基于Copula-GARCH模型的新興產(chǎn)業(yè)與上證指數(shù)相依性研究

葛亮（福建中醫(yī)藥大學(xué) 人文與管理學(xué)院，福州 350122）

基于Copula-GARCH模型的新興產(chǎn)業(yè)與上證指數(shù)相依性研究

葛亮
（福建中醫(yī)藥大學(xué) 人文與管理學(xué)院，福州 350122）

文章利用Copula-GARCH模型對2005年1月1日至2014年4月30日上證交易所新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)進行建模，然后運用ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型，將邊緣分布概率積分變化后的2個服從均勻分布的序列作為Copula模型的邊緣分布，得到了較好的擬合效果。通過建立正態(tài)Normal Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)的5個二元Copula模型，并采用AIC法、BIC法、切比雪夫距離和歐式距離4種檢驗擬合優(yōu)度的方法選擇最優(yōu)的t-Copula模型。同時利用GPD法對2個指數(shù)做了尾部相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)下尾比上尾具有更好的相依性，說明極端情形（如金融危機）下兩指數(shù)的漲跌幅度較大。

Copula-GARCH模型；新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)；上證指數(shù)；相依性

0 引言

在轉(zhuǎn)變經(jīng)濟增長方式、加快產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級的目標(biāo)下，新興產(chǎn)業(yè)成為實現(xiàn)國民經(jīng)濟又好又快發(fā)展道路中的重要角色。新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展離不開國家與金融業(yè)的參與和支持，同時新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展也促進了金融業(yè)的良好發(fā)展。因此對戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)發(fā)展與金融業(yè)的政策支持和創(chuàng)新研究受到各界人士的廣泛關(guān)注。本文主要針對現(xiàn)有文獻從新興產(chǎn)業(yè)市場與金融市場間的相依因素來展開研究[1-3]，目前對兩個市場的股票收益率之間的相依性問題研究還比較少[4,5]，本文以新興產(chǎn)業(yè)市場與上證市場的股票指數(shù)收益率，運用Archimedean Copulas簇、Archiman Copulas簇和廣義Pareto分布(GPD)為邊緣分布函數(shù)。對單變量的邊緣分布構(gòu)建GARCH(1,1)-t模型，運用Copula模型研究新興產(chǎn)業(yè)市場和證券市場（以上證綜合指數(shù)為例）的相依性。

1 Copula理論及選擇

Copula理論是可以分解為多個邊緣累積分布和一個連接Copula函數(shù)的多維度聯(lián)合累積分布函數(shù)，通過將單變量分布特征轉(zhuǎn)化為其邊緣分布，并由Copula函數(shù)來闡述多變量之間的相依性。由于本文旨在研究新興產(chǎn)業(yè)市場與上證綜合指數(shù)日收益率之間的二元相關(guān)性，下面就針對二元Copula函數(shù)作一個簡要的介紹。

1．1 Sklar定理

Sklar定理：假設(shè)兩個邊緣分布分別為F(x)、G(y)的聯(lián)合分布函數(shù)為H(x，y)，則可以找到一個連接Copula函數(shù)C，滿足：

如果u=F(x)、ν=G(y)是連續(xù)的，則存在唯一的函數(shù)C(u，ν)。

1．2 相依性

假設(shè)X和Y是兩指數(shù)收益率序列，每個收益率分別由其邊緣分布u=F(x)和ν=G(y)來描述其特性。由Copula函數(shù)C(u，ν)來刻畫兩市場收益率之間的相關(guān)性，常用的相依性的測度方法有Kendall的τ和Spearman的ρ，可分別表示為：

除了研究兩市場收益率序列的相依關(guān)系外，研究單個收益率序列的突漲（或暴跌）是否會引起另一個收益率序列的相應(yīng)或相反的變化，從而對證券或金融市場產(chǎn)生更大的影響。這就是金融中的尾部效應(yīng)，即研究尾部相關(guān)性。其Copula函數(shù)C(u，ν)的上尾、下尾相依系數(shù)分別為：

可見，上尾、下尾部相依系數(shù)刻畫了兩市場收益率在突發(fā)事件下的相依程度，這對于證券或金融市場的波動性分析是極其有用的。

1．3 Copula模型參數(shù)估計

通過采用含參數(shù)的Copula函數(shù)估計，可以很好地顯示多個時間序列數(shù)據(jù)的非對稱性和厚尾特性[6]，因此選取Normal Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)，來擬合新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)與上證綜合指數(shù)收益率的相關(guān)性。

采用兩階段的極大似然法進行Copula模型的參數(shù)估計，其極大似然方程為：

其中，θ=(θ1，…，θN;α)。

第一步，對單變量的邊緣分布進行參數(shù)估計：

其中，n=1，2，…，N。

第二步，在完成單變量參數(shù)估計后，對α進行估計：

1．4 擬合優(yōu)度評價

選取合適的Copula函數(shù)來度量變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)尤其關(guān)鍵。擬合優(yōu)度評價（Goodness of Fit）是選取與觀測值配合最優(yōu)Copula函數(shù)的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，本文采用AIC法則、BIC法則、切比雪夫距離和歐氏距離來評價Copula方法的有效性。具體方法如下:

（1）AIC法則

式中：PC(i)，PE(i)分別為聯(lián)合分布（Copula）頻率值和經(jīng)驗分布（Empirical）頻率值；FC(i)，F(xiàn)E(i)分別為聯(lián)合分布值和經(jīng)驗值；n為實測樣本序列的長度，k為參數(shù)的個數(shù)。

（2）BIC法則

（3）切比雪夫距離

（4）歐氏距離

2 實證分析

指數(shù)收益率之間相關(guān)的非對稱在市場處于下降的趨勢時（熊市），尤其是急劇下降時，比正常時或上升時（牛市）的相關(guān)性大[7]。因此市場趨于下降時，分析股票指數(shù)收益率尾部的相關(guān)性將會導(dǎo)致高估金融資產(chǎn)分散化降低風(fēng)險的作用。

2．1 樣本選取

本文的目標(biāo)在于分析我國新興產(chǎn)業(yè)市場和金融市場之間的關(guān)系，因此選取新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證指數(shù)的市場日收益率為主要研究對象，由于新興產(chǎn)業(yè)起步較晚，故選定2005年1月1日至2014年4月30日為樣本區(qū)間，共計2261個觀測值。數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)網(wǎng)。根據(jù)證券/金融市場日收盤價計算對數(shù)收益率rt計算公式為：

其中，Pt為第t個à易日的指數(shù)收盤價格。

2．2 描述性分析

本文對選取的樣本數(shù)據(jù)采用R3.1.0和Matlab2014a軟件分析。表1給出了新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)與上證綜合指數(shù)對數(shù)日收益率的描述性統(tǒng)計結(jié)果。

表1 新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)收益率描述性統(tǒng)計

從均值來看，兩序列對數(shù)收益率均呈現(xiàn)正的平均收益率，其中新興產(chǎn)業(yè)收益率高達0.0706；與上證綜合指數(shù)日收益率的中位數(shù)值相比，新興產(chǎn)業(yè)收益率達到0.226，接近其3倍，表明新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)對我國證券市場指數(shù)收益率具有正向效應(yīng)。

從偏度和峰度看，兩序列對數(shù)收益率的偏度均為負，表明均有較長的左偏現(xiàn)象；新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)的峰度值小于3，而上證綜合指數(shù)的峰度值大于3，且具有尖峰厚尾性，因此兩序列都拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。從ADF檢驗統(tǒng)計量結(jié)果可知，兩序列拒絕平穩(wěn)性的假設(shè)，即存在單位根。

從Jauque-Bera統(tǒng)計量看，P值均為0，說明均拒絕服從正態(tài)分布的假設(shè)。因此，可以通過ARMA-GARCH模型對收益率殘差序列進行過濾，得到無序列相關(guān)和無異方差的平穩(wěn)的殘差序列。圖1反映了收益率的波動情形。

圖1新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)收益率時序圖

圖2 新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)收益率直方圖

從圖1可以看出收益率呈集聚效應(yīng)，即大的波動之后出現(xiàn)大波動的可能性更大，反之亦然。圖2反映了收益率序列的左偏特性和厚尾效應(yīng)。

從收益率分布和正態(tài)分布的圖形可以看出，新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)的收益無論是在上尾還是下尾都比正態(tài)分布的上、下尾部更厚，即風(fēng)險更大。

2．3 Copula-GARCH-t模型

根據(jù)Copula理論，選擇合適的Copula函數(shù)描述金融產(chǎn)品的相依結(jié)構(gòu)，只要能夠確定每個市場或資產(chǎn)收益率的邊際分布，即可獲得整個市場或資產(chǎn)組合的聯(lián)合分布[8]。大量實證表明金融時間序列具有明顯的尖峰厚尾性、波動聚集性及其杠桿效應(yīng)；而且具有序列自相關(guān)性和異方差性，可以通過GARCH族模型很好地消除這些特征，因此GARCH族模型被認(rèn)為是目前較優(yōu)的刻畫金融時間序列波動的模型。通過GARCH模型可以對原時間序列進行殘差分析，將得到的殘差序列標(biāo)準(zhǔn)化為[0,1]區(qū)間上的均勻分布，就可以進行Copula參數(shù)估計了。

本文采用t-Copula函數(shù)來度量兩指數(shù)收益率的相依性。t連接函數(shù)能夠反映尾部的相關(guān)程度，而高斯連接函數(shù)不能反映尾部的相關(guān)程度。因此假設(shè)收益率序列的隨機誤差項服從t分布，選擇ARMA(1,1)-GARCH(1,1)分布模型作為收益率的邊際分布，其模型形式如下：

式中，n=1表示上證綜合指數(shù)；n=2表示新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)；C為二元學(xué)生t分布Copula函數(shù)；It-1為初始時刻t=1到t-1時刻的信息集。TVn(…)表示均值為0，方差為1，自由度為參數(shù)νn的標(biāo)準(zhǔn)化t分布函數(shù)。

2．4 邊緣分布及參數(shù)估計

由于二元Copula函數(shù)是兩變量的邊際分布為[0,1]區(qū)間的均勻分布所構(gòu)成的二維聯(lián)合分布函數(shù)，必須先進行分布形式檢驗，使得殘差項序列服從獨立的[0,1]均勻分布。檢驗獨立均勻分布的主要步驟如下：

①確定隨機變量在ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型下的相應(yīng)參數(shù)，將殘差序列（Innovations）除以對應(yīng)時間的條件標(biāo)準(zhǔn)差序列（Sigmas）得到標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列（Residuals）；

②通過Ljung-Box Q統(tǒng)計量對第①步過濾后的殘差序列進行序列自相關(guān)檢驗，以確保序列獨立性；

③通過概率積分轉(zhuǎn)換獲得標(biāo)準(zhǔn)化的殘差序列的累積概率分布，并對標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的累積概率分布進行KS檢驗（概率P值接近于1），結(jié)果顯示無法拒絕原假設(shè)，累積概率分布服從均勻分布。

ARMA（1，1）-GARCH(1,1)-t模型的參數(shù)估計如表2所示。

表2 ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型的參數(shù)估計

本文選擇的ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型對新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)的收益率序列進行殘差過濾，估計結(jié)果如表3所示。通過對邊際分布檢驗，消除了原序列中存在的自回歸和異方差問題，得到獨立同分布的序列，并關(guān)注過濾后的收益率序列是否存在自相關(guān)性及其分布特性。

從表3可以發(fā)現(xiàn)，兩指數(shù)收益率序列的殘差序列存在左偏、厚尾現(xiàn)象；從JB統(tǒng)計值看，標(biāo)準(zhǔn)殘差序列{} ξnt不接受正態(tài)分布；Ljung-Box檢驗表明，兩序列拒絕自相關(guān)性；ADF檢驗表明殘差序列不存在單位根。因此，通過ARMA-GARCH-t模型對兩指數(shù)收益率序列過濾得到了不相關(guān)和無異方差的平穩(wěn)殘差序列。

表3 ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差分析

研究兩指數(shù)收益率序列{ξnt}間的相依性，可以通過MLE對ARMA-GARCH-t模型進行參數(shù)估計后，轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)殘差序列{ξnt}下的相依性。Copula函數(shù)的相依性如表4所示。

表4 Copula函數(shù)的相依性

從相依系數(shù)的分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，t-Copula函數(shù)的相依性與原觀測值的相依性最接近，因此采用學(xué)生t分布的Copula函數(shù)來擬合二者之間的相依性最佳。

2．5 尾部相依性

從圖3可以看出，對樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過ARMA-GARCH-t模型的標(biāo)準(zhǔn)后的殘差序列平方不存在自相關(guān)性；同時殘差滯后30階Q檢驗概率P值均小于0.05，說明殘差序列不存在自相關(guān)，即標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從獨立同分布，這恰恰滿足Copula-GARCH模型的條件。

圖3新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化誤差平方自相關(guān)函數(shù)圖

圖4新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化誤差QQ圖

從圖4可以看出，學(xué)生t分布可以很好地展現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中間部分的尖峰厚尾性，而對其尾部數(shù)據(jù)擬合效果不太好。通過采用GPD方法來擬合數(shù)據(jù)的尾部特征就顯得尤為重要，從擬合效果圖（圖略）中可以看出，基于內(nèi)部核函數(shù)的累積分布和帕累托分布對尾部的擬合效果較好。

對于帕累托分布分析尾部特性一般要選取合適的閾值，而GPD參數(shù)估計通常采用極大似然估計。通過研究發(fā)現(xiàn)，閾值設(shè)定越高，超過閾值數(shù)據(jù)越少，則參數(shù)方差較大；相反，不能得到收斂的數(shù)據(jù)，同樣估計的偏差也較大。可以確定新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)的上尾門限為1.13，下尾門限為-1.35。這樣可以保證每個尾部都有超過25%的數(shù)據(jù)即約有600個樣本值用來進行尾部擬合。同樣也可以確定上證綜合指數(shù)的上尾門限為1.15，下尾門限為-1.22。確定兩個指數(shù)的各自門限后，就可以通過GPD分布對數(shù)據(jù)的尾部進行估計建模，估計結(jié)果如表5所示。

表5 GPD估計的相關(guān)參數(shù)

2．6 擬合優(yōu)度檢驗

基于不同Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗法，可以確定模型的擬合效果程度，其參數(shù)估計結(jié)果如表6所示。

表6 Copula函數(shù)的參數(shù)估計

從表6可以看出，AIC及BIC值越小，說明Copula函數(shù)擬合得越好。通過切比雪夫距離和歐式距離的計算，t-Copula函數(shù)擬合二者的分布模型最好，因此采用t-Copula函數(shù)構(gòu)建模型來模擬二者之間的相依結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

本文以2005年1月1日至2014年4月30日上證à易所新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)的數(shù)據(jù)采用Copula-GARCH-t模型進行建模分析。首先對兩個對數(shù)收益率的時間序列建立ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-t模型。作為Copula模型的邊緣分布，利用t-Copula函數(shù)可以很好地描述新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)之間的相依關(guān)系，反映了兩個指數(shù)在宏觀政策反應(yīng)和投資者心態(tài)等的趨同性。在靜態(tài)分析中，兩者的相關(guān)結(jié)構(gòu)具有一定的對稱性，也說明新興產(chǎn)業(yè)指數(shù)和上證綜合指數(shù)的收益率相關(guān)性較強；同時發(fā)現(xiàn)下尾相關(guān)系數(shù)比上尾相關(guān)系數(shù)要大，說明兩指數(shù)同時下跌的可能性較大。也說明了新興產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展極大地影響了國家證券金融市場的發(fā)展，而且我國新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展也急需良好的金融服務(wù)和政策支持。

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（責(zé)任編輯劉柳青）

F830

A

1002-6487（2016）24-0170-04

國家社會科學(xué)基金資助項目(12CZZ051)；福建省教育廳A類社會科學(xué)基金資助項目（JAS150284）

葛 亮（1981—），男，江蘇南通人，博士研究生，講師，研究方向：經(jīng)濟計量分析、衛(wèi)生政策評價。