☉陜西省靖邊縣靖邊中學(xué) 徐永強

對一道圓錐曲線問題的探究與拓展

☉陜西省靖邊縣靖邊中學(xué) 徐永強

一、題目展示

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程.

（Ⅱ）過橢圓C的右頂點A2作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點P，Q，試判斷直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

二、挖掘條件，分析解答

此題屬解析幾何中經(jīng)常考查的熱點題型（定點、定值問題），其解題的方法體現(xiàn)了解析幾何解決問題的通性通法，其中第（Ⅰ）問用待定系數(shù)法，第（Ⅱ）問首先聯(lián)立方程，再用韋達定理，借助其他條件能很容易求解.

解：（Ⅰ）依題知

（Ⅱ）依題知，直線A2P與直線A2Q的斜率均存在且不為0，令P（x1，y1），Q（x2，y2）.

設(shè)lA2P：y=k（x-2），lA2Q消去y，得（4k2+3）x2-16k2x+4（4k2-3）=0.

解之，得k2=1，此時直線PQ的方程為即此時直線PQ過點

三、探求本質(zhì)，推廣結(jié)論

著名的數(shù)學(xué)之王、數(shù)學(xué)家蘇步青說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然”所以，當一道題目解答完后的反思尤為重要，解答題目本身是表象，推廣、提升才能真正理解出題人的意圖，才有助于學(xué)生走出題海無涯的困境，才能提高學(xué)生解題能力和效率.

那么，上述問題能否推廣到所有的橢圓呢？答案是肯定的.

證明：先證過右頂點的情況：

令P（x1，y1），Q（x2，y2）

依題設(shè)：lA2P：y=k（x-a）.消去y，得（a2k2+b2）x2-2a3k2x+（k2a4-a2b2）=0.

由根與系數(shù)關(guān)系得

同理，可證過左頂點的結(jié)論.

（證法同上，略）

上述結(jié)論在橢圓中成立，那么在其他圓錐曲線中成立嗎？

四、聯(lián)想類比，延伸結(jié)論

證明：同性質(zhì)1的證明過程.

結(jié)論4：過拋物線C：y2=2px（p＞0）的頂點O作互相垂直的兩直線分別交拋物線于另一點P，Q，則直線PQ過定點（2p，0）？（p為拋物線焦點到準線的距離）.

證明：設(shè)直線直線PQ方程為x=ky+m，其交與拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）.由消去y得y2-2pky-2pm= 0，

即m=2p或m=0（舍）.

故直線PQ過定點（2p，0）.

結(jié)論5：過圓C：（x-m）2-（y-n）2=r2上任意一點A2作互相垂直的兩直線分別交圓于另一點P，Q，則直線PQ過定點（m，n）（m，n分別為圓心的橫縱坐標）.證明略.

五、結(jié)束語

通過對上述結(jié)論的探究，我們進一步認識到橢圓、雙曲線、拋物線等曲線，除了自身存在一定的規(guī)律性，圓錐曲線之間也存在一定的規(guī)律性，正如著名數(shù)學(xué)家高斯所言：“數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深.”所以這種規(guī)律性，需要我們用堅強的意志、良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)、挖掘.

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