質點運動的概率題

蔡 明●

浙江省諸暨市浬浦中學(311824)

質點運動的概率題

蔡 明●

浙江省諸暨市浬浦中學(311824)

在解排列組合與概率題時常可遇到質點的運動問題.由于這類問題以考查學生分析問題、解決問題的能力以及邏輯思維能力為主，相對而言基礎薄弱的學生就有一定的難度.本文借用一高考題拋磚引玉.

高考題：設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質點落在點(3，0)(允許重復過此點)處，則質點不同的運動方法共有____種.(用數(shù)字作答)

本題考查了學生分析問題與解決問題的能力，考查計數(shù)原理，排列組合的基本意義，分類討論思想、等價轉化思想以及對背景新奇問題的理解中所表現(xiàn)出來的不同思維品質、思維能力.本題可用兩種方法進行求解.

方法一 (分類討論)第一次跳動落在(1,0)回頭跳有1種，第二次跳動落在(-1,0)再回頭有1種，經(jīng)過(2,0)，(3,0)，(4,0)落在(3,0)有3種，計5種.

而事實上從試題評析報告來看本題的得分不是很理想.我想這也說明我們學生對此類問題還是顯得有點為難.為了能更好地讓我們掌握質點運動問題，筆者借此對此高考題作些演變，與同行一起探討.高考題只是讓我們求出滿足條件的種數(shù)，與排列組合問題進行結合，如若加以演變不但可與排列組合結合，而且也可融入概率知識.

演變一 指定向左、向右的概率

分析 求出經(jīng)過5次跳動質點A落在點(3，0)(允許重復過此點)處的概率，也就是要明確左右的次數(shù)問題.根據(jù)方法二可知：向右方向跳動4次，向左方向跳動1次.

演變二 質點個數(shù)增加為2個

分析 將質點個數(shù)增加為兩個，提高了問題的分析難度.可將題目運用分步計數(shù)原理進行求解.

根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式可得，

演變三 質點運動方向限制

分析 將質點的運動方向加以限制，不能向上述題目一樣可用組合問題進行求解.此類還需有一定的邏輯分析能力，但可轉化為數(shù)列問題，即經(jīng)n秒后質點A在x=1處的概率Pn，可由經(jīng)n-1秒質點A在x=1處的概率Pn-1與不在x=1處的概率1-Pn-1來表示.

演變四 質點個數(shù)與運動方向都增加

(2)結合上圖可知至少經(jīng)過2秒就可相遇，地點可在C(0,2),O(1,1),E(2,0).

從上面幾個題目的求解中可以看出對于概率類質點運動問題的求解，不但要能正確分析質點的運動過程或運動規(guī)律，而且也要能區(qū)分基本的計數(shù)原理，以及正確選用基本概率計算公式.

G632

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1008-0333(2016)34-0022-01