張 卜,寧麗娟

(陜西師范大學 數學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

關聯的乘性和加性驅動的三穩(wěn)系統穩(wěn)態(tài)分析

張 卜,寧麗娟

(陜西師范大學 數學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

運用劉維方程和諾維科夫定理, 研究乘性和加性高斯白噪聲共同激勵下一維三穩(wěn)系統的穩(wěn)態(tài)概率密度函數.結果表明，關聯強度λ和乘性噪聲強度P均能誘導相變的產生，而加性噪聲強度Q不能誘導相變的產生.通過數值模擬穩(wěn)態(tài)概率密度函數驗證了所得結論的準確性.

三穩(wěn)系統; 噪聲; 相變; 穩(wěn)態(tài)概率密度函數

0 引 言

噪聲廣泛存在于自然界的各個領域,包括生物、 物理、 化學、 醫(yī)學等.傳統觀念認為噪聲會影響信息傳遞的精確性,總是消極的.噪聲在產生雜亂的運動,破壞序,破壞功能,抹去相與相之間的差別,導致均勻,起到了破壞的相變作用，是造成系統無序的根源.所以,人們想盡各種辦法消去噪聲對系統的影響.但研究發(fā)現,這種無規(guī)律的隨機干擾并不總是對系統起到消極破壞的作用，在一定的非線性條件下它在產生相干運動和建立“序”上起到了十分積極的作用.如色關聯的色噪聲驅動的雙穩(wěn)杜芬模型的穩(wěn)態(tài)分析[1],噪聲可以抑制腫瘤細胞的增長[2]等.通過研究帶有噪聲的非線性系統,發(fā)現許多確定性方程不可能產生的相變在噪聲作用下卻成為可能.噪聲誘導下非線性動力學系統的相變就是其中的一個重要問題[3].研究發(fā)現,當系統的某個參數達到某一臨界值時,穩(wěn)態(tài)概率密度函數曲線的結構發(fā)生變化,即峰值數目發(fā)生變化.文獻[4]研究了非高斯色噪聲對FHN神經元系統的影響，文獻[5]發(fā)現噪聲在基因轉錄調控過程中可以誘導蛋白質濃度發(fā)生變化，文獻[6]研究了乘性噪聲和加性噪聲之間色關聯的單模激光系統的定態(tài)性質，文獻[7]對色關聯白噪聲驅動的雙穩(wěn)系統的穩(wěn)態(tài)進行分析，文獻[8]研究了帶有對稱利維噪聲的腫瘤免疫系統的隨機分岔，文獻[9]研究了白噪聲驅動下雙穩(wěn)系統的穩(wěn)態(tài)性質，文獻[10]研究了色關聯作用下單模激光損失模型的光強定態(tài)問題，文獻[11]研究了色關聯的白噪聲驅動的雙穩(wěn)系統的隨機共振，文獻[12]研究了高斯白噪聲對神經網絡模型隨機共振的影響.

上述研究中,大部分都局限在帶有雙勢阱系統和單勢阱系統模型中,對三勢阱系統的分析并不多.文獻[13]研究了色關聯的三勢阱系統下時滯誘導相變，文獻[14]研究了色關聯乘性和加性色噪聲驅動的多穩(wěn)態(tài)系統的穩(wěn)態(tài)特性，文獻[15]研究了非高斯噪聲激勵的三勢阱系統的隨機響應.本文研究關聯乘性和加性的高斯白噪聲驅動的多穩(wěn)系統的穩(wěn)態(tài)特性.分別討論了關聯強度λ,加性噪聲強度Q和乘性噪聲強度P對穩(wěn)態(tài)概率密度函數的影響,研究噪聲誘導相變現象的產生.

1 三穩(wěn)態(tài)系統的概率密度函數

考慮關聯的乘性和加性高斯白噪聲共同驅動的三穩(wěn)系統，由下列的一維朗之萬方程來表示：

(1)

(2)

其中，V(x)是確定性的勢函數，ξ(t)和η(t)分別為乘性和加性高斯白噪聲，統計性質為

(3)

利用劉維方程[16]和諾維科夫定理[17]，從方程(1)～(3)得到近似的?？?普朗克方程為

(4)

方程(4)對應的穩(wěn)態(tài)概率密度函數為

(5)

式(5)中N為歸一化常數,廣義勢函數Φ(x)的表達式為

Φ(x)=A1x4/4+A2x3/3+A3x2/2+A4x+A5.

(6)

其中

通過數值計算方程(5),討論關聯強度λ,加性噪聲強度Q和乘性噪聲強度P對穩(wěn)態(tài)概率密度函數的影響.這里取α=-1,β=4,γ=1,以下結論均在這組參數下討論得出.

圖2為關聯強度λ取不同值時,穩(wěn)態(tài)概率密度函數ρst(x)關于x的函數圖像.當參數P=0.5,Q=0.5時,可以看出,隨著λ的增大,穩(wěn)態(tài)概率密度函數由三峰結構變?yōu)閱畏褰Y構,即λ可以誘導相變現象產生.在出現三峰的情況下,左峰比右峰高,隨著λ的增強,穩(wěn)態(tài)概率密度函數由三峰結構變?yōu)殡p峰結構.伴隨著λ的進一步增大,左邊的增到最大,右峰完全消失,變成了單峰結構.

圖3為穩(wěn)態(tài)概率密度函數ρst(x)在不同加性噪聲強度Q下的變化曲線.當參數P=0.5,λ=0.1時,可以看出,隨著Q增加,穩(wěn)態(tài)概率密度函數的左右峰均下降,中峰上升,但還保留著三峰結構.表明隨著Q的增加,穩(wěn)態(tài)概率密度函數峰的個數沒有發(fā)生變化,即Q不可以誘導相變現象的產生.

圖4給出了穩(wěn)態(tài)概率密度函數ρst(x)作為x的函數，乘性噪聲強度P取不同值.當參數Q=0.5,λ=0.1時，可以看出，隨著P的增大，穩(wěn)態(tài)概率密度函有選舉權的左峰比右峰下降的速度更快，而中峰卻慢慢上升，峰的結構由雙峰變成了三峰.表明隨著P的增加，穩(wěn)態(tài)概率密度函數峰的結構發(fā)生了變化，即P可以誘導相變現象產生.

為了進一步驗證白噪聲作用下三穩(wěn)系統的穩(wěn)態(tài)概率密度函數，對其進行模擬.這里對方程(1)采取向前Eular算法，利用Box-Muller算法[18]產生高斯白噪聲.結果如圖5～7所示.可以看到白噪聲參數對穩(wěn)態(tài)概率密度函數的影響和理論結果是一致的.

圖4 穩(wěn)態(tài)概率密度函數在不同乘性噪聲強度下的變化曲線

Fig.4 Plot of the stationary probability disti-bution function for different multiplic-ative noise intensities

圖6 穩(wěn)態(tài)概率密度函數在不同加性噪聲強度下的數值模擬圖

Fig.6 Simulation results for the stationary probability distribution function with different additive noise intensities

2 結 論

本文利用理論近似和數值模擬研究了乘性和加性高斯白噪聲共同激勵下的一維三穩(wěn)系統的動力學性質.發(fā)現關聯強度λ,加性噪聲強度Q和乘性噪聲強度P對概率密度函數有較大的影響,并得出以下結論:

(1) 關聯強度λ的增加能引起穩(wěn)態(tài)概率函數峰結構的變化,使得從三峰結構轉變?yōu)閱畏?從而峰數發(fā)生了變化,即λ能夠引起相變;

(2) 加性噪聲強度Q的改變使得穩(wěn)態(tài)概率密度函數的左峰和右峰下降,中峰上升,峰的結構卻沒有發(fā)生變化,還保持著三峰結構,即Q不能誘導相變的產生;

(3) 乘性噪聲強度P的增大能夠引起穩(wěn)態(tài)概率密度函數從雙峰結構向三峰結構變化,左峰和右峰下降,中峰上升,峰數發(fā)生變化,即P能夠引起相變的發(fā)生.

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編輯、校對：師 瑯

Steady-state analysis of a triple-well potential system with correlations between multiplicative and additive noise

ZHANGBu,NINGLijuan

(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)

By virtue of the Liouville equation and Novikov theorem,the expressions of the stationary probability distribution function of one-dimensional triple-well potential system with correlations between multiplicative and additive noises are investigated. The results show that the intensity of cross-correlationλand the intensity of multiplicative noisePcan induce transition; the intensity of additive noiseQcan not induce transition.The accuracy of the conclusion is verified by using numerical simulation stationary probability distribution function.

triple-well system; noise; transition; stationary probability distribution function

1006-8341(2016)04-0496-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.014

2016-09-28

國家自然科學基金資助項目(11202120)

寧麗娟(1977—),女,陜西省西安市人,陜西師范大學副教授,博士，研究方向為隨機動力學.

E-mail:ninglijuan@snnu.edu.cn

張卜,寧麗娟.關聯的乘性和加性驅動的三穩(wěn)系統穩(wěn)態(tài)分析[J].紡織高?；A科學學報,2016,29(4)：496-500.

ZHANG Bu,NING Lijuan.Steady-state analysis of a triple-well potential system with correlations between multiplicative and additive noise[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):496-500.

O 242.1

A