例談分類討論“類”之分法

朱海燕●

南京市溧水區(qū)第二高級中學(xué)(211299)

例談分類討論“類”之分法

朱海燕●

南京市溧水區(qū)第二高級中學(xué)(211299)

在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一過程就是“分類討論”.“分類討論”在高中數(shù)學(xué)中是一重要的解題策略，具有很強的邏輯性.

例 已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.

(1)當(dāng)a=b=1時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)當(dāng)b=2a+1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

分析 問題(1)參數(shù)定值，只要求出切點(1，f(1))及函數(shù)在x=1處的切線的斜率k=f′(1)，即可給出切線的點斜式方程y-f(1)=f′(1)(x-1).

問題(2)中參數(shù)值不知，不同的函數(shù)型式具有不同的單調(diào)性，需要對函數(shù)進(jìn)行多方面、多層次探究,通常通過導(dǎo)函數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)性，是否需要分類待定.

(因為定義域為(0,+∞)，所以f′(x)的符號與函數(shù)g(x)=(2ax-1)(x-1)的符號保持一致，首先要對g(x)的函數(shù)類型進(jìn)行探究，做一次函數(shù)與二次函數(shù)的區(qū)分，因此需對a是否為0進(jìn)行初步的分類)

令g(x)=(2ax-1)(x-1).

1)當(dāng)a=0時，g(x)=-x+1，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

(二次函數(shù)在零點求解出的情況下需要對開口方向進(jìn)行分類，從而在定義域的范圍內(nèi)判斷函數(shù)值的正負(fù))

綜上所述：(1)當(dāng)a≤0時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減．

從此函數(shù)單調(diào)性的討論可以看到運用分類討論的思想解題的基本步驟主要由這四步所構(gòu)成：

(1)確定討論對象和確定研究的區(qū)域；

(2)對所討論的問題進(jìn)行合理的分類(分類時需要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級)；

(3)逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決；

(4)歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論．

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1008-0333(2016)34-0029-01