鄭海青， 郭爭(zhēng)爭(zhēng)， 王智劍

(石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

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一類(lèi)具有扇區(qū)和斜率約束的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步

鄭海青， 郭爭(zhēng)爭(zhēng)， 王智劍

(石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

針對(duì)具有扇區(qū)約束和斜率約束條件的非線性Lur’e系統(tǒng)組成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，研究其同步問(wèn)題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，采用靜態(tài)誤差反饋控制方法實(shí)現(xiàn)被控網(wǎng)絡(luò)的同步。利用非線性函數(shù)的凸集性質(zhì)，將非線性項(xiàng)描述為在扇區(qū)約束和斜率約束范圍內(nèi)的凸組合函數(shù)，以便使等式約束條件變?yōu)椴坏仁郊s束條件。求出的反饋增益矩陣可由LMI的可行解給出。最后，通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證了所提方法的有效性。

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)；同步；Lur’e系統(tǒng)；反饋控制器

0 引言

許多實(shí)際系統(tǒng)都可以用動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)加以描述[1-2]。同步是在復(fù)雜物理、化學(xué)和生物系統(tǒng)的控制中一個(gè)非常重要的過(guò)程。同步現(xiàn)象是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的典型動(dòng)力學(xué)行為，同步在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如保密通信及諧波振蕩器的產(chǎn)生。Lur’e系統(tǒng)是一類(lèi)非常重要的非線性系統(tǒng)，其非線性滿足一定的約束條件。由Lur’e系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步已經(jīng)獲得了很多研究人員的關(guān)注，文獻(xiàn)[3]提出了不確定Lur’e系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)和非線性控制器的設(shè)計(jì)技術(shù)，文獻(xiàn)[4]提出了線性反饋控制器設(shè)計(jì)技術(shù)在混沌同步中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[5]提出了時(shí)滯狀態(tài)反饋的同步條件并分析了時(shí)滯的影響，這些同步條件均未考慮到非線性斜率限制。然而，現(xiàn)實(shí)中存在的一大類(lèi)非線性系統(tǒng)同時(shí)滿足扇區(qū)約束條件和斜率約束條件，以往研究者們針對(duì)具有扇區(qū)約束的非線性系統(tǒng)，研究其同步的成果很多，而具有斜率約束的非線性系統(tǒng)的同步研究結(jié)論卻很少，此外，利用斜率約束條件，可以降低同步判據(jù)的保守性。

本文提出了具有扇形區(qū)域限制和斜率約束條件的非線性Lur’e型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步方案。所提出的同步技術(shù)基于線性靜態(tài)誤差控制。通過(guò)求解Lur’e型動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)誤差絕對(duì)穩(wěn)定條件，結(jié)合扇區(qū)限制和斜率限制的非線性條件以及Lyapunov穩(wěn)定性條件。將等式約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂写硇缘纳刃螀^(qū)域和斜率限制的非線性凸函數(shù)。通過(guò)LMI技術(shù)求得反饋誤差增益矩陣，最后，數(shù)值分析表明該方法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下由N個(gè)恒等節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可用一個(gè)Lur’e系統(tǒng)來(lái)表示，其狀態(tài)方程可描述為

式中，xi(t)表示狀態(tài)變量；A∈Rn×n，B∈Rn×m；C∈Rm×n為常數(shù)矩陣；yi(t)∈Rm是系統(tǒng)輸出；D∈Rn×n為已知的常數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣，表示網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部耦合矩陣；G=(gij)∈RN×N表示網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣，其滿足如下條件：如果從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j(i≠j)之間有聯(lián)系，則gij≠0，否則gij=0，對(duì)角線元素定義為

f(·)為一非線性向量值函數(shù)，記為

并且，fl(·)(l=1,2,…,m)滿足以下的扇區(qū)約束條件和斜率約束條件

式中，yil(t)是系統(tǒng)的輸出；bl和al分別是扇區(qū)約束的下限和上限；βl和αl分別是其斜率約束的下限和上限。

2 Lur’e型復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù)

同步控制的目標(biāo)是找到一個(gè)控制器ui(t)使得被控網(wǎng)絡(luò)(1)的解完全同步于s(t)?？紤]網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)結(jié)點(diǎn)都加上控制器，則被控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述如下

式中，ui∈Rn表示反饋控制輸入且ui=K(xi-s)，K為靜態(tài)誤差反饋控制器的增益矩陣。

采用Kronecker積的形式，被控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可改寫(xiě)為

式中

M1=IN?A；M2=IN?B；M3=IN?Bu；y=Hx；H=IN?C；K1=IN?K。

得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

式中，η(He;S)=F(ye+ys)-F(ys),ye=(ye11,…,ye1m,…,yeNl,…,yeNm)T。

根據(jù)式(2)，可以建立關(guān)于非線性函數(shù)fl(yil)-fl(ysl)的不等式

根據(jù)誤差向量的定義，得到

式中，Δl屬于凸集Co{βl,αl}的元素。

接下來(lái)，為了推導(dǎo)方便，做以下定義：

因此，非線性函數(shù)F(y)-F(ys)和F′(y)-F′(ys)可以寫(xiě)為

根據(jù)式(10)，可以得到Lur’e型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù)。

命題1：若存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q11∈Rn×n，Q22∈Rm×m和矩陣Γ∈Rm×m，X∈Rm×m，Y∈Rm×m，Z∈Rm×n，r∈Rr×n使得如下矩陣不等式成立

式中，

Ω3=(A+λiD)Q11+BuΥ+((A+λiD)Q11+BuΥ)T。

則選取的Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)式(10)，可以得到下列等式

將式(15)加到式(14)的左側(cè)，得到

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，定義

不等式(16)的左邊分別左乘和右乘M和MT，得到

式中,

3 數(shù)值仿真

本小節(jié)通過(guò)一組相互耦合的蔡氏電路來(lái)驗(yàn)證上述理論分析的有效性。網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程描述為

式中，

f(y)=g(V1)-Ga1V1=0.415 9V1-0.208 0[|V1+1|-|V1-1|]。

內(nèi)部耦合矩陣D和外部耦合矩陣G分別取為

圖1～圖3是在所設(shè)計(jì)的控制器的作用下，被控網(wǎng)絡(luò)(20)的狀態(tài)響應(yīng)曲線?？梢钥闯?，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，系統(tǒng)的狀態(tài)軌線趨于平衡點(diǎn)，即整個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了同步。

圖1 狀態(tài)的變化曲線

圖2 狀態(tài)的變化曲線

圖3 狀態(tài)的變化曲線

4 結(jié)論

本文研究了具有扇區(qū)約束和斜率約束的Lur’e系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制問(wèn)題。與先前的同步控制方法不同，本文運(yùn)用凸組合技術(shù)，將非線性性質(zhì)通過(guò)等式約束條件來(lái)表示?；贚uapunov穩(wěn)定性定理和非線性函數(shù)的凸約束性質(zhì)，設(shè)計(jì)靜態(tài)誤差反饋控制器，得到使網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。相應(yīng)的控制增益可以通過(guò)MATLAB中的LMI工具箱得出，最后通過(guò)蔡氏電路來(lái)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

[1]秦孝敏.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的城際鐵路網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014(4):82-85,89.

[2]黃樹(shù)明.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的客運(yùn)專(zhuān)線網(wǎng)絡(luò)可靠性分析[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012(2):85-89.

[3] Wu X, Lu J. Parameter identification and back stepping control of uncertain Lu system [J]. Chaos Solitons Fractals , 2003, 18(4):721-729.

[4] Liao X X, Chen G R. On feedback-controlled synchronization of chaotic systems[J]. International Journal of Systems Science, 2003, 34 (7): 453-461.

[5] Moon Y M , Park P, Kwon W H, et al .Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems [ J] .International Journal of Control , 2001,74 (14):1447-1455.

Synchronization of Complex Dynamical Networks with Sector and Slope Restrict

Zheng Haiqing, Guo Zhengzheng, Wang Zhijian

(School of Electrical and Electronic Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The problem of global synchronization is studied for a class of complex dynamical networks, where each node is a general Lur’e system with sector and slope restricted nonlinearities. A static error feedback controller based on the Lyapunov stability theory is proposed for its synchronization. The nonlinearities are expressed as convex combinations of sector and slope bounds by using convex properties of the nonlinear function so that equality constraints are converted into inequality constraints. Then, the feedback gain matrix is derived through a feasible solution of LMI. Finally, a numerical example shows the effectiveness of the proposed method.

complex dynamical network; synchronization; Lur’e system; feedback controller

2015-04-28 責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.02.20

鄭海青(1983-),女,博士,講師，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步與控制。E-mail:80496225@qq.com

TP13

A

2095-0373(2016)02-0102-05

鄭海青，郭爭(zhēng)爭(zhēng) ，王智劍.一類(lèi)具有扇區(qū)和斜率約束的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(2):102-106.