呂振豫　穆建新　王富強劉姍姍

摘要：基于貝葉斯網(wǎng)絡理論結(jié)合Copula函數(shù)建立了東江流域上、中、下游三個站點降雨、徑流豐枯遭遇的風險管理模型，直觀地描述了各個站點間降雨、徑流的相互關系。利用Copula函數(shù)建立聯(lián)合分布模型計算了站點間不同豐枯組合狀態(tài)調(diào)水不利情況的風險概率。通過貝葉斯網(wǎng)絡結(jié)構的反向推理功能，以后驗知識作為輸入，進一步對流域內(nèi)未來調(diào)水可能面臨的豐枯遭遇情況進行了仿真計算。結(jié)果表明，系統(tǒng)中一個節(jié)點的變化將會對其他節(jié)點的概率值產(chǎn)生巨大影響，以上、中游降雨為枯水情況作為后驗輸入，站點間豐枯遭遇調(diào)水不利風險概率增幅至55%以上；仿真結(jié)果可以為流域內(nèi)調(diào)水方案的制定提供理論支撐。

關鍵詞：東江流域；Copula函數(shù)；貝葉斯網(wǎng)絡；豐枯遭遇；風險分析

中圖分類號：P333.9；X820.4 文獻標志碼：A 文章編號：

16721683（2016）05001808

水文事件豐枯變化的差異性及不確定性，直接影響流域內(nèi)調(diào)、受水的可控水量，對工程調(diào)水風險、流域水資源配置產(chǎn)生重大影響。近年來，不同區(qū)域水文事件的豐枯遭遇問題引起了廣泛關注[14]，分析方法層出不窮。鄭紅星[5]和韓宇平[6]等通過建立聯(lián)合分布模型采用統(tǒng)計方法計算了南水北調(diào)調(diào)、受水區(qū)水文變量間的豐枯遭遇概率，這種統(tǒng)計方法雖然直觀易懂，但不適用于多維隨機變量遭遇研究，沒有考慮各變量間的相關關系。Copula函數(shù)作為一種新興的方法彌補了統(tǒng)計方法的不足，是一種將隨機變量聯(lián)合分布與各自邊緣分布相結(jié)合的理論聯(lián)合分布。目前基于二維及多維Copula函數(shù)建立豐枯遭遇聯(lián)合分布模型已得到大量實踐應用[710]。此外，傳統(tǒng)風險分析方法只考慮采用降雨、徑流事件的先驗概率計算風險，并沒有考慮后驗知識；貝葉斯網(wǎng)絡作為一種基于貝葉斯條件概率的風險分析方法，既考慮了先驗風險概率，又可以利用后驗信息進行仿真模擬[11]，在水文事件豐枯遭遇風險分析中有其顯著的優(yōu)勢?？盗岬萚12]運用貝葉斯網(wǎng)絡理論建立了南水北調(diào)中線水源區(qū)與受水區(qū)降水豐枯遭遇風險管理模型，充分利用貝葉斯網(wǎng)絡的情景仿真和后驗推理功能，模擬了不同豐枯組合對調(diào)水的影響；Daniel[13]利用并驗證了非參數(shù)蒙特卡洛貝葉斯理論在洪水頻率分析中的獨特優(yōu)勢；H.van de Vyver[14]利用貝葉斯網(wǎng)絡的后驗推理功能對降雨極值強度持續(xù)時間頻率相關關系進行了分析，并與傳統(tǒng)方法進行對比驗證了貝葉斯方法的優(yōu)越性。本文以東江流域上游龍川站、中游河源站及下雨博羅站實測降雨、徑流數(shù)據(jù)為研究對象，運用Copula函數(shù)結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡建立流域內(nèi)豐枯遭遇風險管理模型，為流域內(nèi)水資源優(yōu)化配置決策提供理論支持，具有重要的理論意義和實踐意義。

1 數(shù)據(jù)和方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文所用數(shù)據(jù)均由廣東省氣象局提供，包括東江流域上游龍川站、中游河源站以及下游博羅站三個代表性水文站點1956年-2005年年尺度實測降雨、徑流資料。流域概況及水文站點分布情況見圖1。

1.2 研究方法

1.2.1 二維Copula函數(shù)理論

Copula函數(shù)是定義在[0，1]區(qū)間上均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，其主要構造形式如下：

1.2.3 多維Copula函數(shù)

三維及多維Copula函數(shù)的構造形式與二維情況類似，篇幅限制這里不再贅述，其構造形式詳見文獻[17]。對于多維Copula函數(shù)的參數(shù)估計（以三維為例），不能直接利用參數(shù)與變量的Kendall秩相關[CM（22]系數(shù)的關系直接計算，一般采用兩階段極大似然進

1.2.4 貝葉斯網(wǎng)絡概述

貝葉斯網(wǎng)絡[18]簡稱BN，是基于貝葉斯定理和條件概率建立的有向無環(huán)圖，它由代表變量的節(jié)點和連接各節(jié)點的有向邊構成，以圖形化的形式直觀地表達系統(tǒng)內(nèi)各元素之間的相互影響關系。一個完整的貝葉斯網(wǎng)絡模型由網(wǎng)絡結(jié)構和網(wǎng)絡參數(shù)兩部分組成。圖2所示為一個6節(jié)點貝葉斯網(wǎng)絡模型，可用N=〈〈V，E〉，P〉表示[19]，其中：

（1）〈V，E〉表示網(wǎng)絡結(jié)構有向無環(huán)圖。圖中節(jié)點V={V1，V2，…，V6}表示變量，節(jié)點間的有向邊E代表變量間的相關關系。對于有向邊（Vi，Vj），Vi稱為Vj的父節(jié)點，Vj則為Vi的子節(jié)點，沒有父節(jié)點的稱為根節(jié)點（V1），沒有子節(jié)點的稱為葉節(jié)點（V6）。規(guī)定Vi的父節(jié)點集合及非后代節(jié)點集合分別用fa（Vi）和A（Vi）表示，則貝葉斯網(wǎng)絡系統(tǒng)包含如下條件假設：

P（Vi|fa（Vi），A（Vi））=P（Vi|fa（Vi））[JY]（6）

即，在給定父節(jié)點情況下，子節(jié)點與其非父節(jié)點條件獨立。

（2）P表示系統(tǒng)根節(jié)點概率和非根節(jié)點條件概率。由條件獨立性假設可知，非根節(jié)點的條件概率分布可用P（Vi|pa（Vi））表示，表達了節(jié)點與其父節(jié)點的相關關系。給定根節(jié)點先驗概率及非根節(jié)點條件概率分布，可據(jù)此計算包含所有節(jié)點的聯(lián)合概率分布，圖2所示包含全部節(jié)點的聯(lián)合概率分布函數(shù)為：

2 結(jié)果分析

2.1 多情境豐枯遭遇組合概率

流域內(nèi)降雨、徑流的豐枯變化受地區(qū)氣候特性

及下墊面等的影響，不同區(qū)間的遭遇概率往往是隨機的。上游出現(xiàn)某一量級枯水年情況時，中、下游可能出現(xiàn)不同量級的豐、枯情況。為定量分析流域內(nèi)不同區(qū)間降雨、徑流的豐枯遭遇情況，計算其遭遇概率及條件概率，文中采用Copula函數(shù)，通過建立豐枯遭遇理論聯(lián)合分布模型進行研究。頻率分析中我國一般采用PⅢ曲線作為降雨、徑流的邊緣分布，其構造形式如下：

利用線性矩法計算得到流域上、中、下游三個站點降雨、徑流的參數(shù)估計結(jié)果見表2。分析可知，流域內(nèi)年降雨量上游龍川站最小為1 61018 mm，中游河源站最大達1 85065 mm；徑流量從上游到下游程遞增趨勢，變異系數(shù)分別為04、062和022，說明徑流變化在空間上屬于中等變異。

采用單參數(shù)ArchimedeanCopula函數(shù)建立降雨、徑流豐枯遭遇的聯(lián)合分布函數(shù)，不同Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度情況與隨機變量的相關性有關[20]?？紤]到流域內(nèi)降雨、徑流存在較強正相關性，結(jié)合幾種Copula函數(shù)的構造形式及其參數(shù)估計方法，文中選取Clayton Copula函數(shù)作為兩站點降雨、徑流豐枯遭遇聯(lián)合分布模型的構造函數(shù)；三站點豐枯遭遇組合則選取GumbelHougaard Copula函數(shù)構造；各站點組合copula聯(lián)合分布函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果見表3。

2.2 豐枯遭遇條件概率

基于貝葉斯網(wǎng)絡建立豐枯遭遇的風險管理模型，需要確定站點間降雨、徑流豐枯遭遇的條件概率作為網(wǎng)絡的初始參數(shù)。以已知上游來水情況，中、下游遭遇條件概率計算為例，公式如下：

采用GumbelHougaard Copula函數(shù)構造三站點降雨、徑流豐枯遭遇理論聯(lián)合分布，其與經(jīng)驗頻率的擬合情況見圖5、圖7，觀察可知，理論分布與經(jīng)驗頻率擬合情況良好。圖6、圖8所示為上游龍川站降雨、徑流為枯水情況下，中游河源站與下游博羅站不同量級降雨、徑流遭遇的條件概率等值線，可從圖中直接定量出某一固定值豐枯遭遇條件概率大小。如，上游徑流為枯水情況，中、下游同為枯水時的概率P（Y≤y37.5%，Z≤z37.5%|X≤x37.5%）=P（Y≤128.03，Z≤210.66|X≤55.36）=0.685。此外，對比分析圖4和圖8，已知上游徑流為枯水情況，中、下游河源、博羅站不同量級徑流遭遇條件概率等值線有明顯的前移趨勢，等值線密集程度增加，中、下游徑流同豐概率由0260降低到0003，同枯風險概率由原來的0293增加到現(xiàn)在的0685，增長了近25倍，調(diào)水不利風險急劇增大。

2.3 流域內(nèi)豐枯遭遇風險管理模型建立

利用貝葉斯網(wǎng)絡構造流域內(nèi)豐枯遭遇的風險管理模型一般包括三個步驟：（1）確定網(wǎng)絡結(jié)構；（2）確定初始網(wǎng)絡參數(shù)；（3）根據(jù)后驗知識進行仿真推理。

2.3.1 初始網(wǎng)絡結(jié)構確定

對于網(wǎng)絡結(jié)構的確定有兩種方法[22]，一種是利用大量的實測數(shù)據(jù)通過不同的優(yōu)化算法進行結(jié)構學習，確定最優(yōu)網(wǎng)絡結(jié)構模型，這種方法是在大量數(shù)據(jù)的基礎上實現(xiàn)的；第二種方法是根據(jù)專家知識結(jié)合數(shù)據(jù)間的相關關系，直接勾畫出網(wǎng)絡結(jié)構，這種方法對數(shù)據(jù)的多少要求不高，計算簡便。本文使用第二種方法構造流域內(nèi)降雨、徑流豐枯遭遇的貝葉斯網(wǎng)絡結(jié)構模型，結(jié)合流域上、中、下游站點降雨、徑流的豐枯遭遇關系，確定貝葉斯網(wǎng)絡結(jié)構模型見圖9。網(wǎng)絡結(jié)構圖充分說明了上、中、下游降雨、徑流之間的內(nèi)在聯(lián)系，上游龍川站降雨為根節(jié)點A1，其子節(jié)點包括河源站降雨B1、博羅站降雨C1以及龍川站徑流A2；葉子節(jié)點D1、D2、D3、D4為各站點徑流豐枯遭遇對調(diào)水不利的風險概率。

2.3.2 確定網(wǎng)絡參數(shù)

貝葉斯網(wǎng)絡結(jié)構的參數(shù)包括各節(jié)點的先驗概率及非根節(jié)點的條件概率。根據(jù)實測資料計算得各站點降雨、徑流發(fā)生豐、平、枯情況的概率，結(jié)合Copula函數(shù)計算得到各種組合情況的豐枯遭遇概率，輸入到網(wǎng)絡結(jié)構中得到貝葉斯網(wǎng)絡初始模型詳見圖10。鑒于東江流域內(nèi)已建成楓樹壩水庫、新豐江水庫等具有年調(diào)節(jié)功能的大型水庫，規(guī)定，兩個或兩個以上站點同為枯水年是對調(diào)水構成風險的情況，其中，三站同枯為調(diào)水最不利情況。分析圖10可知，河源站降雨枯水情況發(fā)生概率為40%，易于豐水情況發(fā)生；博羅站降雨枯水情況發(fā)生概率36%，難于豐水情況發(fā)生，說明流域內(nèi)降雨在空間上存在差異性；流域內(nèi)徑流三站點豐、平、枯水情況發(fā)生概率大致相同；龍河徑流遭遇調(diào)水不利風險概率27%，龍博、河博徑流遭遇調(diào)水不利風險概率均為29%，調(diào)水最不利情況（三站同枯）發(fā)生概率26%，表明流域內(nèi)基本可以實現(xiàn)正常調(diào)水。

2.3.3 仿真模擬

利用貝葉斯網(wǎng)絡構造流域內(nèi)降雨、徑流的豐枯遭遇風險管理模型，不僅可以通過實測數(shù)據(jù)計算各站點豐枯遭遇調(diào)水不利情況的發(fā)生概率（先驗概率），還可以通過預測某一節(jié)點或者某幾個節(jié)點的發(fā)生情況，作為后驗信息輸入到網(wǎng)絡模型中，利用貝葉斯網(wǎng)絡的反向推理功能，推測出這一節(jié)點變化對其他節(jié)點條件概率的影響，為決策者制定應急方案提供數(shù)據(jù)支撐。為充分體現(xiàn)貝葉斯網(wǎng)絡仿真模擬在流域內(nèi)降雨、徑流豐枯遭遇分析中的優(yōu)越性，本文以龍川站降雨為枯水和龍川、河源降雨均為枯水兩種情境作為后驗信息輸入到貝葉斯網(wǎng)絡中進行仿真研究。

（1）第一次仿真模擬：將龍川站降雨為枯水情況這一后驗信息輸入到網(wǎng)絡結(jié)構中得到仿真計算結(jié)果見圖11。對比圖10分析可知，當輸入龍川站降雨為枯水這一后驗信息后，其他節(jié)點各種情況的發(fā)生概率均發(fā)生較大變化。以三站點降雨及調(diào)水風險發(fā)生概率為例，只輸入先驗知識情況下，河源站降雨豐、枯水情況發(fā)生概率分別為34%、40%；博羅站降雨豐、枯水發(fā)生概率分別為42%、36%；幾種調(diào)水不利情況風險概率均低于30%。輸入龍川站降雨為枯水這一后驗知識后，河源站豐、枯水情況發(fā)生概率分別為8%、75%；博羅站發(fā)生概率為17%、63%；調(diào)水不利風險概率基本在50%以上；各站點枯水情況發(fā)生概率有大幅度增加。

（2）第二次仿真模擬：貝葉斯網(wǎng)絡構造風險管理模型對輸入后驗知識的節(jié)點個數(shù)沒有限制，可能出現(xiàn)同時輸入多節(jié)點后驗知識的情況。以輸入兩個節(jié)點的后驗知識為例，將龍川、河源站降雨均為枯水這一后驗知識輸入到初始網(wǎng)絡結(jié)構中，得到第二次仿真模擬結(jié)果見圖12。對比初始網(wǎng)絡模型（圖10）分析可知，輸入龍川、河源站為枯水情況這一后驗知識后，博羅站降雨及三個站點徑流枯水情況的發(fā)生概率均有大幅度增加，達到65%以上；博羅站徑流枯水情況發(fā)生概率增幅最大，由原來的28%，增加到現(xiàn)在的82%，受上、中游降雨變化影響最為嚴重。就調(diào)水風險來看，各站點豐枯遭遇調(diào)水不利風險概率均超過55%，其中河源博羅站調(diào)水不利情況最易發(fā)生，風險概率達67%；三站點同枯風險發(fā)生概率63%。針對這一情況，當氣象部門偵測到流域上、中游降雨同為枯水情況時，相關部門需要制定出具有針對性的應急預案措施。

3 結(jié)論

針對流域內(nèi)不同區(qū)間降雨、徑流的豐枯遭遇組合狀況，以東江流域上游龍川站、中游河源站及下游博羅站年尺度降雨、徑流為研究對象，運用Copula函數(shù)方法建立了流域內(nèi)不同站點降雨、徑流豐枯遭遇組合的聯(lián)合分布模型，結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡理論以實測資料及Copula函數(shù)計算概率作為先驗知識輸入，構建了流域內(nèi)三個站點降雨、徑流豐枯遭遇的風險管理模型。通過模型計算，不考慮后驗知識的情況下，各種組合調(diào)水不利風險發(fā)生概率在25%～30%之間。利用貝葉斯網(wǎng)絡的反向推理功能，分別以上游龍川站降雨為枯水和上游龍川站、中游河源站降雨同為枯水兩種情境作為后驗知識輸入網(wǎng)絡結(jié)構，對流域內(nèi)可能發(fā)生的豐枯組合狀態(tài)進行仿真模擬計算。計算結(jié)果顯示，①輸入上游龍川站為枯水情況時，各站點豐枯遭遇組合調(diào)水不利風險概率達到50%左右，其中三站同枯調(diào)水最不利風險發(fā)生概率達54%；②輸入上游龍川站、中游河源站降雨同枯情況時，站點間降雨、徑流豐枯遭遇調(diào)水不利風險概率增加到60%左右，其中河源博羅站調(diào)水不利風險概率最大，達67%；文中不同情境下降雨、徑流豐枯遭遇概率和條件概率的計算結(jié)果以及基于貝葉斯模型的仿真模擬結(jié)果，為流域內(nèi)水資源的合理調(diào)配及可持續(xù)利用提供理論支撐，具有理論和實踐意義。

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