☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

同課異構(gòu)呈精彩，彰顯特色求創(chuàng)新
——“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”教學(xué)片斷賞析與思考

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

2015年12月江蘇省教研室在鹽城中學(xué)舉行“省青年教師優(yōu)課觀摩與評比”活動，多位教師對同一課內(nèi)容進行了個性化的研究與展示，參賽教師水平高、領(lǐng)悟能力強、教法靈活、效果很好.本文就高二組“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一教學(xué)內(nèi)容，選取獲得一、二等獎的兩節(jié)課，對其情境創(chuàng)設(shè)、過程探究、結(jié)論形成等教學(xué)片斷作如下賞析.

一、案例背景

本節(jié)課是蘇教版選修2-2第一章“1.3.1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”的內(nèi)容，安排在高二第一學(xué)期教學(xué).是學(xué)生學(xué)習了導(dǎo)數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算之后，學(xué)習的“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”的第一種，也是后兩節(jié)課學(xué)習導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——極值、最值的知識鋪墊、能力基礎(chǔ)和方法指導(dǎo).具有承上啟下、完善建構(gòu)、拓展提升的作用.

單調(diào)性作為函數(shù)的主要性質(zhì)之一，主要用來刻畫圖像的變化趨勢，是蘇教版必修1的內(nèi)容.學(xué)生在必修1已經(jīng)學(xué)習了函數(shù)單調(diào)性的定義，也能夠借助函數(shù)的圖像特征和單調(diào)性的定義來研究函數(shù)的單調(diào)性.本節(jié)課從另一視角，利用導(dǎo)數(shù)展開對函數(shù)單調(diào)性的研究，探究函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的合理性.通過對函數(shù)求導(dǎo)，探究其單調(diào)性，進一步擴大了可研究單調(diào)性的函數(shù)的范圍，是對單調(diào)性研究的深入和擴展.新課程數(shù)學(xué)理念中，提出“要提高學(xué)生獨立獲取數(shù)學(xué)知識，并用數(shù)學(xué)語言表達的能力”，本節(jié)課，就試圖滲透這種理念，提高學(xué)生的理性思維能力.

二、案例簡述

案例一

1.創(chuàng)設(shè)情境，初步探究

（1）情境：黑暗中，你是怎樣通過遠處汽車自身的燈光判斷該車是上坡還是下坡的？

圖1

【師生活動】

①動畫視頻引入（圖1），直觀感知；

②幾何畫板演示，猜想結(jié)論.

抽象出數(shù)學(xué)問題：

感知可以通過函數(shù)圖像上每一點處的切線的斜率，即用函數(shù)f（x）在該點處的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性.

（2）猜想.

問題1：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系呢？

【師生活動】

從圖像上，我們發(fā)現(xiàn)，單調(diào)遞增區(qū)間上，每一點處的切線傾斜角均為銳角，斜率大于0，曲線呈上升趨勢，函數(shù)單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減區(qū)間上，每一點處的切線傾斜角為鈍角，斜率小于0，曲線呈下降趨勢，函數(shù)單調(diào)遞減.

猜想結(jié)論：對于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f′（x）＜0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

2.實驗驗證，總結(jié)結(jié)論

（1）驗證：請舉出幾個常見的函數(shù)，探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，驗證前面猜想的結(jié)論.

函數(shù)圖像單調(diào)性導(dǎo)數(shù)符號

【師生活動】

①獨立驗證，合作釋疑，展示成果；

②教師從學(xué)生中選擇具有代表性的函數(shù)進行匯報展示.

問題2：你能從函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的定義入手，對上述發(fā)現(xiàn)作一說明嗎？

【師生活動】

于是，從“數(shù)”、“形”兩方面，我們都可以感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

（2）結(jié)論：對于函數(shù)y=（fx），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么（fx）為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f′（x）＜0，那么（fx）為該區(qū)間上的減函數(shù).

注意：①如果在某區(qū)間上f′（x）=0恒成立，則（fx）為該區(qū)間上的常函數(shù).

②“某區(qū)間”指的是定義域的子集，研究函數(shù)單調(diào)性問題“定義域優(yōu)先”.

案例二

1.設(shè)置情境，提出問題

情景：某市氣象站對冬季某一天氣溫變化的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，從2時至5時的氣溫（fx）與時間x可近似地用函數(shù)（fx）=x-4lnx-1擬合.問：這段氣溫（fx）隨時間x的變化趨勢如何？

問題1：如何研究函數(shù)（fx）=x-4lnx-1（x∈［2，5］）的單調(diào)性？

2.層層深入，建構(gòu)新知

問題2：如何用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性呢？

（1）探究函數(shù)單調(diào)性與平均變化率之間的聯(lián)系.

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“解決一個數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該先回到定義.”

問題3：函數(shù)的單調(diào)性是如何定義的？

【師生活動】通過觀察、探究，我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)增函數(shù)的定義可以改寫成：對于任意的x1，x2∈I，當x1≠x2時，若則函數(shù)（fx）在區(qū)間I上單調(diào)遞增.

【師生活動】設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，區(qū)間I?A，對于任意的x1，x2∈I，x1≠x2，都有則函數(shù)y=（fx）在區(qū)間I上是單調(diào)遞增（減）函數(shù).

（2）探究函數(shù)單調(diào)性與瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）之間的聯(lián)系.

當自變量的改變量無限趨近于0時，平均變化率即轉(zhuǎn)化為瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）.

問題5：能不能利用瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）研究函數(shù)的單調(diào)性？它們之間究竟有何關(guān)系？

【師生活動】

①以二次函數(shù)f（x）=x2為例，觀察函數(shù)圖像，請大家給出在對稱軸左右兩側(cè)函數(shù)圖像的變化趨勢.

②（幾何畫板演示）請大家結(jié)合切線斜率來觀察二次函數(shù)f（x）=x2在對稱軸左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值有什么不同的特點？

問題6：你能從“數(shù)”的角度解釋為什么該函數(shù)能從“在（0，+∞）上，f′（x）＞0”得到在該區(qū)間為增函數(shù)？

【師生活動】前面我們通過圖形直觀觀察得出結(jié)論，現(xiàn)在請大家回到導(dǎo)數(shù)定義中來，不妨設(shè)x1＜x2，時，若f（′x）＞0，得到x＞0，11，所以（fx）＞（fx），得到在（0，+∞）21上為增函數(shù).

問題7：上面是由特殊函數(shù)歸納出的結(jié)論，對于一般函數(shù)是否有這樣的結(jié)論呢？

3.簡要說明，形成結(jié)論

問題8：如果圖像連續(xù)的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，你能簡單說明理由嗎？

【師生活動】如圖2，讓經(jīng)過兩點（x1，f（x1）），（x2，（fx2））的割線平行移動，與函數(shù)圖像相切，設(shè)切點為（x0，（fx0））.因此得到f′（x0）＞0.

圖2

問題9：通過上述形數(shù)兩方面的探究，你能歸納出一般性的結(jié)論嗎？

【師生活動】對于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f′（x）＜0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

三、案例賞析

高中數(shù)學(xué)新課標規(guī)定：高中數(shù)學(xué)課程必須把數(shù)學(xué)探究的思想，以不同的形式滲透到各個專題之中.數(shù)學(xué)探究是指：提出問題，探索解決問題的途徑，研究解決問題的方法.為了體現(xiàn)這一教學(xué)理念，兩個案例都貫徹了“以學(xué)生為本”的教學(xué)原則，采取了在教師指導(dǎo)下學(xué)生自主參與教學(xué)活動、自主探索、生生合作、師生交流的教學(xué)方式，有效地突破了教學(xué)難點，完成了教學(xué)目標.

1.關(guān)于案例一的賞析

章建躍先生講，數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)實踐要努力做到“低起點與高立意”.

案例一在探究的第一階段，從學(xué)生身邊的實例入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習生活中的數(shù)學(xué)，這是低起點；將汽車燈光的指向與上下坡之間的關(guān)系進行聯(lián)系，從感性認識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)探究情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)道路可以抽象成函數(shù)的圖像，燈光可以抽象為切線，把問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的正負與函數(shù)增減之間的聯(lián)系，感知導(dǎo)數(shù)正負與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，從而輕松高效地引入課題，成功激發(fā)了學(xué)生的求知欲，也體現(xiàn)了“生活中處處有數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念.這是高立意.

第二階段，啟發(fā)學(xué)生驗證剛才的猜想是否正確，學(xué)生很容易想到一些常見的函數(shù)并加以驗證，進而深化了對所得結(jié)論的理解，教師從學(xué)生列出的函數(shù)中選擇具有代表性的函數(shù)進行了匯報展示，從“形”的角度，對具體例子進行動態(tài)演示，通過觀察、猜想、歸納、總結(jié)，讓學(xué)生體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，也滲透“觀察—歸納—猜想—驗證”的數(shù)學(xué)思想方法.

第三階段，回歸定義，揭示本質(zhì)，順勢總結(jié)出導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，但是這個結(jié)論是否普遍適用呢？再從“形”回到“數(shù)”，驗證結(jié)論.進一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，抓住導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的定義之間的聯(lián)系來提煉一般性的結(jié)論，由學(xué)生自主探究、分組展示，互相點評，變灌注知識為學(xué)生主動獲取知識，從而使學(xué)生成為課堂教學(xué)活動的主體.

高二學(xué)生經(jīng)過高一一年的學(xué)習，雖然具有一定的抽象思維的能力，但在學(xué)習中感性的認識還是占主導(dǎo)地位的.在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探究與發(fā)現(xiàn)過程中，教師始終是課堂的引導(dǎo)者、策劃者，學(xué)生始終是積極的參與者，突出了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位.通過啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、回歸定義等過程，既降低了學(xué)生的思維難度，又闡述了導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性.師生共同分析、共同探究、提煉結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、驗證、歸納的能力，同時滲透“數(shù)形結(jié)合”、“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法.總體講，案例一的設(shè)計頗具匠心，生成自然.

2.關(guān)于案例二的賞析

本節(jié)課采用“開門見山”的教學(xué)方式，設(shè)置情境，直接提出問題：如何研究擬合函數(shù)f（x）=x-4lnx-1（x∈［2，5］）的單調(diào)性？可謂“單刀直入，直奔主題”.使學(xué)生的思維迅速定向，達到明確目標，突出重點的效果.

通過回顧函數(shù)單調(diào)性的定義，讓學(xué)生明白定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的最基本的方法，也是探究其他判斷方法的基礎(chǔ).通過兩個自變量的值x1、x2的變化，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想增量概念，將x1＜x2，f（x1）＜f（x2）轉(zhuǎn)化為Δx、Δy，進而將函數(shù)的單調(diào)性與平均變化率聯(lián)系起來.

當Δx→0時，平均變化率就轉(zhuǎn)化為瞬時變化率.以學(xué)生熟悉的最簡單的二次函數(shù)為例進行探究，一方面，降低了難度，另一方面，學(xué)生有較好的感知；教師從“形”的角度，對具體例子進行動態(tài)演示，通過觀察、歸納、猜想、總結(jié)，讓學(xué)生體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程；又引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾何意義（斜率）的角度，借助幾何畫板演示猜想單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義從“數(shù)”的角度解釋了結(jié)論，做到了數(shù)形的完美結(jié)合.

在探究函數(shù)單調(diào)性與瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）之間的聯(lián)系的過程中，教師利用特例探索、歸納發(fā)現(xiàn)、從特殊到一般的思想方法，使學(xué)生經(jīng)歷了“函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”的關(guān)系的再創(chuàng)造過程.這樣的教學(xué)設(shè)計在一定程度上體現(xiàn)了知識在學(xué)科思維內(nèi)部的生長過程，幾何畫板的恰當運用可以讓學(xué)生在直觀及動態(tài)過程中感受“函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”的關(guān)系，從而能夠抓住“函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”的關(guān)系的本質(zhì).

四、案例思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》明確指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.上述兩個案例，無論是課堂教學(xué)的引入、探究的過程，還是結(jié)論的建構(gòu)，都是在教師的有效引導(dǎo)下，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主探究，學(xué)生始終是主角，教師的課堂教學(xué)充分尊重了學(xué)生的主體地位，助力學(xué)生的思維發(fā)展.欣賞之余，談幾點思考.

1.對“同課異構(gòu)”的理解

“同課異構(gòu)”是“同中構(gòu)異，異中見同”的對比教研模式.“同課”是指選用同一教學(xué)內(nèi)容，相似的教學(xué)目標、相仿的教學(xué)對象、相近的認知水平、相同的校園文化等.“異構(gòu)”要構(gòu)出“異”彩，一樣的教學(xué)內(nèi)容，也能呈現(xiàn)不一樣的精彩，異構(gòu)更能彰顯執(zhí)教者的用心、匠心和慧心，也能體現(xiàn)教者獨特的教學(xué)個性.

2.情境創(chuàng)設(shè)與問題設(shè)置

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就沒有數(shù)學(xué).現(xiàn)代認知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明，思維過程首先是解決問題的過程，即思維通常是由問題情境產(chǎn)生的，而且是以解決問題情境為目的的.在課堂教學(xué)中，我們要圍繞教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置具有啟發(fā)性、深刻性的問題，才能有效激發(fā)學(xué)生的探究意識，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，讓學(xué)生在“質(zhì)疑—探究—質(zhì)疑“中提升自己的思維能力，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量.問題情境的創(chuàng)設(shè)要有意義，不能為情境而情境.

3.關(guān)于“探究”

“探究”就是在教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)、點撥下，讓學(xué)生親歷知識的發(fā)現(xiàn)、檢驗與論證過程，在經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、猜想、計算、推理、驗證等活動過程時，感受數(shù)學(xué)思想，體驗數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，進行數(shù)學(xué)再創(chuàng)造.課堂教學(xué)過程中的“探究”要遵循有效性原則，切勿讓學(xué)生的探究活動被老師牽著鼻子走.

4.何為“好課”

判斷一節(jié)好課的標志有二：一是看其有沒有高水平的思維活動，學(xué)生探究活動的思維層次有多高，有沒有激發(fā)學(xué)生的探究熱情，學(xué)生參與程度的高低等；二是看三維目標的達成是否能讓學(xué)生按“學(xué)會→會學(xué)→樂學(xué)”螺旋式上升.

5.知識與能力

學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)，一方面是獲取知識，但更主要的是發(fā)展能力，因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)兩個層面，一是知識方法層面，二是思維能力層面.知識是能力的基礎(chǔ)，能力是知識的升華.只有對知識的全面理解和基本數(shù)學(xué)思想方法的真正掌握才能使數(shù)學(xué)能力的提高成為可能.