一類有理函數(shù)的中性周期點(diǎn)鄰近的動力學(xué)性質(zhì)

鐵勇

有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)的內(nèi)容是復(fù)分析動力系統(tǒng)中一個重要的研究內(nèi)容。該文通過分析有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的三個不同的性質(zhì)，給出了詳細(xì)的證明方法，這對研究和推廣有理函數(shù)的周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的性質(zhì)提供了一定的理論和證明依據(jù)。

有理函數(shù)中性周期點(diǎn)動力學(xué)性質(zhì)

1引言

有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)作為復(fù)分析動力學(xué)中的重要內(nèi)容，對研究其鄰近的結(jié)構(gòu)性質(zhì)有一定的理論意義。而有關(guān)有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)的的不同性質(zhì)一直是復(fù)分析研究的重點(diǎn)問題。但是關(guān)于性質(zhì)的研究及推廣是一個值得研究的焦點(diǎn)。本文通過分析有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的三個不同的性質(zhì)，給出了詳細(xì)的證明方法，這對研究和推廣有理函數(shù)的周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的性質(zhì)提供了一定的理論和證明依據(jù)，也為復(fù)分析動力學(xué)的周期性問題的深入探討起到了很好的促進(jìn)作用。

2有理函數(shù)的中性周期點(diǎn)鄰近的性質(zhì)

性質(zhì)1：對于degR≥2的有理函數(shù)R的有理中性周期軌道包含于J（R）。

證明：設(shè)ξ1，…，ξp為R的有理中性周期軌道，則對于ξ∈ξ1，…，ξp，有Rpξ=ξ且Rp'ξ是1的某次（設(shè)為K次）根，不妨設(shè)ξ=0，則Rpz=az+bzr+…，（b≠0，r為≥2的某一自然數(shù)），令Sz=Rpkz，則S（z）=akz+o（z2），S（0）=z+czq+…（c≠0，q為≥2的某一自然數(shù)），再次由歸納法得（Sn（z））q（0）=nc·q！→∞，ξ=0∈J（R）.

性質(zhì)2 ：ⅰgππ； ⅱRegnz→∞n→∞，z∈w；ⅲg：π→∏共形共軛于一個平移變換。

分析論證：設(shè)w=x+iygw=u+iv， Aw+θw=a+bi，對于w∈π，有w>κ， u=x+p+a， v=y+b，進(jìn)而有 v2-4κκ-μ≥4κp-4κp+4κa，又由于2by+4κa≤6w·a+bi=6x2+y2·a2+b2≤6A+B<2κ<4κp，即gππ成立。

證明ⅱ：令 π0=σ-1π，由此可見fπ0π，以下只須說明對充分小的t，σ-1t就是花瓣，設(shè)z=Yeiθz∈S，1zθ=σz=w=ρeiφw∈W，從而有ρ=1rp，φ=-ρθ，由極坐標(biāo)有π=ρeiφ：2κ<ρ1+cosφ，進(jìn)而有π0=σ-1πρeiθ：2κ<1rp1+cosρθ=reiθ：rp<12κ1+cosρθ，其中，t=12κ。

由上述證明的（i）和（iii）可得到g：π→∏共形共軛于一個平移變換。

性質(zhì)3：若R是degR≥2的有理函數(shù)，F(xiàn)0是F關(guān)于R的完全不變分支，則F0既是單連通，又是無限連通的。

證明：設(shè)F0的余集D∞-F0有C個分支E1，…Ec，其中，1≤C≤+∞，且D∞-F0=∪Cj=1Ej，由F0是F關(guān)于R的完全不變分支，可推知∪Cj=1Ej為R的完全不變集，因此，存在充分大的自然數(shù)m，使得每一個Ej是Rm下的完全不變集，又因?yàn)镴（R）=∪Cj=1Ej，且J（R）有無限個點(diǎn)；因此，存在j*∈{1，2，…，C}，使得Ej*有無限個點(diǎn)，再由J（Rm）的極小性可得到J（Rm）Ej*，而J（Rm）=J（R），另一方面，顯然有Ej*J（Rm），因此可得到Ej*=J（Rm），又可知每個Ej與J（R）都是相交的；故D∞-F0只有一個分支E1，因此，F(xiàn)0是單連通的。參考文獻(xiàn)：

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