虞哲駿

(浙江省鎮(zhèn)海中學(xué),315200)

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○解題研究○

對(duì)一道高考調(diào)研題的教學(xué)思考

虞哲駿

(浙江省鎮(zhèn)海中學(xué),315200)

波利亞認(rèn)為“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”.可見,解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教育中十分重要的一環(huán).那么，如何將數(shù)學(xué)的解題教學(xué)很好地融入到平時(shí)的課堂教學(xué)過程中呢?筆者在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中,借助一道高考調(diào)研題,進(jìn)行這方面的實(shí)踐與探索.

題目在?ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知acos B=bcos A,邊BC上的中線長為4.

(2) 求?ABC面積的最大值.

此題以三角函數(shù)為背景,通過三角恒等變換,考查學(xué)生有關(guān)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式和最值問題的求法.尤其是對(duì)于第(2)小問,綜合性較強(qiáng),求解方法也多種多樣.同時(shí)由于不同方法的選擇,也會(huì)呈現(xiàn)出不一樣的解題過程,解法多彩多姿.由此可見,如果在開始處理題目條件時(shí)選擇不當(dāng),將大大增加求解難度,而即便求解成功,也勢(shì)必會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間.所以,在平時(shí)的教學(xué)過程中,我們要正確引導(dǎo)和悉心培育,逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維評(píng)判能力.

下面,筆者結(jié)合上面這道題和高三復(fù)習(xí)過程中的一些體會(huì)談?wù)剬?duì)這方面的一些認(rèn)識(shí).

一、 一題多解

對(duì)于上面這道題的第(2)問，我們有如下幾種解法.

解法1由條件，可知A=B,

c=2acos A,

所以?ABC的面積

解法3根據(jù)已知條件列式，得

評(píng)析解法4中,平面向量的使用,使得三角形的邊角關(guān)系得到一定的簡化,利用三點(diǎn)共線和等比分點(diǎn)及向量數(shù)量積的幾何意義相關(guān)知識(shí),讓枯燥的解三角形問題變得豐富多彩.

解法5如圖1，以AD的中點(diǎn)為原點(diǎn),AD所在軸為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),D(2,0).設(shè)C(x,y),因?yàn)镃A=2CD,則

(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,

評(píng)析解法5實(shí)質(zhì)上用到了解析幾何中的阿波羅尼斯圓:平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值是一個(gè)不等于1的常數(shù),則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

解決一個(gè)問題的方法有很多,在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,基本要求是讓學(xué)生掌握其中的一種典型解法,更高的要求是掌握一題多解,而最高的要求是讓學(xué)生不僅能用多種方法解題,還會(huì)區(qū)分、評(píng)價(jià)各種解法的優(yōu)劣.平時(shí)解題若能有意識(shí)地明確各種解題方法之間的聯(lián)系,并在不斷優(yōu)化中逐步提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),就可以消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼心理.當(dāng)?shù)竭_(dá)這個(gè)層面后,學(xué)生就能夠?qū)@類問題稍加變形,加以應(yīng)用.

二、一題多變

在原題的基礎(chǔ)上,我們可以通過改變部分條件,或者原條件和原結(jié)論互換,將問題進(jìn)行變化,從而加深對(duì)這個(gè)問題的認(rèn)識(shí)與理解.在平時(shí)的教學(xué)過程中,有意識(shí)地加強(qiáng)變式訓(xùn)練,可以快速有效地提高學(xué)生的應(yīng)用能力,實(shí)現(xiàn)舉一反三的目的.

完成此題的解答與變式拓展后,學(xué)生是否已達(dá)到相應(yīng)的數(shù)學(xué)辨別能力,必須建立在轉(zhuǎn)化與化歸思想的基礎(chǔ)上,在實(shí)踐中檢驗(yàn).

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相曾說:“必須重視很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”解題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分,也是提高學(xué)習(xí)效果不可或缺的重要環(huán)節(jié)，而一題多解是對(duì)整個(gè)解題過程活動(dòng)的深層次思考,也是再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.對(duì)于高三復(fù)習(xí)階段的學(xué)生來說,更應(yīng)該培養(yǎng)一題多解、一題多變的能力,將所學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用,從而將數(shù)學(xué)學(xué)好、學(xué)活、學(xué)精!

三、探根溯源

關(guān)于解三角形的中線問題,在人教A版必修5的第20頁中已有涉及:?ABC的三邊分別為a、b、c,邊BC、CA、AB上的中線分別記為ma、mb、mc,應(yīng)用余弦定理可以證明:

作為一名高中數(shù)學(xué)教師,對(duì)課本例題和習(xí)題要注意有針對(duì)性地進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn),并作相應(yīng)的拓展.做到低起點(diǎn)、高要求,讓學(xué)生跳出題海,深切地體會(huì)到書本就是一個(gè)巨大的寶庫,從而使學(xué)生能學(xué)會(huì)知識(shí)的遷徙和創(chuàng)新,能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).

四、題后反思

蘇霍姆林斯基曾說:“必須使學(xué)生意識(shí)里有一點(diǎn)思維的引火線.”數(shù)學(xué)是思維的體操,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是不斷思維的過程.在課堂上,數(shù)學(xué)教師只有充分地呈現(xiàn)、暴露學(xué)生的思維過程,才能了解學(xué)生的思維軌跡,才能不斷調(diào)整教學(xué)進(jìn)度與策略,呈現(xiàn)更精彩、更有效的課堂教學(xué).