探究2016年高考四川卷函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題的命題方法

楊蒼洲+崔紅光

面對一個試題，大多數(shù)人都喜歡研究試題的解法，而筆者卻更喜歡探究試題背后的故事.筆者常思考，命題者是如何得到問題，并將其設(shè)計成試題的呢？

試題的解題方法固然很值得研究，但是此類研究往往只停留于對試題較低層次的認(rèn)識.而探究試題的命題背景、命題方法，不僅有助于在解題中尋找入口、理順?biāo)悸?、開闊視野，從而提高解題水平，同時也能大幅提高教師的命題水平.下面筆者探究2016年高考四川卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命題方法，并根據(jù)此命題方法進(jìn)行試題命制.

1試題與解答

題目（2016年高考四川卷理科）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使f（x）>1x-e1-x在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）.

解析（Ⅰ）由題意，f′（x）=2ax-1x=2ax2-1x，x>0.

①當(dāng)a≤0時，2ax2-1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a>0時，

f′（x）=2ax+12ax-12ax.

當(dāng)x∈0，12a時，f′（x）<0；

當(dāng)x∈12a，+∞時，f′（x）>0.

故f（x）在0，12a上單調(diào)遞減，在12a，+∞上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令g（x）=1x-e1-x=ex-1-xxex-1，

令s（x）=ex-1-x，則s′（x）=ex-1-1.

而當(dāng)x>1時，s′（x）>0，所以s（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.又由s（1）=0，有s（x）>0，

從而當(dāng)x>1時，g（x）>0.

（1）當(dāng)a≤0，x>1時，f（x）=ax2-a-lnx<0，此時f（x）

（2）當(dāng)a>0且12a≤1時，即a≥12時，令h（x）=f（x）-g（x）B（x≥1），

h′（x）=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0.因此h（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.又由h（1）=0，從而當(dāng)x>1時，有h（x）>0，即f（x）>g（x）成立.

（3）當(dāng)a>0且12a>1時，由（Ⅰ）知f12a0，因此f（x）>g（x）不恒成立.

綜上所述，a≥12.

2命題手法探究

上述試題是怎樣命制出來的呢？

命題者構(gòu)造了過定點（1，0）的函數(shù)族f（x）=ax2-a-lnx.隨著實數(shù)a取值范圍的變化，函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值都發(fā)生變化.

當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減（如圖1）；

當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間0，12a上單調(diào)遞減，在區(qū)間12a，+∞上單調(diào)遞增（如圖2）.圖1圖2于是命題者設(shè)置了問題（Ⅰ）：討論函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx的單調(diào)性.

為了增加試題難度，命題者考慮引入新函數(shù)，于是構(gòu)造了過點（1，0）的函數(shù)g（x）=1x-e1-x.

由于動函數(shù)f（x）與定函數(shù)g（x）相交于點（1，0）.于是考慮比較f（x）與g（x）在定點兩側(cè)函數(shù)值的大小.為減小試題的難度，命題者只研究兩個函數(shù)在定點右側(cè)的情況，即研究x>1時，兩函數(shù)值的大小關(guān)系.

如圖3，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的圖像恒在函數(shù)g（x）圖像的下方.

圖3圖4圖5如圖4，當(dāng)a>0且12a≤1時，函數(shù)f（x）圖像恒在函數(shù)g（x）圖像的上方.

如圖5，當(dāng)a>0且12a>1時，函數(shù)f（x），g（x）的圖像有異于點（1，0）的又一交點（p，q）.

當(dāng)1p，函數(shù)f（x）的圖像在函數(shù)g（x）圖像的上方.

根據(jù)上述分析，命題者設(shè)置了問題（Ⅱ）：確定a的所有可能取值，使得f（x）>g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

此類問題的命題手法為：研究過同一定點的兩個函數(shù)（其中一個為動函數(shù)，一個為定函數(shù)）的函數(shù)圖像關(guān)系，并從中提煉設(shè)置問題.

如能探明試題的命題方法，解題者就不難得到解題思路了.講題時，也將有利于教師講清問題的來龍去脈.

3命制新題

基于對2016年高考四川卷理科函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題命題手法的研究.模仿此命題手法，筆者嘗試編制新題.

新題1：已知函數(shù)f（x）=ex-ax有極值1.

（Ⅰ）求實數(shù)a，并確定該極值為極大值還是極小值；

（Ⅱ）當(dāng)x∈0，+∞）時，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解（Ⅰ）f′（x）=ex-a.

①當(dāng)a≤0時，f′（x）>0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；

②當(dāng)a>0時，f′（x）=0，x=lna，當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

當(dāng)x=lna時，f（x）取到極小值，f（lna）=a-alna=1，得a=1.

（Ⅱ）f（x）=ex-x.

令g（x）=ex-x-mxln（x+1）-1，x∈[0，+∞），g′（x）=ex-1-mln（x+1）-mxx+1.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-1-mln（x+1）-mxx+1，x∈[0，+∞），h′（x）=ex-m1（x+1）2+1x+1，h′（0）=1-2m.

①當(dāng)m≤0時，h′（x）>0，h（x）在0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）min=0，則g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）min=0，

所以g（x）≥0，故ex-x≥mxln（x+1）+1恒成立.

②當(dāng)00，h（x）在0，+∞）上單調(diào)遞增，h（0）min=0，則g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）min=0，所以g（x）≥0，ex-x≥mxln（x+1）+1恒成立，此時0

③當(dāng)m>12時，h′（x）遞增，h′（x）min=1-2m<0，當(dāng)x→+∞時，ex→+∞，-m1（x+1）2+1x+1→0，h′（x）→+∞，則x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，當(dāng)x∈（0，x0）時，h′（x）<0，h（x）遞減，此時h（x0）

綜上所述，k的取值范圍是（-∞，12].

新題2：已知函數(shù)f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1.

（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)x>0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解（Ⅰ）g′（x）=ex-a.

①當(dāng)a≤0時，g′（x）>0，g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)a>0時，當(dāng)x∈（-∞，lna）時，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（lna，+∞）時，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增.

作者簡介楊蒼洲（1979—），男，福建泉州人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)，命題研究.泉州市中小學(xué)名師工作室成員，福建省第二屆教師教學(xué)技能大賽特等獎?wù)?多次參與泉州市質(zhì)檢命題，福建省質(zhì)檢命題，福建省高考命題.在中數(shù)期刊發(fā)表文章200多篇.

崔紅光（1981—），女，福建泉州，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)，命題研究.曾獲得泉州市說課比賽二等獎，泉州市普通高中高考九科試卷命制技能比賽二等獎.