常 凱，張海江,b*,林 葉,b

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.地球與空間科學(xué)學(xué)院萬泰微地震實驗室，b.地震與地球內(nèi)部物理實驗室，合肥 230026)

基于樣條插值與曲波變換壓縮感知的井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)重建

常 凱a，張海江a,b*,林 葉a,b

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.地球與空間科學(xué)學(xué)院萬泰微地震實驗室，b.地震與地球內(nèi)部物理實驗室，合肥 230026)

對于非常規(guī)油氣開發(fā)水力壓裂井下微地震監(jiān)測，由于井中布設(shè)的檢波器數(shù)量有限而導(dǎo)致空間采樣不夠，致使在進行偏移成像時產(chǎn)生空間假頻。為消除假頻現(xiàn)象，需要對空間欠采樣的數(shù)據(jù)進行內(nèi)插。目前基于曲波變換(Curvelet)稀疏約束的地震道插值方法(即壓縮感知)已經(jīng)逐漸被廣泛應(yīng)用,但是對于井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)，由于檢波器數(shù)量過少，其在時間上的采樣點數(shù)要遠遠大于檢波器數(shù)。在這種情況下，曲波基函數(shù)在一定尺度下所能取到的方向信息是有限的，致使其基函數(shù)各向異性特征不能很好地發(fā)揮，因此插值效果不好。為解決該問題，我們提出了結(jié)合樣條插值的基于曲波變換稀疏約束地震道插值方法。對于井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先利用樣條插值方法對每道數(shù)據(jù)的特定震相到達時間進行插值，在達到曲波基函數(shù)可以取到的方向后(如水平方向)，此時曲波基函數(shù)可以更稀疏地表示微地震數(shù)據(jù)體，然后再進行基于曲波變換稀疏約束的道間插值，并進行方向濾波，即可以達到較好的插值效果。我們基于一個井下微地震監(jiān)測合成數(shù)據(jù)進行了測試，與數(shù)據(jù)加密前的地震偏移成像結(jié)果對比，內(nèi)插之后數(shù)據(jù)偏移成像中的假頻得到了壓制。

井下微地震監(jiān)測； 樣條插值； 曲波變換； 壓縮感知； 數(shù)據(jù)重建

0 引言

對于非常規(guī)油氣開發(fā)來說，例如頁巖氣和致密砂巖氣的開采，由于儲層滲透率低，必須采用水力壓裂技術(shù)使地層產(chǎn)生裂縫以提供油氣運移的通道。水力壓裂井下微地震監(jiān)測，是一種有效的刻畫目標(biāo)儲層裂縫分布的手段。井下微地震監(jiān)測指的是把一串檢波器放在靠近壓裂井的監(jiān)測井中，接收裂縫發(fā)育過程產(chǎn)生的微地震信號并對微地震事件進行定位或者對界面偏移成像。但是由于監(jiān)測成本和技術(shù)等因素限制，井下微地震監(jiān)測通常只布置十幾個檢波器[1]。在利用井下檢波器接收到的微地震波形進行偏移成像時，會由于道間距過大而出現(xiàn)空間假頻現(xiàn)象[2]。為解決此類問題，微地震數(shù)據(jù)道間插值成為抗空間假頻非常必要的一種手段[3]。

地震道集經(jīng)過數(shù)學(xué)變換后可以用較少的基函數(shù)系數(shù)來表示[4]。Donoho等[5]提出了壓縮感知技術(shù)，在理論上解決了在數(shù)據(jù)不滿足Nyquist采樣定理的情況時，具有稀疏性質(zhì)數(shù)據(jù)如何重建的問題。在此理論框架下，多種基函數(shù)被應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)恢復(fù)中，常用的有傅里葉基函數(shù)，小波基函數(shù)和曲波(Curvelet)基函數(shù)等[6-8]。其中曲波基函數(shù)在稀疏表示地震道集上表現(xiàn)出了相當(dāng)好的各向異性，局部性和多尺度特性。

Herrmann等[9-10]在曲波框架下基于壓縮感知原理,對地震數(shù)據(jù)重建問題進行了深入的研究，取得了很好的效果。在國內(nèi)，劉國昌等[11]將凸集投影(POCS)方法引入到基于曲波變換L1范數(shù)約束的地震道插值問題；張華等[12]采用了基于jilter采樣的曲波變換對三維地震數(shù)據(jù)進行了重建;馮飛等[13]將三維曲波變換和焦點變換結(jié)合起來，對三維地震數(shù)據(jù)進行插值和去噪，取得了良好的效果。然而，當(dāng)已知地震道數(shù)很少，同時又有較長的時間采樣點數(shù)時(例如井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù))，若直接采用基于曲波變換稀疏約束的插值方法，由于曲波在具體尺度下的方向數(shù)是有限的，當(dāng)同相軸不能符合其基函數(shù)的方向時，插值效果并不理想。

針對上述問題，筆者提出了一種樣條插值與基于曲波變換稀疏約束反演相結(jié)合的方法對井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)進行加密。這里首先分析了壓縮感知的基本原理并簡要說明曲波變換的方向性和多尺度特性；然后提出結(jié)合樣條插值和基于曲波變換稀疏約束數(shù)據(jù)重建的混合插值方法；最后基于一個井下微地震監(jiān)測合成數(shù)據(jù)，比較了插值前后逆時偏移成像結(jié)果。

1 基于壓縮感知數(shù)據(jù)重建基本原理

地震數(shù)據(jù)插值可以看成由欠采樣數(shù)據(jù)到全部數(shù)據(jù)的一個數(shù)據(jù)重建反問題[14]。

d=M m

(1)

其中:d為觀測到的數(shù)據(jù);M為采樣矩陣;m為想要恢復(fù)的全部地震數(shù)據(jù),它可以通過數(shù)學(xué)變換W來進行稀疏表示，如式(2)所示：

x=Wm

(2)

通過對x的逆變換可以恢復(fù)m。如果數(shù)學(xué)變換W是一個正交變換，其逆變換與轉(zhuǎn)置等價：

m=WTx

(3)

因此，地震數(shù)據(jù)插值問題可以進一步轉(zhuǎn)化為稀疏約束優(yōu)化問題，即得到的解一方面要擬合觀測數(shù)據(jù)，另外要保持其稀疏性，對應(yīng)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，如式(4)所示。

(4)

其中:G=MWT;λ為正則化參數(shù);‖·‖0表示x中非零元素個數(shù)，即稀疏性。因為0范數(shù)約束方程求解時不可導(dǎo)，且為NP-hard問題，所以通常利用1范數(shù)替代[15]。最后得到最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

這里采用SPG_L1方法求解此泛函，其基本原理是將基追蹤(Basis Pursuit)問題轉(zhuǎn)化為一系列的最小絕對收縮和選擇(Least Absolute Shrinkage and Selection)問題進而求解[16]。因為曲波變換具有良好的多尺度特性和一定的方向特性，所以地震數(shù)據(jù)插值問題中的數(shù)學(xué)變換W可選為曲波變換。

在離散曲波變換中，由于其基函數(shù)的方向特性，空間不同方向的分量可以在曲波域中離散表示(如圖1)。對于二維函數(shù)f(n1,n2),0≤n1,n2≤n，其在笛卡爾坐標(biāo)系下的曲波系數(shù)可以表示為：

(6)

圖1 數(shù)據(jù)在空間域與曲波域的表示Fig.1 Data representation in both space domain and curvelet domain(a)空間域數(shù)據(jù)；(b)對應(yīng)于空間域數(shù)據(jù)的曲波系數(shù)

圖1(a)為空間域中兩個“同相軸”，在曲波域中可以表示為不同位置，不同尺度，不同角度稀疏的曲波系數(shù)(圖1(b))。由于一般情況下相鄰地震道“同相軸”不會在近垂直方向，因此可以通過對曲波系數(shù)按照方向特征濾波，濾掉在空間域中近垂直分量，達到提高插值效果的目的。

2 聯(lián)合樣條函數(shù)基于曲波變換的稀疏約束插值

基于壓縮感知技術(shù)插值的前提條件,是波形可以在變換域中稀疏表示。然而對于微震數(shù)據(jù)，由于井下檢波器數(shù)過少，致使曲波基函數(shù)無法直接稀疏表示全部微震數(shù)據(jù)。由于以上條件限制，我們將樣條插值與基于曲波變換的稀疏約束插值相結(jié)合。當(dāng)樣條方向與曲波基函數(shù)所能稀疏表達的方向一致時，此時的曲波變換能夠使數(shù)據(jù)較好地稀疏表示，進而利用壓縮感知技術(shù)插值。其中三次樣條插值以其兼顧低次插值穩(wěn)定性和高次插值光滑性的優(yōu)點,已在工程中得到廣泛應(yīng)用[18]。

對于空間欠采樣的井下微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)，為壓制微震成像時產(chǎn)生的空間假頻，采取以下技術(shù)流程來實現(xiàn)微震數(shù)據(jù)特定震相的重構(gòu)。

1)對于高信噪比的數(shù)據(jù)，利用相鄰兩道的波形相似性并基于整體的背景速度，在微震波形中找到相同的震相，此震相視需要而定。

2)利用樣條插值擬合同相軸的形態(tài)，得到所有要插值的地震道上特定震相在時間軸上的位置。

3)基于樣條插值得到的相同震相的位置，對每個地震道在時間軸上截取相同的時間，然后使相同震相在曲波基函數(shù)能夠稀疏表達的方向上(水平方向)對齊。

4)對齊后的數(shù)據(jù)在曲波域中可以得到更稀疏的表示，滿足稀疏約束條件，進而利用壓縮感知技術(shù)進行插值并進行方向濾波。

5)將插值后的數(shù)據(jù)再返回到原來的位置上，最終實現(xiàn)微地震數(shù)據(jù)的特定震相的重構(gòu)。

為了測試聯(lián)合樣條插值和曲波變換的數(shù)據(jù)重構(gòu)效果，我們構(gòu)建了一個井下微地震監(jiān)測系統(tǒng)(圖2(a))。理論模型的背景P波速度為4 200 m/s，裂縫作為一個低速異常位于(1 000 m,2 200 m)附近，速度為3 570 m/s。34級檢波器(三角形)等間距地安裝在x=445 m的監(jiān)測井處，深度范圍為975 m～1 965 m，空間間隔為30 m。在低速體和監(jiān)測井之間(800 m,2 100 m)附近存在8個微地震事件(星形)。利用有限差分方法基于聲波方程計算了8個微地震事件的地震波場。圖2(b)顯示了一個微地震事件被34個檢波器接收到的地震合成波形。由圖2(b)可以看出，直達波以及對應(yīng)于低速裂縫區(qū)域的散射震相。逆時偏移成像方法用于微地震成像時，如果是對微震位置定位，那么只需要將直達波反傳。因為后續(xù)散射波可認為由二次震源產(chǎn)生，在反傳時會在強散射點處加強，有可能在定位時造成一定程度的干擾；如果不考慮定位，比如已知位置的射孔事件，而是對裂縫等低速結(jié)構(gòu)成像，那么就類似于傳統(tǒng)勘探手段中的逆時偏移方法。反傳時若含有直達波，同樣也會對最終成像結(jié)果產(chǎn)生干擾。對于實際數(shù)據(jù)來說(圖2(c))，我們可以較容易地拾取直達波震相，然而對于后續(xù)散射波的同相軸較難拾取，故而利用實際數(shù)據(jù)成像時選擇直達波后一段波形來進行加密。

圖3為該技術(shù)應(yīng)用在模型上的算例。由于只對低速區(qū)界面成像，圖3(a)顯示了只包含后續(xù)散射震相的34個地震道。我們對原始數(shù)據(jù)進行均勻抽稀，得到了12個地震道，空間間距為90 m(圖3(b))，即稀疏度為66 %。首先拾取已有地震道相同震相最大振幅所對應(yīng)的到時，并根據(jù)樣條插值計算丟失地震道的到時，然后確定數(shù)據(jù)重構(gòu)的時間窗(圖3(c))，最后根據(jù)到時把時間窗向上移動進行展平(圖3(d))。在這個基礎(chǔ)上，對展平之后時間窗內(nèi)的地震道根據(jù)公式(5)給出的曲波變換稀疏約束插值方法進行數(shù)據(jù)重構(gòu)(圖3(e))，接著根據(jù)到時再把時間窗移回原來的位置(圖3(f))。為了比較，我們直接利用了基于曲波變換稀疏約束的內(nèi)插方法進行數(shù)據(jù)重構(gòu)(圖3(g))。為驗證該方法的普適性，用相同的技術(shù)路線測試了既包含直達波也包含后續(xù)散射波的欠采樣數(shù)據(jù)插值(圖3(h))，可以看出，直達波和散射波都具有較好的插值效果。

圖3 聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束數(shù)據(jù)重構(gòu)方法對一個微地震事件合成道集的測試Fig.3 Test on synthetic waveforms from a microseismic event for joint spline and curvelet-based sparsity constrained interpolation method(a)原始34道合成數(shù)據(jù)；(b)均勻抽稀后的12道原始數(shù)據(jù)； (c)利用樣條插值擬合散射震相的同相軸；(d)水平對齊后的數(shù)據(jù)；(e)對齊后應(yīng)用曲波變換稀疏約束插值的數(shù)據(jù)；(f)最終插值結(jié)果；(g)直接利用曲波變換稀疏約束插值得到的數(shù)據(jù)；(h)包含了直達波和后續(xù)散射波的欠采樣波形用該技術(shù)插值效果

在僅有12道數(shù)據(jù)的情況下聯(lián)合樣條插值重構(gòu)的地震數(shù)據(jù)，地震相位連續(xù)，效果良好(圖3(f))。與直接用曲波變換稀疏約束插值的結(jié)果相對比(圖3(g))，聯(lián)合方法的插值結(jié)果在相位連續(xù)性以及波形相似性更好。

為了進一步檢驗我們的方法對數(shù)據(jù)的恢復(fù)情況，計算了重構(gòu)數(shù)據(jù)與正演合成數(shù)據(jù)的差值(圖4)。由圖4可以看出，聯(lián)合樣條插值的方法能夠更精確地恢復(fù)振幅(圖4(a)、圖4(c))。我們進一步選取了其中差值最大的一道數(shù)據(jù)進行波形對比(圖4(b)、圖4(d))?？梢钥闯雎?lián)合了樣條插值的基于曲波變換稀疏約束的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法能夠很好地恢復(fù)相位、振幅。相比較而言，直接基于曲波變換的插值方法雖然也在一定程度上恢復(fù)了相位，但是存在一定程度的偏差，而且振幅恢復(fù)較差。

為定量說明重建后的數(shù)據(jù)和正演合成數(shù)據(jù)的差別，在這里把正演合成數(shù)據(jù)與重建數(shù)據(jù)的差值當(dāng)作“噪聲”，把正演數(shù)據(jù)作為“信號”，引入信噪比的概念來定量評價插值數(shù)據(jù)的恢復(fù)質(zhì)量[8]：

(7)

其中:m0為正演合成的34道數(shù)據(jù)；m1為重建數(shù)據(jù)；SNR單位為dB。經(jīng)計算直接用曲波變換插值重構(gòu)的數(shù)據(jù)信噪比僅為-1.8 dB，而聯(lián)合樣條插值和曲波變換的插值方法重構(gòu)的數(shù)據(jù)信噪比為14.8 dB。

3 井下微地震合成數(shù)據(jù)加密前后成像效果對比

為檢驗該方法加密數(shù)據(jù)壓制空間假頻的有效性，將其應(yīng)用于圖2所示井下微地震合成數(shù)據(jù)的偏移成像中。利用8個微地震事件的全部34道微震數(shù)據(jù)并基于聲波方程進行了逆時偏移成像(圖5(a))。其基本原理為從震源發(fā)出的正傳波場與井下檢波器所計算的逆推波場，在成像點處對傳播方向不同的波場應(yīng)用互相關(guān)成像條件成像[19-20]。由圖5(a)可以看出，裂縫區(qū)域能夠很好地被刻畫出來。如果利用抽稀后的12道微震數(shù)據(jù)進行成像，雖然裂縫區(qū)域能夠較好地成像，但是在監(jiān)測井附近存在較強的空間假頻現(xiàn)象(圖5(b))，這主要是由于微震波場空間采樣不夠所導(dǎo)致的。如果不聯(lián)合樣條插值，直接利用曲波變換進行數(shù)據(jù)重構(gòu)得到34道微震數(shù)據(jù)，然后進行偏移成像(圖5(c))。由圖5(c)可以看出，雖然地震道進行了加密，但是由于插值效果較差，成像的結(jié)果依然顯示出與圖5(b)類似的空間假頻現(xiàn)象。與之不同的是，結(jié)合樣條插值基于曲波變換的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法能夠很好地恢復(fù)數(shù)據(jù)，而且成像結(jié)果中也不存在由于空間采樣不足而產(chǎn)生的空間假頻現(xiàn)象(圖5(d))。

通過對比圖5(a)～圖5(d)，我們還可以發(fā)現(xiàn)，加密后的數(shù)據(jù)與全部數(shù)據(jù)相比，在裂縫遠離監(jiān)測井的界面成像效果稍有不足。加密后的數(shù)據(jù)和原始稀疏的數(shù)據(jù)相比，除了能夠更好地壓制假頻之外，對裂縫的成像效果并沒有太多形態(tài)上的差別。這說明基于樣條插值和曲波變換壓縮感知方法加密數(shù)據(jù)，并沒有帶來新的有效信息。

4 結(jié)論與討論

筆者提出了聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，并用于壓制微地震偏移時由于空間采樣不足而產(chǎn)生的假頻?；诰挛⒌卣鸨O(jiān)測合成數(shù)據(jù)測試，取得以下幾點認識：

1) 基于數(shù)學(xué)變換稀疏約束插值的前提，是地震道集圖像可以在變換域稀疏表示。對于曲波變換來說，只有當(dāng)同相軸所表示的方向與其所對應(yīng)的尺度下基函數(shù)所能刻畫的方向一致時，才可以稀疏表示全部地震道集，從而得到較好的插值效果。

2)聯(lián)合樣條插值與曲波變換稀疏約束的插值方法，可以針對在較少地震道的情況下，通過同相軸追蹤較好地進行地震數(shù)據(jù)重建。避免了當(dāng)已知地震道較少時，曲波基函數(shù)對整個地震道難以進行稀疏表示的問題。

3)合成測試結(jié)果表明，針對空間采樣不足，用聯(lián)合方法加密微地震監(jiān)測數(shù)據(jù)可以壓制偏移成像時出現(xiàn)的假頻現(xiàn)象，而并不帶來新的有效信息。

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Downhole microseismic monitoring data reconstruction based on spline interpolation and curvelet-based compressive sensing

CHANG Kaia，ZHANG Hai-jianga,b*，LIN Yea,b

(University Science and Technology of China a.Wantai Microseismic Lab of School of Earth and Space Sciences,b.Laboratory of Seismology and Physics of Earth's Interior,Hefei 230026,China)

For downhole microseismic monitoring of hydraulic fracturing of unconventional oil/gas reservoirs,the number of borehole receivers is limited and as a result the spatial sampling of seismic wavefield is sparse,which can lead to artifacts in the seismic migration image for downhole microseismic migration.To mitigate this spatial aliasing issue,spatial interpolation is needed.Currently,compressive sensing using the curvelet-based sparsity constraint has been gradually widely used for seismic trace interpolation.However,for the case of downhole microseismic monitoring,because the temporal sampling is much denser than the spatial sampling,the directional information obtained for curvelet bases at certain scales is limited,making it difficult to take full advantage of anisotropic features of curvelet bases.As a result,the result of seismic trace interpolation is poor.To solve this issue,we propose a hybrid method that combines spline interpolation and curvelet-based compressive sensing.First,spline interpolation method is used to calculate the reflection of interpolated traces using those of existing traces.Then the traces are shifted to a certain direction that could well be represented by the curvelet basis,such as the horizontal direction.After shifting the traces,the seismic gather is sparse in the curvelet domain and thus the curvelet-based spartisty constrained interpolation can then be used to more accurately reconstruct more traces in the space domain.We tested the hybrid method on a synthetic downhole microseismic dataset.It shows that the artifacts on seismic migration image using interpolated microseismic data are greatly reduced compare to the migration image from the original sparse data.

downhole microseismic monitoring; spline interpolation; curvelet transform; compressive sensing; data reconstruction

2015-11-13 改回日期：2015-12-24

國家自然科學(xué)基金項目(41274055)

常凱(1990-)，男，碩士，主要從事被動源地震成像，稀疏約束反演研究,E-mail：chao_13@mails.jlu.edu.cn。

*通信作者：張海江(1973-)，男，教授，主要從事不同尺度下地震成像算法研究和應(yīng)用，E-mail：zhang11@ustc.edu.cn。

1001-1749(2016)06-0788-08

P 631.4