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      一個定值問題的推廣

      2016-12-30 05:54:32張仁華
      高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年20期
      關(guān)鍵詞:二次曲線對稱點雙曲線

      張仁華

      (江蘇省啟東市匯龍中學(xué),226200)

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      一個定值問題的推廣

      張仁華

      (江蘇省啟東市匯龍中學(xué),226200)

      (1)求圓O的方程.

      (2)若直線l與圓O切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點D、E,當(dāng)DE長最小時,求直線l的方程.

      (3)設(shè)M、P是圓O上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

      故圓O的方程為x2+y2=2.

      (2)設(shè)直線l的方程為

      即 bx+ay-ab=0.

      由直線l與圓O相切,得

      當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立,此時直線l的方程為x+y-2=0.

      (3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),

      x21+y21=2,x22+y22=2.

      故mn=2為定值.

      推廣1能否推廣到一般的圓呢?

      推廣到圓的一般形式:設(shè)M、P是圓O:x2+y2=r2上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

      解設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),x21+y21=r2,x22+y22=r2.

      故mn=r2為定值.

      評析也可先用特殊法取P(r,0),M(0,r),N(0,-r),得m=n=r,所以mn=r2,然后證明.

      圓與橢圓有著密切的關(guān)系,可以通過伸縮變換相互轉(zhuǎn)化.因而可以將把圓的問題類比推理到橢圓的情形.

      推廣2問題能否推廣到橢圓呢?

      故mn=a2(定值).

      橢圓是圓錐曲線的一種類型,它在定義、方程結(jié)構(gòu)、幾何特征等方面與雙曲線有著許多共同的特性,所以運用類比的思想方法,可以大膽猜想雙曲線的類似性質(zhì).

      推廣3問題能否推廣到雙曲線呢?

      此推廣可仿照推廣2,解得mn=a2為定值.

      推廣4問題能否推廣到拋物線呢?

      類比到拋物線:設(shè)M、P是拋物線C:y2=2px(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

      解設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),由推廣2,得

      所以mn不是定值.

      故m+n=0是定值,所以可得下列變式.

      變式1設(shè)M、P是拋物線C:y2=2px(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問m+n是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

      推廣5問題可否推廣到有心二次曲線?

      設(shè)M、P是有心二次曲線C:ax2+by2=1(ab≠0)上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N.若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

      類似地,由類比推理和二次曲線的對稱性可得如下變式.

      變式3設(shè)M、P是拋物線C:x2=2py(p>0)上任意兩點,點M關(guān)于y軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交y軸于點(0,m)和(0,n),則m+n是定值0.

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