的經(jīng)典B-S模型具有更好的靈活性和實用性；JIMéNEZ et al.[25]和MOSCOSO et al.[26]研究發(fā)現(xiàn)廣義Tukey分布由于考慮了標(biāo)的資產(chǎn)收益率的偏度和峰度，更能準(zhǔn)確描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率的分布特征，使在該分布修正下的經(jīng)典B-S模型具有更高的定價精度。

另外，也有學(xué)者從其他視角對期權(quán)定價進行了研究，為后續(xù)改善期權(quán)定價精度的研究提供了新的渠道和方法。FRY-MCKIBBIN et al.[27]認為在金融危機時期外匯期權(quán)的定價會出現(xiàn)比較嚴重的偏差，降低了風(fēng)險對沖效率，這是由于沒能將刻畫市場之間的風(fēng)險傳染的協(xié)偏度考慮進傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型中；RECCHIONI et al.[28]在雷曼兄弟倒閉和歐債主權(quán)債務(wù)危機發(fā)生導(dǎo)致美國和歐元區(qū)負的政府債券收益率的大背景下，通過構(gòu)建負利率的期權(quán)定價模型，實證發(fā)現(xiàn)該模型在負利率出現(xiàn)時具有更好的定價精度和波動率預(yù)測效果；傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型很少考慮市場流動性的沖擊對期權(quán)買賣價差的影響，LEIPPOLD et al.[29]考慮市場流動構(gòu)建了隨機流動性模型，并結(jié)合多維二叉樹方法成功地對標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)看漲和看跌期權(quán)進行了校準(zhǔn)。

盡管對于期權(quán)定價的研究已經(jīng)取得了很多有價值的成果，但大多數(shù)研究要么集中于對常數(shù)波動率假設(shè)的單方面修正[30-32]，要么僅對資產(chǎn)價格分布進行重新刻畫[22,33-34]，還很少見到同時對常數(shù)波動率和正態(tài)分布進行修正以提高期權(quán)定價精度的系統(tǒng)性研究。另外，中國專門針對上證50ETF期權(quán)定價的研究成果較少，楊瑞杰[35]在上證50ETF期權(quán)推出后，對期權(quán)交易能否提高標(biāo)的資產(chǎn)定價效率進行了研究。

本研究同時修正了經(jīng)典B-S模型中標(biāo)的資產(chǎn)收益率為常數(shù)波動率和標(biāo)的資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布這兩大與實際市場運行特征不符的核心假設(shè)。①ROSENBERG et al.[36-37]提出的條件方差方程式能夠準(zhǔn)確地度量方差對于對數(shù)正態(tài)分布的偏離以及反映金融資產(chǎn)收益率的時變波動性特征，因此采用ROSENBERG et al.[36-37]提出的條件方差方程式和LYE et al.[38]提出的靈活參數(shù)分布構(gòu)建具有時變波動性特征的B-S模型；②MELICK et al.[39]提出的混合對數(shù)正態(tài)分布相較于正態(tài)分布也能更好地刻畫標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布偏度、峰度和多峰等特征，因而引入MELICK et al.[39]提出的混合對數(shù)正態(tài)分布構(gòu)建具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型；③以上證50ETF期權(quán)為實證研究對象，考察并比較本研究構(gòu)建的具有時變波動性特征的B-S模型與具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型的定價精度，進而得到更為合理的看漲期權(quán)定價模型。

3 理論介紹和模型構(gòu)建

3.1 時變波動率的理論介紹

由于經(jīng)典B-S模型下的分布密度函數(shù)對于實際收益率分布的刻畫往往具有很大的偏離，因而ROSENBERG et al.[36-37]采用著名的Sigma形狀多項式(Sigma shape polynomial，SSP)對這一缺陷進行修正，表達式為

(1)

(2)

隨后，LIM et al.[40]在對S&P 500指數(shù)期權(quán)進行高階矩參數(shù)期權(quán)定價時也構(gòu)建了SSP變形形式，即

(3)

基于上述研究發(fā)現(xiàn)，對于SSP模型只用到總收益對數(shù)項就能充分反映金融資產(chǎn)(經(jīng)驗)收益率的時變波動性特征，并能充分捕捉對數(shù)正態(tài)分布對于實際分布的偏離。因此，本研究構(gòu)建的期權(quán)定價模型均采用(3)式的條件波動率。

與建立在滯后收益上的GARCH類時變波動率模型相比，(3)式具有許多優(yōu)勢。首先，體現(xiàn)了期權(quán)價格的決定與標(biāo)的資產(chǎn)未來價格變化的聯(lián)系；其次，所有隨機性都源自于資產(chǎn)價格本身的隨機性，沒有額外的殘差項產(chǎn)生；最后，計算相對簡便。

3.2 構(gòu)建具有時變波動性特征的B-S模型

在對期權(quán)鞅定價的研究中，INGERSOLL[41]和HULL[42]認為對于一份t時刻歐式看漲期權(quán)估值的核心思想是風(fēng)險中性條件下的均值現(xiàn)金流貼現(xiàn)，即

F(St)=EQ[e-rτmax(ST-X,0)|St]

(4)

其中，F(xiàn)(St)為在EQ[·|St]下的理論期權(quán)價格，EQ[·|St]為風(fēng)險中性概率測度，r為每日的無風(fēng)險利率，τ為期權(quán)的到期天數(shù)，X為期權(quán)的執(zhí)行價格。變換(4)式可得風(fēng)險中性概率分布的廣義形式，即

(5)

(6)

其中，zT為均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)隨機變量。

LYE et al.[38]認為，廣義學(xué)生t分布的特點是具有很強的參數(shù)靈活性，能夠通過參數(shù)賦值得到正態(tài)、學(xué)生t等各種分布。廣義學(xué)生t分布具有的高階矩項也為刻畫標(biāo)的資產(chǎn)收益率構(gòu)建更為復(fù)雜的分布創(chuàng)造了條件。本研究僅選取廣義學(xué)生t分布經(jīng)參數(shù)賦值后得到的正態(tài)分布進行研究，通過此分布重構(gòu)具有時變波動性特征的經(jīng)典B-S模型。本研究重構(gòu)具有時變波動性特征的經(jīng)典B-S模型，步驟如下。

(1)假設(shè)(6)式中的標(biāo)準(zhǔn)隨機變量zT服從LYE et al.[38]提出的廣義學(xué)生t分布，進而根據(jù)LIM et al.[40]所構(gòu)建的一般隨機變量在廣義學(xué)生t分布下的概率密度函數(shù)得到本研究構(gòu)建模型所需的標(biāo)準(zhǔn)隨機變量zT的概率密度函數(shù)，即

-∞

(7)

其中，θ1～θ6、γ為參數(shù)，θ1～θ6刻畫了標(biāo)準(zhǔn)隨機變量zT的不同分布形狀，γ的平方項為自由度；k為積分常數(shù)，具體形式為

(8)

p(zT)=ke-0.5z2T

(9)

(2)運用p(zT)求風(fēng)險中性概率密度g(ST|St)，即

g(ST|St)=|J|p(zT)

(10)

其中，J為能夠?qū)崿F(xiàn)從現(xiàn)實測度(P測度)到風(fēng)險中性測度(Q測度)的雅可比行列式，即

(11)

將(10)式代入(11)式得到風(fēng)險中性概率密度，即

(12)

(3)將本研究構(gòu)建的風(fēng)險中性概率密度(12)式代入(5)式，得到在風(fēng)險中性概率測度下具有時變波動性特征的B-S模型(簡記為Normal)，即

F(St)=BS(σT|t)

(13)

(4)進一步假定(3)式中的β2=0，可以得到波動率為常數(shù)的風(fēng)險中性概率密度，即

(14)

將在常數(shù)波動率下的風(fēng)險中性概率函數(shù)代入(5)式，得到波動率為常數(shù)的經(jīng)典B-S模型，即

F(St)=BS(σ)=StN(d1)-Xe-rtN(d2)

(15)

其中，σ為經(jīng)典B-S模型假設(shè)下的常數(shù)波動率，σ=exp (β1)。d1和d2的具體形式為

(16)

3.3 構(gòu)建具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型

由于眾多實證研究結(jié)果表明金融資產(chǎn)(經(jīng)驗)收益率并不服從正態(tài)分布，而是具有偏態(tài)、厚尾等典型特征。因此，本研究采用MELICK et al.[39]提出的能夠準(zhǔn)確刻畫真實分布的混合對數(shù)正態(tài)分布，通過該分布構(gòu)建具有時變波動性特征的混合對數(shù)模型，對經(jīng)過時變波動率修正后的B-S模型(即(13)式)進一步改進。

(1)混合對數(shù)正態(tài)分布模型在常數(shù)波動率下的定價方程式為

F(St)=αBS(σ1)+(1-α)BS(σ2) 0<α<1

(17)

其中，BS(σi)為常數(shù)波動率下的經(jīng)典B-S模型，具體表達形式如(15)式所示，i=1,2；α為衡量下屬兩個對數(shù)正態(tài)分布的權(quán)重參數(shù)。

(2)運用(3)式構(gòu)建的時變波動率對(17)式中的常數(shù)波動率進行調(diào)整，得到時變波動率調(diào)整后的混合對數(shù)模型(簡記為Mixture)，即

F(St)=αBS(σ1,T|t)+(1-α)BS(σ2,T|t)

(18)

(19)

4 具有時變波動性特征的風(fēng)險中性概率分布模擬

為探討(12)式中風(fēng)險中性概率的分布形狀，下面在不同的參數(shù)設(shè)置下對g(ST|St)進行模擬分析。

(1)假定當(dāng)期現(xiàn)貨價格St=2.500，未來到期日的現(xiàn)貨價格ST以0.025的步長從1.500～3.500變化，期權(quán)存續(xù)期為半年(約180天)，年無風(fēng)險利率為0.500。

(2)通過β2的不同取值分析時變波動率對于風(fēng)險中性概率分布的影響。圖1給出當(dāng)收益率為正態(tài)分布時，β1固定為-2時，風(fēng)險中性概率分布形狀受β2變化的影響。由圖1可知，在β1固定的條件下，當(dāng)β2= 0時所得分布恰為經(jīng)典B-S模型下的風(fēng)險中性概率分布，β2取值越大得到的風(fēng)險中性概率分布越正偏。

(3)比較LYE et al.[38]提出的廣義學(xué)生t分布(7)式在參數(shù)賦值約束條件下所得的風(fēng)險中性概率分布g-gst[ST]與經(jīng)典B-S模型中的風(fēng)險中性概率分布g-logn[ST]的一致性，圖2給出在同一坐標(biāo)軸下g-gst[ST]和g-logn[ST]的風(fēng)險中性概率分布。由圖2可知，兩種情況下的風(fēng)險中性概率密度分布完全重合，很好地證實了廣義學(xué)生t分布可以通過參數(shù)賦值得到經(jīng)典B-S模型中的風(fēng)險中性概率分布，進而為本研究的Normal模型和Mixture模型的構(gòu)建提供了有力的支撐。

5 Normal模型與Mixture模型實證研究結(jié)果對比

5.1 數(shù)據(jù)描述

本研究樣本數(shù)據(jù)為2015年2月9日、2015年2月16日和2015年2月25日的每日歐式看漲期權(quán)的一分鐘高頻報價以及同一時刻的現(xiàn)貨價格，數(shù)據(jù)來源于Wind資訊。由于滬深股票交易所在每個交易日的9:30分開盤，到11:30中午休市，然后在13:00開盤，到15:00收盤，每天有4個小時共240分鐘的連續(xù)競價交易時間，對于每一交易日的20份歐式看漲期權(quán)，可獲得4 800個樣本點。另外，分別選取與上述3日相鄰交易日的高頻數(shù)據(jù)用于對本研究構(gòu)建模型的預(yù)測效果評估。以2015年2月9日為例，首先估計得到該交易日對應(yīng)期權(quán)定價模型的參數(shù)，然后運用這些參數(shù)分別對2015年2月10日和2015年2月11日的期權(quán)價格進行預(yù)測，最后比較預(yù)測價格與實際價格之間的誤差。

圖1 收益率為正態(tài)分布條件下β2變化對于風(fēng)險中性概率分布的影響Figure 1 The Influence of the Variation of the β2on Risk Neutral Probability Distributions, Assuming Normality in Returns

圖2 廣義學(xué)生t分布與經(jīng)典B-S模型的風(fēng)險中性概率分布Figure 2 Risk Neutral Probability Distributions for GST and B-S

(a)收益率波動 (b)收益率頻率

均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度J?BADFQ(8)Q(9)2015年2月9日0．0080．1240．611???2．356???1408．900???-15．146???88．113???89．780???

注：***為在1%水平下顯著，下同；峰度為超額峰度系數(shù)，正態(tài)分布的超額峰度系數(shù)為0.000；J-B為檢驗收益率是否服從正態(tài)分布的Jarque-Bera統(tǒng)計量；ADF為以最小AIC準(zhǔn)則確定最優(yōu)檢驗滯后階數(shù)后得到的Augmented Dickey-Fuller單位根檢驗統(tǒng)計量；Q(8)為滯后階數(shù)為8的收益率Ljung-BoxQ統(tǒng)計量；Q(9)為滯后階數(shù)為9的收益率Ljung-BoxQ統(tǒng)計量。

需要指出的是，若本研究所構(gòu)建的Normal模型與Mixture模型涉及分紅時，需要對模型中的現(xiàn)貨價格St進行Ste-diτ分紅剔除處理，其中di為分紅比例；然后用剔除分紅后的現(xiàn)貨價格Ste-diτ替換現(xiàn)貨價格St并代入模型，即可求得考慮分紅因素后的理論期權(quán)價格。然而本研究的實證研究對象50ETF在2015年度并無分紅記錄，即使根據(jù)最近4次的歷史分紅記錄算出平均分紅比例di=0.410%(數(shù)據(jù)來源于wind資訊)，在各存續(xù)期下e-diτ≈1，由此可知中國標(biāo)的50ETF的分紅對于期權(quán)定價的研究結(jié)論并無顯著影響。

另外，若令Pt為每分鐘報價，T為樣本總數(shù)，則高頻收益率rt(t=1, 2, …,T)可以表示為

rt=100×[ln(Pt)-ln(Pt-1)]

(20)

圖3、表1和表2分別給出2015年2月9日當(dāng)天的標(biāo)的資產(chǎn)收益率波動與分布、標(biāo)的收益率的描述性統(tǒng)計結(jié)果和期權(quán)價格，2015年2月16日和2015年2月25日的數(shù)據(jù)也具有類似統(tǒng)計特征，限于篇幅，不再給出。

由圖3、表1和表2可知：

(1)圖3(a)中標(biāo)的資產(chǎn)收益率波動隨時間的變化而變化，說明中國50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率具有較為明顯的時變波動性特征。

(2)50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布。由圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)該分布具有尖峰厚尾和有偏等特征，表1中偏度、峰度以及J-B統(tǒng)計量等均在1%水平下顯著，也說明標(biāo)的資產(chǎn)收益率的非正態(tài)性。

表2 50ETF期權(quán)價格數(shù)據(jù)Table 2 50ETF Options Price Data

(3)表1中的ADF單位根檢驗結(jié)果表明，50ETF期權(quán)合約的標(biāo)的資產(chǎn)收益率序列存在單位根的零假設(shè)被強烈拒絕，可以認為中國50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率序列是平穩(wěn)的，進而可以直接作為下一步極大似然的計量建模。

(4)從表1基于滯后8階和9階的Ljung-BoxQ統(tǒng)計量可以看出，在相對較高的顯著性水平上(1%)，都可以拒絕50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率在較長的時間范圍內(nèi)(滯后8期或9期)都不具有自相關(guān)性的原假設(shè)，即50ETF標(biāo)的資產(chǎn)的價格中存在較為明顯的長記憶性。

本研究采用的無風(fēng)險利率為中國人民銀行2015年2月份公布的1年期定期存款利率，即r=2.750%。

5.2 參數(shù)估計

上文對中國50ETF期權(quán)及其標(biāo)的資產(chǎn)收益率的時變波動性特征和非正態(tài)性的分析為運用本研究構(gòu)建的模型提供了經(jīng)驗證據(jù)，下面用本研究構(gòu)建的Normal模型((13)式)和Mixture模型((18)式)分別計算對應(yīng)模型下的t時刻第j份期權(quán)的理論價格，具體表示為

F(St)j=F(St,Xj,τj,r；Ω)

(21)

其中，F(xiàn)(St)j為第j份期權(quán)在t時刻的理論價格，Xj為第j份期權(quán)的執(zhí)行價格，τj為第j份期權(quán)的存續(xù)期，Ω為描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布和波動的參數(shù)向量。當(dāng)Ω={β1}時，即為本研究所構(gòu)建的經(jīng)典B-S期權(quán)定價模型(即(16)式)。另外，t時刻第j份期權(quán)市場價格Cj,t與理論價格F(St)j之間的相關(guān)關(guān)系為

Cj,t=F(St)j+εj,t

(22)

(23)

其中，Φ1和Φ2均為未知參數(shù)。設(shè)N為樣本觀測個數(shù)，則對數(shù)似然函數(shù)的表達式為

(24)

其中，L為似然函數(shù)值。

對于上文所涉及的Φ1、Φ2和Ω，均采用GAUSS 9.0程序MAXLIK軟件包進行極大似然估計。本研究中(5)式的ST、(8)式的zT均通過取倒數(shù)變換，將對應(yīng)積分函數(shù)的上下限轉(zhuǎn)換為(-1,1)，然后采用INTQUAD1命令進行一維數(shù)值積分，求得期權(quán)的理論價格。

表3和表4分別給出Normal模型和Mixture模型在3個交易日下經(jīng)極大似然估計得出的參數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)差以及顯著性水平。

表3 Normal模型在不同交易日的極大似然估計Table 3 Maximum Likelihood Estimates of the Normal Model for Various Trading Days

表4 Mixture模型在不同交易日的極大似然估計Table 4 Maximum Likelihood Estimates of the Mixture Model for Various Trading Days

由表3和表4可知：

(2)在Mixture模型下3個交易日的參數(shù)α均顯著，證明中國50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)收益率分布存在非正態(tài)性，因此采用MELICK et al.[39]提出的混合對數(shù)正態(tài)分布對真實分布進行刻畫，構(gòu)建本研究提出的Mixture模型能夠顯著提高期權(quán)的定價精度。

(3)根據(jù)表3和表4的結(jié)果，除在Normal模型下的交易日2015年2月25日外，其余交易日下的參數(shù)Φ2均顯著，證明定價誤差的方差與期權(quán)實值程度之間確實存在顯著相關(guān)關(guān)系。

5.3 Normal模型與Mixture模型定價偏差比較

為了對Normal模型和Mixture模型進行定價精確性分析，本研究運用這兩種模型分別計算其對應(yīng)的理論價格F(St)j與各自的市場價格Cj,t在平均絕對誤差(MAE)、平均誤差平方(MSE)、經(jīng)異方差調(diào)整的MAE(HMAE)、經(jīng)異方差調(diào)整的MSE(HMSE)、對數(shù)損失函數(shù)誤差(R2LOG)以及高斯準(zhǔn)極大似然函數(shù)誤差(QLIKE)等6種常用的損失函數(shù)下進行比較，6種損失函數(shù)的具體表達式為

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

表5 模型定價偏差Table 5 Mispricing of the Models

考慮到Normal模型與Mixture模型進行極大似然估計時具有不同的參數(shù)維數(shù)κ和似然函數(shù)值L的性質(zhì)，因而在比較Normal模型與Mixture模型定價偏差時也分別計算了AIC和SIC統(tǒng)計量，表5分別給出在3個交易日下Normal模型和Mixture模型關(guān)于定價偏差的具體損失函數(shù)值和統(tǒng)計量。當(dāng)模型的損失函數(shù)值(MAE、MSE、HMAE、HMSE、R2LOG、QLIKE)和統(tǒng)計量(AIC、SIC)相對較小時即表示對應(yīng)模型在該定價偏差衡量指標(biāo)中表現(xiàn)較優(yōu)，進而表示相應(yīng)的期權(quán)定價模型具有更高的定價精度。另外，如果當(dāng)Normal模型和Mixture模型在同一交易日下某些定價偏差衡量指標(biāo)表現(xiàn)一致時，本研究以在該交易日下的其他定價偏差衡量指標(biāo)為準(zhǔn)。

由表5可知，2015年2月9日Normal模型與Mixture模型在MAE、MSE和QLIKE定價偏差衡量標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)值相等，即模型定價偏差效果表現(xiàn)一致，而在HMAE、HMSE、R2LOG、AIC和SIC定價偏差衡量標(biāo)準(zhǔn)下，Mixture模型比Normal模型數(shù)值較小，即Mixture模型比Normal模型對期權(quán)的定價精度更高。同理，對于2015年2月16日和25日也可以發(fā)現(xiàn)在對中國50ETF期權(quán)定價精度上，Mixture模型明顯優(yōu)于Normal模型。

5.4 Normal模型與Mixture模型預(yù)測比較

為進一步對Mixture模型和Normal模型進行比較，本研究分別采用對2015年2月9日、2015年2月16日和2015年2月25日估計出的參數(shù)對相鄰交易日期權(quán)價格進行預(yù)測，并對其預(yù)測精確性進行比較。以2015年2月9日為例，首先采用極大似然估計方法得到該日的參數(shù)，然后分別用該日估計的參數(shù)計算2015年2月10日和11日的期權(quán)價格，最后計算對應(yīng)模型的預(yù)測誤差，即

fj,t=Cj,t-F(St)j|Feb,9th

(31)

其中，fj,t為第j份期權(quán)在t交易日的價格預(yù)測誤差，Cj,t為第j份期權(quán)在t交易日的期權(quán)市場價格，t分別為2015年2月10日和11日，且

F(St)j|Feb,9th=F(St,Xj,τj,r;ΩFeb,9th)

(32)

其中，ΩFeb,9th為用2015年2月9日數(shù)據(jù)估計得到的參數(shù)。然后可通過(31)式求得相應(yīng)的預(yù)測誤差。同理可以用2015年2月16日估計的參數(shù)預(yù)測2015年2月17日(2015年2月18日為春節(jié)假日)的期權(quán)價格，用2015年2月25日估計的參數(shù)預(yù)測2015年2月26日和27日的期權(quán)價格。

為提高穩(wěn)健性，本研究分別采用MAE、MSE、HMAE、HMSE、R2LOG、QLIKE損失函數(shù)和DM統(tǒng)計量對模型預(yù)測精度進行評估。在對模型預(yù)測效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)中，由于預(yù)測誤差數(shù)值偏小，因而采用均方根誤差(RMSE)替代平均平方誤差(MSE)作為模型預(yù)測效果評判標(biāo)準(zhǔn)，以便于直觀地比較。本研究采用的RMSE損失函數(shù)的具體表達式為

(33)

本研究采用DM統(tǒng)計量檢驗Mixture模型與Normal模型的預(yù)測誤差之間差異是否顯著，其原假設(shè)為兩模型之間具有一致的預(yù)測精確性，且該統(tǒng)計量漸近服從N(0,1)分布，表達式為

(34)

其中，diffj,t為第j份合約在t時刻Mixture模型與Normal模型預(yù)測誤差之間的差異。

表6分別給出Normal模型和Mixture模型關(guān)于期權(quán)價格預(yù)測效果的損失函數(shù)值和統(tǒng)計量。若在某一交易日下對應(yīng)模型的損失函數(shù)值越小，表示該模型對于期權(quán)價格的預(yù)測精確性更高。另外，當(dāng)DM統(tǒng)計量的絕對值均大于1.960時，表示在5%水平下拒絕原假設(shè)，即Normal模型與Mixture模型的預(yù)測誤差之間具有顯著性差異。由表6可知在各個交易日下的DM的絕對值都大于1.960，且統(tǒng)計量均在5%的水平下顯著，說明Normal模型與Mixture模型在對中國50ETF期權(quán)價格預(yù)測上具有顯著性的差異。

表6 模型預(yù)測效果Table 6 Forecasting Performance of the Models

注：**為在5%水平下顯著，黑體數(shù)據(jù)為在某一預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下Nomral模型與Mixture模型中的較小值，如果在同一交易日下某一預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值相等，則表示Nomral模型與Mixture模型在該預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下表現(xiàn)一致。

由表6可知，2015年2月10日Normal模型與Mixture模型在MAE、RMSE、HMSE和QLIKE預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)值相等，即模型的預(yù)測效果表現(xiàn)一致；而在HMAE、R2LOG預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下Mixture模型比Normal模型數(shù)值較小，即Mixture模型比Normal模型對期權(quán)的預(yù)測效果更好。同理，2015年2月11日和17日Normal模型與Mixture模型在MAE和RMSE預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下表現(xiàn)一致，而在HMAE、HMSE、R2LOG和QLIKE預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下Mixture模型優(yōu)于Normal模型；2015年2月26日和27日Normal模型與Mixture模型在MAE、RMSE、HMSE、R2LOG和QLIKE預(yù)測效果衡量標(biāo)準(zhǔn)下表現(xiàn)一致，僅在HMAE預(yù)測效果衡量下Normal模型優(yōu)于Mixture模型。通過整體計數(shù)在5個交易日下Normal模型與Mixture模型出現(xiàn)較優(yōu)預(yù)測表現(xiàn)的次數(shù)(即黑體數(shù)據(jù)的個數(shù))可以發(fā)現(xiàn)，Mixture模型在對期權(quán)價格的預(yù)測表現(xiàn)上整體優(yōu)于Normal模型。

6 結(jié)論

本研究采用ROSENBERG et al.[36-37]的條件波動率進行時變波動率修正，運用LYE et al.[38]的靈活參數(shù)分布重構(gòu)具有時變波動性特征的B-S模型并演示了其風(fēng)險中性概率分布形狀，引入MELICK et al.[39]的混合對數(shù)正態(tài)分布捕捉標(biāo)的資產(chǎn)收益率非正態(tài)分布特征，通過對中國50ETF期權(quán)實證比較了Mixture模型和Normal模型的參數(shù)顯著性、定價偏差和預(yù)測效果，得到以下研究結(jié)論。

①通過對中國50ETF期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的動力學(xué)特征深入考察，發(fā)現(xiàn)其高頻收益呈現(xiàn)較為明顯有偏和尖峰厚尾分布；②從Normal模型和Mixture模型的極大似然參數(shù)估計結(jié)果也可以發(fā)現(xiàn)，刻畫中國50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)時變波動性特征的參數(shù)β2、β1,2和β2,2顯著，充分說明中國50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)具有顯著的時變波動性特征，進而證實基于經(jīng)典B-S模型理論基礎(chǔ)進行SSP形式時變波動率修正后的期權(quán)定價模型能夠顯著改善期權(quán)的定價精度；③在中國推出真正意義的期權(quán)產(chǎn)品的背景下，本研究提出的具有時變波動性特征的B-S模型和具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型都能深入和全面地描繪標(biāo)的資產(chǎn)收益的波動和分布；④綜合考慮模型對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化動力學(xué)的刻畫效果以及對中國50ETF期權(quán)在樣本內(nèi)的定價偏差和在樣本外的預(yù)測誤差后，發(fā)現(xiàn)具有時變波動性特征的混合對數(shù)正態(tài)模型比具有時變波動性特征的B-S模型具有更高的定價精確性，即基于時變波動率與混合對數(shù)正態(tài)分布修正后的B-S模型是一個相對更優(yōu)的期權(quán)定價模型選擇。

本研究結(jié)果為期權(quán)定價提供了更好的方法選擇，也豐富了期權(quán)定價的實證結(jié)果，進而為投資者設(shè)計更為合理的投資策略以及為金融監(jiān)管當(dāng)局提供更加準(zhǔn)確的決策信息支持意義重大。當(dāng)然，本研究還存在一些不足，對于標(biāo)的資產(chǎn)收益率的其他分布、模型的Delta對沖、波動率偏離的修正需要進一步研究，這也是下一步研究的重點。

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OptionPricingofMixtureofLognormalDistributionswithTime-varyingVolatilityin50ETFOption

WANG Peng，YANG Xinglin

Institute of Chinese Financial Studies, Southwestern University of Finance and Economics, Chengdu 611130, China

The classic Black-Scholes model has experienced the development process from the constant volatility to time-varying volatility and from the normal distribution to non-normal distribution.

This paper extends prior studies on option pricing models with time-varying volatility and mixture of lognormal distributions. Two frameworks have been proposed to correct misspecification of Black-Scholes model. The first category involves relaxing the constant volatility assumption with sigma shape polynomial (SSP), in which the specification shows that conditional volatility is stochastic, as it is a function of future return over the life of the option. The second category involves relaxing the normality assumption using mixture of lognormal distributions, which can capture departures from normal returns with two subordinate lognormal distributions. Furthermore, we rebuild the Black-Scholes model based on the generalized Student t-distribution and study the risk neutral probability distribution, which is changed along with the alternative volatility parameterizations, assuming normality in stock returns. The empirical application is based on 50ETF call options′ contracts traded on the selected days in the month of February 2015, a total sample of over 10000 observations. Each record in the data set comprises bid-ask quote, the synchronously recorded spot price of 50ETF, the time at which the quote was recorded, and the strike price. In addition, a range of performance criteria are used to evaluate the model. The first consists of conducting standard tests of significance on the parameter estimates. The second concentrates on comparing the relative size of mispricing errors of each model. The third focuses on comparing the relative size of forecasting errors of each model.

Finally, the empirical results show that there are some significant characteristics of leverage effect, clustering, and long memory as well as conditional skewness and fat-tail in the high frequency yield of underlying assets of the 50ETF option contracts. Meanwhile, the modified classic Black-Scholes model with time-varying volatility can significantly improve the pricing accuracy of 50ETF option contracts in China. Furthermore, in considering the model of the underlying asset price changes in the dynamics of depict and the pricing accuracy on the option contract, the option pricing model with the characteristics of time-varying volatility and mixture of lognormal distributions is a relatively more reasonable option pricing model selection, compared with that of correcting the volatility skew associated with the Black-Scholes model.

This paper not only provides a more accurate option pricing method for investors and regulators, but also enriches the empirical research conclusions about the typical statistical characteristics of 50ETF option contracts in China.

mixture of lognormal distribution；time-varying volatility；Black-Scholes model；option pricing；50ETF

Date:February 29th, 2016

DateJune 3rd, 2016

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71473200) and the Humanities and Social Science Research Project of China(15YJA790057)

Biography:WANG Peng, doctor in management, is an associate professor in the Institute of Chinese Financial Studies at Southwestern University of Finance and Economics. His research interests include financial risk management and financial econometrics. His representative paper titled “Dilemma of classical financial theory and the rising of econophysics” was published in theJournalofManagementSciencesinChina(Issue 9, 2014). E-mail：wangpengcd@126.com

YANG Xinglin is a master degree candidate in the Institute of Chinese Financial Studies at Southwestern University of Finance and Economics. His research interest focuses on derivative pricing. E-mail：xinglinyang@2015.swufe.edu.cn

F830.9

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.04.013

1672-0334(2016)04-0149-12

2016-02-29修返日期2016-06-03

國家自然科學(xué)基金(71473200)；教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金(15YJA790057)

王鵬，管理學(xué)博士，西南財經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心副教授，研究方向為金融風(fēng)險管理和金融計量經(jīng)濟學(xué)等，代表性學(xué)術(shù)成果為“經(jīng)典金融理論的困境與金融物理學(xué)研究的興起”，發(fā)表在2014年第9期《管理科學(xué)學(xué)報》，E-mail：wangpengcd@126.com

楊興林，西南財經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心碩士研究生，研究方向為衍生品定價等，E-mail：xinglinyang@2015.swufe.edu.cn

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