李軍書

數(shù)學(xué)思想是指人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)過程中對(duì)其內(nèi)容、方法、結(jié)構(gòu)、思維方式及其意義的基本看法和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是人們對(duì)數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是知識(shí)轉(zhuǎn)化的橋梁，用數(shù)學(xué)思想方法去溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，可以對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的本質(zhì)及規(guī)律有深刻的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，它的應(yīng)用可以避免解題中的計(jì)算、形成演繹的盲目性，掌握數(shù)學(xué)思想方法可以提高解題能力。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，得到數(shù)學(xué)教師的重視，數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間，學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。筆者一貫致力于滲透數(shù)學(xué)思想和方法于初中教學(xué)之中，在自己和周圍同行的實(shí)踐基礎(chǔ)上，有所感悟，形成此文，來與各位專家同行商榷。

一、初中數(shù)學(xué)思想與方法的認(rèn)識(shí)

㈠新課標(biāo)要求。《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。教師在整個(gè)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。

㈡思想與方法的關(guān)系。從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含。只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。

㈢初中數(shù)學(xué)常見的思想方法。在初中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著多種思想方法，但最基本的數(shù)學(xué)思想方法是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、問題轉(zhuǎn)化幾種思想方法。1.函數(shù)與方程思想，函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想。方程思想則指把研究數(shù)學(xué)問題中已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程或方程組等數(shù)學(xué)模型。2.代數(shù)與圖形結(jié)合思想，代數(shù)與圖形結(jié)合思想就是常說的數(shù)形結(jié)合思想，是數(shù)學(xué)中最古老和最普遍一種思想方法，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。3.數(shù)學(xué)分類討論思想，初中數(shù)學(xué)課本中有不少定理、公式法則、練習(xí)題，都需要我們?nèi)シ诸愑懻?，在教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)有有意識(shí)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的思想，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)遺漏或錯(cuò)誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。4.問題的轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化思想也稱化歸思想，它是指將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡(jiǎn)單的問題，從而使問題順利解決的數(shù)學(xué)思想。三角函數(shù)，幾何變換，因式分解等數(shù)學(xué)理論無不滲透著轉(zhuǎn)化的思想。常見的轉(zhuǎn)化方式有：一般 特殊轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化，復(fù)雜 簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，類比轉(zhuǎn)化等。

二、落實(shí)滲透數(shù)學(xué)思想和方法于初中教學(xué)之中

㈠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法于備課中。教者要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，首先要有意識(shí)地從教學(xué)目的的確定、教學(xué)過程的實(shí)施，教學(xué)效果的落實(shí)等各個(gè)方面來體現(xiàn)，使每節(jié)課的教學(xué)、教育目的獲得和諧的統(tǒng)一。通過對(duì)教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后建立各類概念、知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。因而，在備課時(shí)就必須把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)從鉆研教材中加以挖掘。例如，在備《二元一次方程組》（北師大版八年級(jí)上冊(cè)第七章）這一章時(shí)，就要挖掘方程思想、建模思想、化“未知”為“己知”、化“二元”為“一元”的化歸思想方法。

㈡滲透數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中

數(shù)學(xué)是知識(shí)與思想方法的有機(jī)結(jié)合，沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)，也沒有游離于數(shù)學(xué)知識(shí)之外的數(shù)學(xué)思想方法。這就要求教者在教學(xué)中，深入挖掘隱含在教材里的數(shù)學(xué)思想方法，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)過程，展示數(shù)學(xué)思維過程，這樣才有助于學(xué)生了解其中數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生、應(yīng)用和發(fā)展的過程；理解數(shù)學(xué)思想方法的特征，應(yīng)用的條件，掌握數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)。不同的教學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)其特點(diǎn)，選配不同的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)：一般在知識(shí)的概念形成階段導(dǎo)入概念型數(shù)學(xué)思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般互相轉(zhuǎn)化的思想等；在知識(shí)的結(jié)論、公式、法則等規(guī)律的推導(dǎo)階段，強(qiáng)調(diào)和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數(shù)的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、判定兩個(gè)三角形相似有哪些常用思路等；在知識(shí)的總結(jié)階段或新、舊知識(shí)結(jié)合部分，選配結(jié)構(gòu)型的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化，分組討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。

㈢運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法于掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)中。數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，往往就是需要有意識(shí)地運(yùn)用或揭示數(shù)學(xué)思想方法之處。數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，往往與數(shù)學(xué)思想方法的更新交替、綜合運(yùn)用、跳躍性較大有關(guān)。因此，教者要掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，更要有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法組織教學(xué)。例如，“二次根式的加減運(yùn)算”是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，為了突破難點(diǎn)，就要運(yùn)用類比思想、整體思想、化歸轉(zhuǎn)換思想方法尋找解決問題途徑，采用類比“整式的加減運(yùn)算”的手段，構(gòu)造出具體形象的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行猜想、推理、研究，實(shí)現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化。

㈣提煉數(shù)學(xué)思想方法于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程。在此過程中，向?qū)W生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，采取“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過對(duì)相關(guān)問題情境的研究為有效切入點(diǎn)，對(duì)知識(shí)發(fā)生過程的展示，使學(xué)生的思維和經(jīng)驗(yàn)全部投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，并在此過程領(lǐng)會(huì)如數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、應(yīng)用意識(shí)和推理能力等數(shù)學(xué)思想方法。

㈤挖掘數(shù)學(xué)思想方法于范例教學(xué)中。有意識(shí)地組織學(xué)生進(jìn)行必要的解題訓(xùn)練，設(shè)計(jì)具有探索性的、能從中抽象一般和特殊規(guī)律的范例進(jìn)行教學(xué)，在對(duì)其分析和思考的過程中展示數(shù)學(xué)思想和具有代表性的數(shù)學(xué)方法。針對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程中展示出來的數(shù)學(xué)思想方法不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行提問與討論、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟出思想方法。一方面通過解題和反思活動(dòng)，從具體數(shù)學(xué)問題和范例中總結(jié)、歸納解題方法，挖掘隱含在教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想；另一方面在解題過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，舉一反三，觸類旁通。

三、滲透數(shù)學(xué)思想和方法于初中教學(xué)之中應(yīng)堅(jiān)持的原則。

㈠滲透“方法”，了解“思想”。將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)。

㈡訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。教者必須分層次地進(jìn)行滲透和教學(xué)。要全面地熟悉初中三個(gè)年級(jí)的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對(duì)這些知識(shí)從思想方法的角度作認(rèn)真分析，按照初中三個(gè)年級(jí)不同的年齡特征、知識(shí)掌握的程度、認(rèn)知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹?cái)?shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)。

㈢掌握“方法”，運(yùn)用“思想”。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要經(jīng)過聽講、復(fù)習(xí)、做習(xí)題等才能掌握和鞏固。數(shù)學(xué)思想、方法的形成同樣有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。只有經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)。另外，使學(xué)生形成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)，必須建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)”，這更需要一個(gè)反復(fù)訓(xùn)練、不斷完善的過程。

㈣提煉“方法”，完善“思想”。教學(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象。由于數(shù)學(xué)思想、方法分散在各個(gè)不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這樣才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實(shí)處。

只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)；單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，則會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木。教者要堅(jiān)持滲透數(shù)學(xué)思想和方法于初中教學(xué)之中，在教師和學(xué)生的教與學(xué)的活動(dòng)中，滲透和歸納數(shù)學(xué)思想方法，把學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，讓學(xué)生能輕松、愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。