張 斌，張 瑩，刁海濤，張婧怡（南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，南京 210044）

多狀態(tài)系統(tǒng)預防性維修組合模型

張 斌，張 瑩，刁海濤，張婧怡
（南京信息工程大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，南京 210044）

文章研究了兩部件系統(tǒng)的預防性維修組合問題。根據(jù)子系統(tǒng)正常與否，將系統(tǒng)分為四個不同的運行狀態(tài)。當單個子系統(tǒng)發(fā)生故障時，系統(tǒng)能夠繼續(xù)工作，但單位時間的收益將發(fā)生變化。定期對子系統(tǒng)進行預防性維修，可以減小子系統(tǒng)的故障率。構建了狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，并求出各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率。綜合考慮了單位產(chǎn)品的獲利、減產(chǎn)的損失、不合格品的損失、故障維修費用和預防性維修費用等，以有效生產(chǎn)率滿足閾值為約束條件，以單位時間凈收益最大為目標，提出預防性維修組合優(yōu)化模型。分析了模型參數(shù)對預防性維修決策的影響。

多狀態(tài)；馬爾可夫過程；維修組合

0 引言

許多實際系統(tǒng)通常包括多個子系統(tǒng)。在使用過程中，如果對系統(tǒng)的維修不足，可能導致突發(fā)性故障頻發(fā)，從而造成巨大的經(jīng)濟損失；如果對系統(tǒng)的維修過度，又將使維修費用過高，甚至維修費用超過系統(tǒng)本身的成本很多倍。因此，在故障前對系統(tǒng)進行預防性維修及預防性維修決策的優(yōu)化非常重要。

根據(jù)系統(tǒng)運行情況的不同可以將系統(tǒng)分為多個運行狀態(tài)。Lad和Kulkarni(2010)[1]根據(jù)故障的影響對系統(tǒng)的狀態(tài)進行了分類。Liu和Huang(2010)[2]利用半更新過程描述一個多狀態(tài)系統(tǒng)的每個單元在維修后的運行情況，進而提出最優(yōu)預防性維修方案。Sheu等(2012)[3]考慮了系統(tǒng)存在兩類故障，通過引入故障率函數(shù)改進因子提出不完全預防性維修模型。Attia和Abou Elela等(2011)[4]針對存在正常運行、異常運行和故障三個狀態(tài)的系統(tǒng)，在假定故障率是預防性維修次數(shù)函數(shù)的基礎上，提出不同狀態(tài)下預防性維修策略的優(yōu)化模型，但僅考慮了單部件系統(tǒng)的維修問題。本文將文獻[4]提出的故障率是預防性維修次數(shù)函數(shù)的思想由單部件系統(tǒng)推廣到兩部件系統(tǒng)，根據(jù)子系統(tǒng)的運行情況將系統(tǒng)分為正常運行、系統(tǒng)運轉(zhuǎn)但生產(chǎn)率降低、生產(chǎn)率不變但過程失控和停止運行四個狀態(tài)。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律，構建了狀態(tài)方程。在單位時間平均凈收益最大的前提下，以有效生產(chǎn)率滿足閾值為條件，提出了多狀態(tài)系統(tǒng)的預防性維修組合模型。本文所提方法可以為兩部件系統(tǒng)的預防性維修組合提供決策依據(jù)。

1 四狀態(tài)系統(tǒng)模型

假設某系統(tǒng)由兩個獨立的子系統(tǒng)并聯(lián)組成，每個子系統(tǒng)有兩種工作狀態(tài)：正常狀態(tài)和故障狀態(tài)。根據(jù)子系統(tǒng)正常與否，可以將系統(tǒng)的運行狀態(tài)分為四種：

狀態(tài)0：兩個子系統(tǒng)都正常，系統(tǒng)處于完全正常狀態(tài)；

狀態(tài)1：子系統(tǒng)2正常，但子系統(tǒng)1故障，系統(tǒng)處于不完全正常狀態(tài)1；

狀態(tài)2：子系統(tǒng)1正常，但子系統(tǒng)2故障，系統(tǒng)處于不完全正常狀態(tài)2；

狀態(tài)3：兩個子系統(tǒng)都故障，系統(tǒng)處于完全故障狀態(tài)。

當單個子系統(tǒng)發(fā)生故障時，系統(tǒng)能夠繼續(xù)工作，即系統(tǒng)處于狀態(tài)1或狀態(tài)2時可以繼續(xù)運行。子系統(tǒng)i(i=1，2)發(fā)生故障的時間和維修時間服從指數(shù)分布，子系統(tǒng)i(i=1，2)的故障率為λi，維修率為μi。當系統(tǒng)處于狀態(tài)1或狀態(tài)2時，經(jīng)過維修可以使系統(tǒng)修復到初始狀態(tài)，即“修舊如新”。子系統(tǒng)的故障事件互不影響，且在極短的時間內(nèi)不會出現(xiàn)兩個子系統(tǒng)同時故障的情況。當系統(tǒng)處于狀態(tài)3時，系統(tǒng)停止運行，通過維修可將其修復到初始狀態(tài)，維修率為μ。系統(tǒng)在狀態(tài) j(j=1，2，3)下的維修時間就是系統(tǒng)在該狀態(tài)的逗留時間。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

圖1系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

2 狀態(tài)方程及穩(wěn)態(tài)概率

為了計算系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下處于狀態(tài) j(j=0，1，2，3)的概率Pj，先考慮轉(zhuǎn)移概率Pij(t+Δt)，其中Δt＞0。由柯爾莫哥洛夫-切普曼公式，得則：

已知系統(tǒng)在0時刻處于狀態(tài)0，即：

由于系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)是0為已知，故將Pij(t)簡記為Pj(t)。在Δt很小的情況下，可以得到該馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率為：

式（2）方程兩邊對Δt=0求導，得狀態(tài)微分方程為：

由于系統(tǒng)的任何一個狀態(tài)只能從其他狀態(tài)轉(zhuǎn)換得來，因此，該過程是一個不可復歸的馬爾可夫過程，其穩(wěn)態(tài)概率存在。由及，得各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率滿足方程：

由式(4)解得各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率為：

其中，A=λ1(λ1+μ2)(λ2+μ)+λ2(λ1+μ)(λ2+μ1)+μ(λ1+μ2) (λ2+μ1)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時的可用度為：

可用度是系統(tǒng)能工作時間與能工作時間、不能工作時間的和之比，是系統(tǒng)的可用性參數(shù)。對于一個多狀態(tài)系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所處狀態(tài)不同，產(chǎn)生的收益也不同，僅考慮可用度或?qū)⒖捎枚茸鳛槟繕撕瘮?shù)來制定預防性維修方案并不合理。實際生產(chǎn)中，系統(tǒng)的有效生產(chǎn)率往往比可用度更加受關注。為此，本文將有效生產(chǎn)率滿足閾值作為約束條件，以系統(tǒng)的單位時間平均凈收益為目標函數(shù)來確定最優(yōu)預防性維修方案。

3 預防性維修組合模型

3．1 模型假設

為了構建預防性維修組合模型，對系統(tǒng)作如下假設：

（1）系統(tǒng)在正常狀態(tài)下的生產(chǎn)率為R(單位時間內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù))，過程能力指數(shù)Cp=Cpk=1，即過程輸出無偏且規(guī)范限在±3σ處，其中σ為質(zhì)量特性的標準差。在狀態(tài)1下，系統(tǒng)能夠繼續(xù)運行，但生產(chǎn)率減小到r=αR(0＜α＜1)。在狀態(tài)2下，系統(tǒng)輸出的生產(chǎn)率不變，但過程處于失控狀態(tài)，過程輸出質(zhì)量特性的均值漂移δσ。此時，生產(chǎn)不合格產(chǎn)品的比率將增多。

（2）正常狀態(tài)下生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獲利為d，產(chǎn)量減少一件的損失為Clp，過程失控時生產(chǎn)一件不合格產(chǎn)品的損失為d1。

（3）為了減小系統(tǒng)故障的發(fā)生率，定期對子系統(tǒng)進行預防性維修。預防性維修分為完全預防性維修和不完全預防性維修。不完全預防性維修的作用通常分為減小實際年齡和減小故障率。本文假定預防性維修不能使系統(tǒng)完全修復，但隨著預防性維修次數(shù)的增加系統(tǒng)的故障率將降低，即故障率是預防性維修次數(shù)的函數(shù)，λi=λi(ni)，i=1，2，其中，ni為子系統(tǒng)i在單位時間內(nèi)的預防性維修次數(shù)。

（4）系統(tǒng)在故障狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3下單位時間的故障維修費用分別為CCM1、CCM2、CCM3。對子系統(tǒng)i(i=1，2)進行一次預防性維修的費用為CPMi(i=1，2)，預防性維修不影響系統(tǒng)工作且維修時間可以忽略不計。

（5）系統(tǒng)的各類故障能夠被及時發(fā)現(xiàn)，并立即維修。系統(tǒng)在故障狀態(tài)1或狀態(tài)2下的運行時間等于對狀態(tài)1或狀態(tài)2的維修時間。

3．2 維修組合模型構建

系統(tǒng)在使用期內(nèi)單位時間平均凈收益等于系統(tǒng)在各狀態(tài)下的收益減去預防性維修費用，即目標函數(shù)為：

其中，EPj(j=0，1，2，3)為系統(tǒng)處于狀態(tài) j時單位時間的收益，R1為系統(tǒng)的平均有效生產(chǎn)率，p(0＜p＜1)為生產(chǎn)任務完成率的閾值。

本文的目標是在滿足約束條件的前提下，尋找單位時間內(nèi)對子系統(tǒng)進行預防性維修的次數(shù)ni(i=1，2)，使單位時間平均凈收益AE(n)最大。

系統(tǒng)處于狀態(tài)0時，工作正常。在該狀態(tài)下，單位時間的收益等于生產(chǎn)率乘以單位產(chǎn)品的收益，即EP0=R×d。系統(tǒng)處于狀態(tài)1時單位時間的收益等于生產(chǎn)產(chǎn)品的收益減去產(chǎn)量減少的損失再減去故障維修費用，即：

同理，系統(tǒng)處于狀態(tài)2時，單位時間的收益等于生產(chǎn)有效產(chǎn)品的收益減去有效產(chǎn)品減少的損失再減去不合格品損失和故障維修費用，即：

其中，IRR為系統(tǒng)處于狀態(tài)2時的不合格品率。

在狀態(tài)2下產(chǎn)品的不合格品率為：

系統(tǒng)在狀態(tài)3下將停止運行，此時立即對系統(tǒng)進行故障維修。因此，系統(tǒng)在該狀態(tài)下單位時間的收益為負值，等于停機減產(chǎn)的損失與故障維修費用的和：

系統(tǒng)處于狀態(tài)0、狀態(tài)1和狀態(tài)2時的有效生產(chǎn)率分別為R、r和R×(1-IRR)。因此，系統(tǒng)的平均有效生產(chǎn)率為：

系統(tǒng)在單位時間內(nèi)的預防性維修費用等于對子系統(tǒng)進行一次預防性維修的費用乘以預防性維修次數(shù)，即：

如果不考慮對子系統(tǒng)進行預防性維修，則系統(tǒng)在使用期內(nèi)單位時間平均凈收益為：

4 數(shù)值分析

考慮某系統(tǒng)是由兩個獨立的子系統(tǒng)并聯(lián)而成，兩個子系統(tǒng)的故障率與預防性維修次數(shù)的關系分別為[10]：λ1(n1)=其中r1=1，r2=1.5。兩個子系統(tǒng)的維修率分別為：μ1=5，μ2=5。

系統(tǒng)在正常狀態(tài)下的生產(chǎn)率R=1000，單位產(chǎn)品獲利d=30。當子系統(tǒng)1發(fā)生故障時，生產(chǎn)率是正常狀態(tài)下的0.9倍，即α=0.9，產(chǎn)量減少單位產(chǎn)品的損失Clp=10。系統(tǒng)的實際平均有效生產(chǎn)率不得低于正常狀態(tài)下的0.99倍，即生產(chǎn)任務完成率的閾值p=0.99。當子系統(tǒng)2發(fā)生故障時，生產(chǎn)率不發(fā)生變化，但過程處于失控狀態(tài)，過程均值漂移δσ，其中δ=0.75。失控狀態(tài)生產(chǎn)單位不合格品的損失d1=20。系統(tǒng)處于故障狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3時單位時間維修費用分別為：CCM1=50，CCM2=60，CCM3=100。對兩個子系統(tǒng)進行一次預防性維修費用分別為：CPM1=10，CPM2=10。

圖2系統(tǒng)可用度與預防性維修次數(shù)的關系

根據(jù)式（6），系統(tǒng)的可用度與預防性維修次數(shù)的關系如圖2所示，由圖知當n1、n2增大時，可用度AV將增大。

圖3單位時間平均凈收益與預防性維修次數(shù)的關系

根據(jù)式（7），單位時間平均凈收益與預防性維修次數(shù)的關系如圖3所示，當n1、n2增大時，單位時間平均凈收益AE(n)先增大然后減小，在n1=14，n2=10時，單位時間平均凈收益AE(n)達到最大值29603.27。此時，系統(tǒng)的可用度AV=0.9980，生產(chǎn)任務完成率

如果不考慮對子系統(tǒng)進行預防性維修，則由式（14）得，單位時間平均凈收益 AE=23637.03，系統(tǒng)的可用度AV=0.8538，生產(chǎn)任務完成率R1/R=0.8426。利用本文模型可以使單位時間平均凈收益增大的比例為×100%=25.24%。同時，系統(tǒng)的可用度和生產(chǎn)任務完成率都將得到大幅度提高。

為了分析子系統(tǒng)故障造成的后果對決策變量的影響，下面分別討論子系統(tǒng)1故障時的生產(chǎn)率和子系統(tǒng)2故障時的均值漂移與最優(yōu)預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產(chǎn)任務完成率之間的關系。具體見表1和表2。

表1 α對預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產(chǎn)任務完成率的影響

由表1知，在系統(tǒng)處于狀態(tài)1時，隨著生產(chǎn)率的降低，n1將增大，n2減小，單位時間平均凈收益AE(n)減小，系統(tǒng)的可用度AV增大，生產(chǎn)任務完成率減小。

表2 δ對預防性維修策略、凈收益率、可用度及生產(chǎn)完成率的影響

由表2知，在系統(tǒng)處于狀態(tài)2時，隨著過程均值漂移率的增加，n1將減小，n2增大，單位時間平均凈收益AE(n)減小，系統(tǒng)的可用度AV增大，生產(chǎn)任務完成率減小。

5 總結(jié)

本文討論了存在四種狀態(tài)的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)的預防性維修組合問題。假定兩個子系統(tǒng)的故障對系統(tǒng)的影響分別是降低生產(chǎn)率和增大不合格品率，故障時間和維修時間相互獨立且服從指數(shù)分布，利用柯爾莫哥洛夫-切普曼公式構建狀態(tài)微分方程?？紤]到系統(tǒng)在不同狀態(tài)下運行的收益不同，本文將有效生產(chǎn)率滿足閾值作為約束條件，在綜合維修成本和相關損失的基礎上，提出兩部件多狀態(tài)系統(tǒng)預防性維修優(yōu)化模型。數(shù)值分析驗證了所提模型的有效性，模型參數(shù)對最優(yōu)預防性維修方案影響的分析表明：

（1）在系統(tǒng)處于狀態(tài)1時的生產(chǎn)率越低，對子系統(tǒng)1的預防性維修次數(shù)越大，子系統(tǒng)2的預防性維修次數(shù)越小，但生產(chǎn)率的改變對子系統(tǒng)1預防性維修次數(shù)的影響較大；

（2）統(tǒng)處于狀態(tài)2時的均值漂移越大，即不合格品率越大，對子系統(tǒng)1的預防性維修次數(shù)越小，子系統(tǒng)2的預防性維修次數(shù)越大，但均值漂移對子系統(tǒng)2預防性維修次數(shù)的影響較大；

（3）系統(tǒng)的生產(chǎn)率降低或產(chǎn)品不合格率增大，系統(tǒng)的可用度增大，但生產(chǎn)任務完成率卻減小。表明對于多狀態(tài)系統(tǒng)，當系統(tǒng)在不同狀態(tài)下運行的收益不同時，僅關注可用度是不夠的。

[1]Lad B K,Kulkarni M S.An Expert Based Methodology for Cost Orient?ed Analysis of Machine Tool Reliability[J].International Journal of Performability Engineering,2010,6(2).

[2]Liu Y,Huang H Z.Optimal Replacement Policy for Multi-State Sys?tem Under Imperfect Maintenance[J].IEEE Transactions on Reliabili?ty,2010,59(3).

[3]Sheu S H,Chang C C,Chen Y L.An Extended Sequential Imperfect Preventive Maintenance Model With Improvement Factors[J].Commu?nications in Statistics:Theory and Methods,2012,41(7).

[4]Attia A F,Abou Elela E D,Hosham H A.The Optimal Preventive Maintenance Policy for the Multistate System Profit[J].Communica?tions in Statistics:Theory and Methods,2011,40(23).

（責任編輯/易永生）

O213.1

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1002-6487（2016）24-0179-04

江蘇省大學生實踐創(chuàng)新訓練計劃項目（001266）