臺灣地區(qū)高考數(shù)學試題特色賞析

臺灣地區(qū)針對大學招生每年有兩次大的考試.一是每年1、2月份的大學學科能力測試（簡稱“學測”），二是每年7月初的指定科目考試（簡稱“指考”）.“指考”數(shù)學考試分數(shù)學甲（理科程度）與數(shù)學乙（文科程度）.學生如果通過“學測”沒能被理想的大學提前錄取，他們還可參加“指考”，尋求第二次被理想大學錄取的機會.

臺灣地區(qū)學生在大型國際測試項目TIMSS和PISA中，一向成績名列前茅.這說明臺灣的數(shù)學教育質量非同一般.本文以臺灣近五年高考數(shù)學試題為分析文本，來探究、賞析島內高考數(shù)學試題的特色.

特色1單選題與多選題并存

“學測”數(shù)學試卷由單選題、多選題、選填題三類題型構成，用時100分鐘，總分100分；“指考”試卷也包括了這三類題型，且多了兩個解答題，用時80分鐘，總分100分.

單選題與多選題都有5個選擇支.多選題在大陸高考試題中很少出現(xiàn).以2016年而言，“學測”試題中多選題7個，占分35分；“指考”數(shù)學甲試題中多選題3個，占分24分；數(shù)學乙試題中多選題5個，占分40分.可見多選題占分不少.

例1（2016年“學測”單選題第6題）設{an}為一等比數(shù)列.已知前10項的和為∑10k=1ak=80，且a1+a3+a5+a7+a9=120，請選出首項a1的正確范圍：

分析a2+a4+a6+a8+a10=q（a1+a3+a5+a7+a9），則（1+q）（a1+a3+a5+a7+a9）=801+q=23q=-13，由a1+a3+a5+a7+a9=120a11-（q2）51-q2=120，有

a1=1201-191-195=120×89-194>120×89>100，

排除（1）、（2）、（3）.

又9-194>8a1=1201-191-195=120×89-194

<110，排除（5）.

正確答案是（4）.

例2（2016年“學測”多選題第7題）下列各方程式中，請選出有實數(shù)解的選項：

分析這個題如果分類討論去絕對值符號，就比較麻煩.考慮到|x|、|x-5|的幾何意義：分別表示點x到點0、5的距離.這樣（1）、（4）是不可能的，有實數(shù)解應選（2）、（3）、（5）.

臺灣選擇題突出核心數(shù)學概念，強化基礎知識與基本技能的考查；有些問題依托數(shù)學模型，注重數(shù)學思想方法的考查；有些問題學生可憑借數(shù)學直感、類比、歸納可以解決，考查學生的合情推理能力.臺灣選擇題一般客觀性強，可信度高，具有較好的甄別和選拔功能.

特色2突出試題的現(xiàn)代數(shù)學背景

從臺灣《普通高級中學數(shù)學課程綱要》可以看到，大學很多現(xiàn)代數(shù)學知識下放到了高中課程.臺灣課程不但包括了大陸課程標準中的所有現(xiàn)代數(shù)學內容，而且還多了高次多項式函數(shù)、線性方程組、行列式與矩陣、向量的外積、空間中直線與平面的方程、極限、不定積分等.臺灣大學入學考試命題以課程理念為指導，呈現(xiàn)出很多以現(xiàn)代數(shù)學為背景的試題.

例3（2013年“指考”數(shù)學甲單選題第4題）考慮所有由1、2、3、4、5、6各一個與三個0所排成形如0ab

c0d

ef0主對角線上的元素均為0的三階方陣.今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值0ab

c0d

ef0為奇數(shù)的機率為下列哪一個選項？

（1）120（2）110（3）12（4）910（5）1920

解將1，2，3，4，5，6六個數(shù)排a，b，c，d，e，f六個位置，有A66=720種方法.若要0ab

c0d

ef0=ade+bcf為奇數(shù)，則必須三個奇數(shù)1，3，5在一起相乘，三個偶數(shù)2，4，6在一起相乘，根據(jù)題設要求的排列方法有2A33A33=72種，則所求概率P=110，選（2）.

這個題呈現(xiàn)的現(xiàn)代數(shù)學背景有行列式、矩陣、概率.統(tǒng)計近五年的臺灣高考題，概率與統(tǒng)計、平面向量、空間向量、極限、微積分、行列式與矩陣等現(xiàn)代數(shù)學內容是考試的重點，占分超過60%.

特點3試題貼近日常生活

《普通高級中學數(shù)學課程綱要》在“課程目標”中指出，培養(yǎng)學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數(shù)學技能.在“核心能力”培養(yǎng)中，提倡培養(yǎng)學生“連結能力”，能將課堂內學到的知識聯(lián)系到生活實際，用數(shù)學知識有效地解決生活中隨時可能碰到的問題.

例4（2015年“指考”數(shù)學乙解答題第1題）根據(jù)內政部營建署《建筑物無障礙設施設計規(guī)范》，無障礙通路之設計需符合以下規(guī)定：

（1）坡道之坡度（高度與水平長度之比值）不得大于112；

（2）坡道之起點及終點，應設置長、寬各150公分以上之平臺.此處的長指的是水平長度，而非斜面的長度；

（3）走道的中間應設置適當數(shù)量的平臺，使得每段坡道的高差不超過75公分，且平臺的水平長度至少150公分；

（4）各平臺坡度不得大于150.

圖1圖2圖1與圖2為側面示意圖，圖1摘自此規(guī)范書，圖2為圖1的簡明版，其中l(wèi)≥150，h1，h2≤75；走道之坡度相當于走道斜率之絕對值.

依上述規(guī)定，一條升高2公尺的無障礙走道，在無轉彎的條件下，其最小可能的水平長度（含平臺）為多少公尺？

解高度差為200公分，要有最短水平距離，則所有平臺的坡度須恰好為150，且所有坡道的坡度須恰好是112，因為平臺的坡度150小于坡道的坡度112，要得到最短水平長度就必須極小化平臺的水平長度，也就是極小化平臺的高度差.

每一個平臺水平距離至少為150公分，也就是每個平臺的高度差至少為150×150=3公分，可以觀察：

當高度不超過6公分時，只能設計一個平臺；

當高度差超過6公分，但不超過3+75+3公分時，可以設計前后兩個各150公分的平臺，中間一個坡道；

當高度差超過3+75+3公分，但不超過3+75+3+75+3公分時，可以設置前后兩個各150公分的平臺，中間兩個坡道以及一個150公分的平臺；

當高度差超過3+75+3+75+3公分，但不超過3+75+3+75+3+75+3公分時，可設置前后兩個各150公分的平臺，中間三個坡道以及兩個150公分的平臺；

四個150公分的平臺會升高3×4=12公分，剩下的200-12=188公分的高度由坡道來提供，所以坡道的水平長度為188×12=2256公分，因此水平總長度為2256+150×4=2856公分，也就是28.56公尺.

這是一個生活氣息很濃的數(shù)學試題，毫無人工編造的痕跡.統(tǒng)計臺灣近五年的高考數(shù)學試題可以看到，這樣“連結”生活實際的試題共有60多道.這不但是臺灣試題的一大特色，更是一大奇觀！真正讓學生感受和理解到數(shù)學來源與生活，又將回到生活中解決實際問題.

特色4凸顯能力立意的主旨

從例4還可以看到，題設文字表述多，但從求解過程看，沒有繁雜的運算，也沒用到特別強的數(shù)學技巧.這是臺灣數(shù)學課本習題和重大考試數(shù)學試題的一種常見現(xiàn)象，練的和考的就是學生的閱讀能力、理解能力、運算能力、寫作能力.《普通高級中學數(shù)學課程綱要》特別重視學生數(shù)學能力的培養(yǎng).因些，臺灣高考數(shù)學試題突出能力立意的主旨，提倡試題能給學生提供多角度思考問題、一題多解的空間，反對試題求解過程中需要用到繁雜的運算和特別強的解題技巧.

例5（2015年“指考”數(shù)學甲解答題第二題）設無窮數(shù)列{an}符合a0=0且當n≥1時，an滿足

綜上，對一切大于等于0的整數(shù)n，不等式成立.故得證.

由{a2n}為嚴格遞減，則當正整數(shù)n≥1時，a2n

再由{a2n}為嚴格遞減且limn→∞a2n=-18，得對任意正整數(shù)n，-18≤a2n，所以，-18≤a2n<0成立.

例5是2015年“指考”數(shù)學甲最后一個題，是一個綜合性較強的試題，命題者把等比數(shù)列、極限、不等式等知識融入一題.第（3）小題求解中，可以從多個角度切入，做到一題多解.此題難度不大，不等式放縮的適度性也比較好把握，不需再用其他高超的解題技巧.

特色5與其他學科知識相互滲透

臺灣數(shù)學教育非常重視學生“連結”能力的培養(yǎng)，即將數(shù)學知識與生活情境、其他領域、人類文化等連結，用數(shù)學方法去解決出現(xiàn)的問題.“連結”分5個階段：察覺、轉化、解題、溝通、評析.

例6（2015年“指考”數(shù)學乙多選題第4題）半導體產(chǎn)業(yè)的的摩爾定律認為“體積電路板可容納的電晶體數(shù)目每兩年增加一倍”.f（t）表示從t=0開始，電晶體數(shù)目隨時間t變化的函數(shù)，并假設f（0）=1000.下面的選項中，請選出可以代表摩爾定律的公式：

（1）若t以年為單位，則f（t）=1000+10002t；

（2）若t以年為單位，則f（t）=1000+100024t；

（3）若t以年為單位，則f（t）=10002t；

（4）若t以年為單位，則

lgf（t）=3+lg32t+12；

（5）若t以年為單位，則lgf（t）=3+lg22t.

分析依題意知，f（2）=2000，f（4）=4000，f（6）=8000，…

用特殊值法可選出正確答案為（3）、（5）.

例7（2015年“學測”單選題第3題）有兩組供機器運作的配件A、B，其單獨發(fā)生故障的概率分別為01、015.只有當A、B都發(fā)生故障時，此機器才無法運作.A、B兩配件若用串聯(lián)的方式，前面故障會導致后面故障，但若后面故障則不會影響前面的故障；若用并聯(lián)方式，則故障情形互不影響.若考慮以下三種情形：

（一）將B串聯(lián)于A之后；（二）將A串聯(lián)于B之后；（三）將A、B并聯(lián).

在情況（一）、（二）、（三）之下，機器無法運作的機率分別為p1、p2、p3.請選出正確的選項：

圖3分析以題意畫出三種情形相應的圖像，如圖3.在情況（一）下，機器不能運作的概率是p1=0.1，在情況（二）下，機器不能運作的概率是p2=0.15，在情況（三）下，機器不能運作的概率是p3=0.1×0.15=0.015.選（2）.

臺灣數(shù)學教育傾向于培養(yǎng)學生數(shù)學工具化的意識，因此，他們淡化了以純粹數(shù)學教學為主的數(shù)學教育，主張在數(shù)學與其他學科相互滲透的環(huán)境中學習數(shù)學.

特色6有機融入文化的元素

汪曉勤[1]、劉芳[2]等人的研究認為，數(shù)學文化的類型應分為數(shù)學史、數(shù)學與生活、數(shù)學與科技、數(shù)學與人文、數(shù)學與藝術體育、數(shù)學游戲等.臺灣地區(qū)《普通高級中學數(shù)學課程綱要》也強調，引進與主題相關的數(shù)學文化，對學生會起正面的作用，尤其能協(xié)助學生將抽象觀念具體化.因此，臺灣大學入學試題也充分體現(xiàn)了這些課程理念.

圖4例8（2014年“指考”數(shù)學甲選填題第B題）在游戲中，阿玲拿到如右的數(shù)字卡.主持人隨機從1至9號球中同時取出三球，若這三球的號碼中任兩個都不在卡片上的同一行也不在卡片上的同一列時就得獎，則阿玲得獎的概率為（化成最簡分數(shù)）.

分析符合題設要求的取法有3×2×1=6（種），

不考慮限制條件的取法共有

6+3×2×1+6C23×2+12×6×C23×4=84，

故阿玲獲獎的概率是684=114.

例8是一個與數(shù)字游戲相關的問題，而且是一種常見的游戲.我們大家很小的時候都玩過.

從上文可以看到，臺灣試題頗多特色，很值得我們學習、借鑒、欣賞.大陸高考數(shù)學試題無論是題型還是內容，幾乎一成不變，顯得過于刻板和無趣.我們應該學習臺灣高考的命題原則和方法，試題編制要符合學生的認知能力，不要隨意拔高或降低難度，避免偏題、怪題和難題.我們還應在高考試題中，增加多個有生活氣息的應用題，讓學生感悟到數(shù)學的實用價值和魅力.這樣不但可以考查到學生觀察、分析和解決問題的能力，還可以考查到學生閱讀理解能力、數(shù)學建模能力，達到考試目標多元化的目的.

參考文獻

[1]汪曉勤.主要國家高中數(shù)學教材中的數(shù)學文化[J].中學數(shù)學月刊，2011（4）：封底.

[2]劉芳.浙教版教材中數(shù)學文化滲透情況的分析[J].教學月刊（中學版），2010（3）∶24-28.

作者簡介郝保國（1958—），男，湖南祁東人，數(shù)學高級教師；主要研究方向是課程、教材、教法、競賽等；華南師大校外碩士生導師，廣東省優(yōu)秀教師；在《數(shù)學傳播》、《中學數(shù)學雜志》等刊物共發(fā)表論文86篇，輔導學生獲國際數(shù)學奧林匹克競賽金牌1人次.