劉延杰，朱圣英，崔平遠(yuǎn)

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

小天體安全著陸與表面探測控制方法研究

劉延杰1,2,3，朱圣英1,2,3，崔平遠(yuǎn)1,2,3

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

針對(duì)探測器在小天體表面的彈跳式運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，提出一種表面運(yùn)動(dòng)控制方法。首先基于簡化的運(yùn)動(dòng)模型，計(jì)算出探測器進(jìn)行彈跳式轉(zhuǎn)移所需的初始速度；然后通過對(duì)軌道方程的線性化，基于線性時(shí)變系統(tǒng)的求解方程，采用脈沖控制對(duì)每次彈跳的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行修正，增加控制精度；并分析轉(zhuǎn)移距離與彈跳次數(shù)的關(guān)系；最后，以小行星1620 Geographos作為目標(biāo)小天體進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了控制算法的有效性。結(jié)果表明，該控制方法可以應(yīng)用于探測器在附著到小天體表面后的彈跳轉(zhuǎn)移，也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

小天體；表面運(yùn)動(dòng)；脈沖控制；轉(zhuǎn)移距離

0 引 言

小天體是太空環(huán)境中具有極高探測價(jià)值的一類天體。附著探測是提升人類對(duì)小天體認(rèn)知的重要手段。相比于大的行星天體，小天體具有質(zhì)量輕、形狀不規(guī)則的特點(diǎn)，這導(dǎo)致其附近呈現(xiàn)不規(guī)則弱引力場[1]。在這種引力場環(huán)境下，探測器在小天體附近的運(yùn)動(dòng)形式可以概括為：貼近小天體表面的軌道段、軌道運(yùn)動(dòng)與表面作用耦合的彈跳段、完全位于表面上的滑移滾動(dòng)段。

針對(duì)小天體附近獨(dú)特的運(yùn)動(dòng)形式，相關(guān)學(xué)者對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性和穩(wěn)定性展開了研究。Guibout等構(gòu)建了一個(gè)均勻旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)三軸橢球模型，采用解析算法得到了一組平衡點(diǎn)，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了全面的分析[2]。Liu等采用一個(gè)旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)立方體作為小天體模型，給出了忽略摩擦情況下立方體表面的平衡點(diǎn)和圍繞平衡點(diǎn)的周期軌道，以及有摩擦情況下質(zhì)點(diǎn)不從表面逃逸的條件[3]。Yu等基于多面體模型對(duì)粒子在Geographos小行星表面的運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行了歸納和分析，并修正了多面體模型邊界處的引力勢(shì)函數(shù)奇異問題[4]。Tardivel等構(gòu)建了球形探測器在不規(guī)則小行星表面的受力模型，并運(yùn)用概率模型描述了小行星表面的障礙物情況[5]。

在小天體附近的弱引力環(huán)境下，任何微小的擾動(dòng)都可能導(dǎo)致探測器離開小天體表面。在完成小天體附著時(shí)，為了避免反彈現(xiàn)象的發(fā)生，相關(guān)任務(wù)對(duì)著陸裝置的構(gòu)型都做了特殊的設(shè)計(jì)。JAXA的Hayabusa1任務(wù)中，著陸信標(biāo)被設(shè)計(jì)成一個(gè)由若干小球填充的袋子，在信標(biāo)與目標(biāo)小行星發(fā)生碰撞后，通過小球的相互碰撞，將能量消耗掉，使得信標(biāo)有較小的恢復(fù)系數(shù)[6]。ESA羅塞塔任務(wù)的著陸器菲萊通過起落架上的阻尼裝置消耗掉一部分碰撞能量，冷噴氣系統(tǒng)提供向下的推力，另外，菲萊會(huì)釋放兩個(gè)魚叉進(jìn)入地表，使自身固定[7-8]。TAG（touch-and-go）是弱引力環(huán)境下，探測器完成對(duì)小天體表面采樣收集的有效手段。在TAG過程中，探測器通常先在目標(biāo)小天體上方進(jìn)行懸停。待確定采樣點(diǎn)以后，探測器下降到小天體表面，在只做幾秒鐘的停留完成采樣任務(wù)后迅速上升離開小天體表面。TAG采樣已經(jīng)成功應(yīng)用于Hayabusa任務(wù)[9]，OSIRIS- Rex[10]任務(wù)也將采用這種方式完成采樣返回。

由于小天體附近引力微弱，表面不能提供足夠的摩擦力，傳統(tǒng)的輪動(dòng)式巡視器無法有效運(yùn)動(dòng)，因此小天體表面巡視器通常也采用彈跳式方法。針對(duì)探測器在小天體表面的彈跳移動(dòng)問題，Ulamec對(duì)小天體探測任務(wù)中彈跳式探測器的應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行了深入研究，并且在基于旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊加速彈跳原理的基礎(chǔ)上提出了撐桿跳彈跳概念[11]。前蘇聯(lián)的Phobos 2任務(wù)中攜帶了一個(gè)計(jì)劃著陸于火衛(wèi)一的彈跳探測器PROP-F，雖然任務(wù)失敗，但彈跳探測器的概念對(duì)小天體探測具有很高的參考價(jià)值[13]。Hayabusa任務(wù)中，MINERVA巡視器的驅(qū)動(dòng)裝置為扭矩電機(jī)，它可以提供小于10 cm/s的跳躍速度。Yoshimitsu基于MINERVA巡視器建立了小天體表面彈跳過程動(dòng)力學(xué)，并分析了不同環(huán)境參數(shù)下彈跳性能與應(yīng)用前景[15]。Bellerose針對(duì)小天體彈跳移動(dòng)方法，基于橢球體引力模型，提出了探測器移動(dòng)距離和所需時(shí)間的解析計(jì)算方法，并基于滑?？刂扑枷胙芯苛藛蝹€(gè)和多個(gè)探測器控制方法[14]。Mège等針對(duì)小天體復(fù)雜地形設(shè)計(jì)了對(duì)附著環(huán)境具備魯棒性的彈跳運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，彈跳距離可以從幾米到幾十米[12]。

弱引力環(huán)境下進(jìn)行附著任務(wù)極易發(fā)生反彈，如果沒有后續(xù)操作，探測器將長時(shí)間的在小天體表面彈跳運(yùn)動(dòng)，造成附著任務(wù)的失敗。為了避免這一現(xiàn)象的發(fā)生，提高小天體附著探測任務(wù)的穩(wěn)定性，本文提出一種表面運(yùn)動(dòng)控制方法，使得探測器在附著到小天體表面后能夠以彈跳的方式進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，最終穩(wěn)定停留在原著陸點(diǎn)或轉(zhuǎn)移到新的目標(biāo)點(diǎn)。同時(shí)，這一控制方法也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 多面體引力場模型

本文采用小行星1620 Geographos作為目標(biāo)小天體，其多面體模型如圖 1所示。定義小天體固連坐標(biāo)系如下：原點(diǎn)位于小天體質(zhì)心，z軸與小天體最大慣量軸即自轉(zhuǎn)軸重合，x與y軸分別與最小和中間慣量軸重合，x，y，z三軸滿足右手法則。

圖1 小行星1620 Geographos多面體模型Fig.1 Polyhedral model of asteroid Geographos

把小天體近似為內(nèi)部密度恒定的多面體以后，可以將引力勢(shì)函數(shù)寫成如下的形式：

其中：G表示萬有引力常數(shù)；ρ表示小天體密度；re和rf分別表示場點(diǎn)到多面體邊和面上任意點(diǎn)的距離；Le的值定義如下

其中：ae和be分別表示場點(diǎn)到任意邊兩頂點(diǎn)的距離；ee為該邊的長度；Ff為構(gòu)成邊e的兩個(gè)面的外法線矢量的點(diǎn)積，即

Ee定義如下

ωf的值定義如下

根據(jù)以上多面體引力場模型，能夠計(jì)算場點(diǎn)處的引力勢(shì)能，通過求引力勢(shì)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可以得到場點(diǎn)處的引力加速度和Hessian矩陣：

1.2 軌道段動(dòng)力學(xué)方程

探測器在小天體附近的運(yùn)動(dòng)包含軌道段和表面段，小天體固連坐標(biāo)系下的軌道段運(yùn)動(dòng)方程為

其中：ω表示目標(biāo)小天體的自旋角速度；Vx、Vy和Vz表示沿坐標(biāo)軸方向的引力加速度分量，可以由公式（6）計(jì)算得到；ax、ay和az表示沿坐標(biāo)軸方向的控制加速度。

1.3 表面段動(dòng)力學(xué)方程

表面段運(yùn)動(dòng)過程可以分解為法向和切向，分解過程如圖 2所示。由于表面段運(yùn)動(dòng)時(shí)間很短，這里忽略掉探測器的滑移過程，僅考慮碰撞。假設(shè)探測器與小天體表面接觸前具有入射速度vc，碰撞后的法向速度由恢復(fù)系數(shù)cr（0≤cr≤1）來確定。

圖2 表面段運(yùn)動(dòng)分解Fig.2 Concept of surface dynamics

其中：vn0和vn1分別表示碰撞前和碰撞后的法向速度。切向運(yùn)動(dòng)滿足如下的關(guān)系：

其中：vt0和vt1分別表示碰撞前和碰撞后的切向速度；μr表示當(dāng)?shù)氐哪Σ料禂?shù)。

1.4 簡化模型

忽略小天體自旋和引力不規(guī)則變化的影響，可以將探測器的彈跳運(yùn)動(dòng)近似為拋物運(yùn)動(dòng)。通過對(duì)拋物運(yùn)動(dòng)的分析，可以近似得到通過一次彈跳將探測器從起始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)點(diǎn)所需要的速度vi。

定義矢量R為起始點(diǎn)指向單次彈跳目標(biāo)點(diǎn)的矢量，g為起始點(diǎn)處的引力加速度矢量。構(gòu)建R-g平面如圖 3所示。R方向的單位矢量為

圖3 拋物運(yùn)動(dòng)模型Fig.3 Parabolic motion

在R-g平面內(nèi)，定義矢量l與R垂直，并指向小天體外側(cè)。gl和gR分別為g沿l和R方向的分量，假設(shè)引力加速度g不變，給定期望彈跳時(shí)間Δt，那么vi沿l方向的速度分量為

vi沿R方向的速度分量為

將l方向和R方向的速度合成，可以得到一次彈跳將探測器從起始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)點(diǎn)所需要的速度vi為

由式（13）可以近似得到通過一次彈跳將探測器從起始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)點(diǎn)所需要的速度vi，但是由于忽略了小天體自旋和引力不規(guī)則變化的影響，探測器的實(shí)際附著位置將會(huì)偏離預(yù)定的目標(biāo)點(diǎn)。因此需要在探測器飛行過程中施加軌跡修正指令，對(duì)探測器的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行修正。

2 控制方法

本文所提出的控制方法，可以概括如下：1）在起始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間設(shè)置多個(gè)中間路徑點(diǎn)；2）在起始點(diǎn)處，通過式（13）求出探測器到第一個(gè)中間路徑點(diǎn)所需的初始速度vi，并由脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)這一速度；3）當(dāng)探測器飛行一段時(shí)間后，施加軌跡修正指令，使探測器到達(dá)第一個(gè)中間路徑點(diǎn)；4）以當(dāng)前路徑點(diǎn)作為起始點(diǎn)，重復(fù)前三步，直到探測器抵達(dá)目標(biāo)點(diǎn)；5）施加反向速度脈沖，使探測器最終停留在目標(biāo)點(diǎn)。表面運(yùn)動(dòng)控制方法示意圖如圖 4所示。本節(jié)將重點(diǎn)介紹軌跡修正算法的實(shí)現(xiàn)。

圖4 控制方法示意圖Fig.4 Scenario of hopping exploration on the small body

2.1 模型線性化

下標(biāo)0表示相關(guān)參數(shù)在初始狀態(tài)處的取值。僅保留0階項(xiàng)和1階項(xiàng)，可以得到軌道運(yùn)動(dòng)的線性化方程為

2.2 修正速度確定

方程（15）為線性定常系統(tǒng)，該系統(tǒng)的解為

將方程（17）代入方程（16）可以得到

已知探測器的當(dāng)前位置r0和目標(biāo)位置rt，并給定轉(zhuǎn)移時(shí)間tf，通過對(duì)方程（18）進(jìn)行性逆運(yùn)算，可以求出軌跡修正后的速度為

矩陣G和Φ的取值如下：

由式（19）可以求出軌跡修正點(diǎn)的速度增量為

以上分析給出了單次彈跳的控制過程，在探測器在小天體表面進(jìn)行彈跳運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈跳次數(shù)的設(shè)計(jì)應(yīng)該考慮轉(zhuǎn)移距離的影響。圖 4給出了初始速度vi大小固定的情況下，即（其中C為一常數(shù)），小行星Geographos表面某點(diǎn)的初始法向速度與轉(zhuǎn)移距離的關(guān)系圖。由圖 5可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)移距離較遠(yuǎn)的時(shí)候，法向速度可能會(huì)超越當(dāng)?shù)氐姆ㄏ蛱右菟俣龋@會(huì)使探測器在飛行一段時(shí)間后脫離引力束縛，離開小天體表面。另外，當(dāng)轉(zhuǎn)移距離較遠(yuǎn)時(shí)，誤差積累也較大，這使得后續(xù)的軌跡修正過程燃耗增加?；谝陨峡紤]，對(duì)于距離遠(yuǎn)的目標(biāo)點(diǎn)，應(yīng)該使探測器通過多次彈跳到達(dá)。

圖5 轉(zhuǎn)移距離與法向初始速度Fig.5 Relationship between transfer distance and normal initial velocity

3 仿真分析

3.1 拋物運(yùn)動(dòng)仿真

3.2 脈沖控制仿真

本組仿真采用與前一次仿真相同的初末位置，在這組仿真中，探測器受初始速度vi的驅(qū)動(dòng)，以彈跳的形式向目標(biāo)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)探測器飛行一段時(shí)間并到達(dá)一定高度后，由式（21）求出軌跡修正指令Δv，并最終完成一次彈跳運(yùn)動(dòng)。仿真結(jié)果如圖 7所示。

圖6 彈跳運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 Bouncing trajectory in 3D

圖7 固連坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 Trajectory histories in body-fixed coordinate

由圖 7可以看出，運(yùn)動(dòng)軌跡可以分為兩段，前一段軌跡為軌跡修正指令作用前的結(jié)果，與前一次的仿真軌跡重合，后一段為軌跡修正指令作用后的運(yùn)動(dòng)軌跡。最終，探測器能夠準(zhǔn)確地抵達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。

3.3 遠(yuǎn)距離彈跳轉(zhuǎn)移

前兩組仿真驗(yàn)證了文中所提的表面運(yùn)動(dòng)控制方法在單次彈跳運(yùn)動(dòng)里的控制效果。本組仿真用來驗(yàn)證該控制方法在遠(yuǎn)距離轉(zhuǎn)移的控制效果。初始點(diǎn)的位置矢量為，目標(biāo)點(diǎn)的位置矢量為。分別設(shè)置3個(gè)中間路徑點(diǎn)和4個(gè)中間路徑點(diǎn)，使探測器以4次彈跳運(yùn)動(dòng)和5次彈跳運(yùn)動(dòng)的方式到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，在目標(biāo)點(diǎn)處，施加與當(dāng)前速度等大小的反向速度脈沖，使探測器最終停留在目標(biāo)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)軌跡如圖 8所示。由仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，探測器準(zhǔn)確抵達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，并且在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中沒有發(fā)生逃逸。

圖8 固連坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.8 Trajectory histories in body-fixed coordinate

4 結(jié) 論

本文針對(duì)探測器在小天體表面的彈跳式運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，提出了一種表面運(yùn)動(dòng)控制方法。該控制方法可以應(yīng)用于探測器在附著到小天體表面后的彈跳轉(zhuǎn)移，也適用于弱引力環(huán)境下探測器的彈跳式探測。

本文首先對(duì)探測器在小天體附近運(yùn)動(dòng)的引力場模型和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了介紹，并基于簡化的運(yùn)動(dòng)模型，計(jì)算出探測器進(jìn)行彈跳式轉(zhuǎn)移所需的初始速度；通過對(duì)軌道方程的線性化，基于線性時(shí)變系統(tǒng)的求解方程，采用脈沖控制的方法對(duì)每次彈跳的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行修正，增加了控制精度；同時(shí)分析了轉(zhuǎn)移距離與彈跳次數(shù)的關(guān)系；最后，以小行星1620 Geographos作為目標(biāo)小天體進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證了控制方法的有效性。

[1]崔平遠(yuǎn)，喬棟.小天體附近軌道動(dòng)力學(xué)與控制研究現(xiàn)狀與展望[J].力學(xué)進(jìn)展，2013，43（5）：526-539.Cui P Y，Qiao D.Research progress and prospect of orbital dynamics and control near small bodies[J].Advances in Mechanics，2013，43（5）：526-539.

[2]Guibout V，Scheeres D J.Stability of surface motion on a rotating ellipsoid[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2003，87（3）：263-290.

[3]Liu X，Baoyin H，Ma X.Dynamics of surface motion on a rotating massive homogeneous body[J].Science China Physics，Mechanics and Astronomy，2013，56（4）：818-829.

[4]Yu Y，Baoyin H X，Modeling of migrating grains on asteroid’s surface[J].Astrophysics and Space Science，2015，335（1）：43-56.

[5]Tardivel S，Scheeres D J，Michel P，et al.Contact motion on surface of asteroid[J].Journal of Spacecraft and Rockets，2014，51（6）：1857-1871.

[6]Sawai S，Kawaguchi J，Scheeres D，et al.Development of a target marker for landing on asteroids，[J].Journal of Spacecraft and Rockets，2001，38（4）：601-608.

[7]K?mle N I，Ball A J，Kargl G，et al.Using the anchoring device of a comet lander to determine surface mechanical properties[J].Planetary and Space Science，1997，48（12）：1515-1538.

[8]Ulamec S，Biele J.Surface elements and landing strategies for small bodies missions-philae and beyond[J].Advances in Space Research，2009，44（7）：847-858.

[9]Kubota T，Otsuki M，Hashimoto T，et al.Touchdown dynamics for sampling in hayabusa mission[C]//In Proceedings of the AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit.Keystone：AIAA，2006：2006-6539.

[10]Berry K，Sutter B，May A，et al.Osiris-rex touch-and-go （TAG）mission design and analysis[C]//36th Annual AAS Guidance and Control Conference.Breckenridge：AAS，2013：13-95.

[11]Ulamec S，Kucherenko V，Biele J，et al.Hopper concepts for small body landers[J].Advances in Space Research，2011，47（3）：428-439.

[12]Mège D，Gurgurewicz J，Grygorczuk J，et al.The Highland terrain hopper （hopter）：concept and use cases of a new locomotion system for the exploration of low gravity solar system bodies[J].Acta Astronautica，2016（121）：200-220.

[13]Sagdeev R Z，Zakharov A V.Brief history of the Phobos mission[J].Nature，1989，341（6243）：581-585.

[14]Bellerose J，Scheeres D J.Dynamics and control for surface exploration of small bodies[C]//Proceedings of AIAA/AAS 2008 Astrodynamics Specialist Conference.Honolulu：AIAA，2008：2008-6251.

[15]Yoshimitsu T，Kubota T，Nakatani I，et al.Micro-hopping robot for asteroid exploration[J].Acta Astronautica，2003，52（2）：441-446.作者簡介：劉延杰（1988- ），男，博士研究生，主要研究方向：深空探測器自主導(dǎo)航與控制。E-mail：liuyanjie567@126.com

A Pulse Control Strategy of Landers for Hopping Exploration on Small Bodies

LIU Yanjie1,2,3，ZHU Shengying1,2,3，CUI Pingyuan1,2,3
（1.Institute of Deep Space Exploration，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2.Key Laboratory of Autonomous Navigation and Control for Deep Space Exploration，Ministry of Industry and Information Technology，Beijing
100081，China；3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle，Ministry of Education，Beijing 100081，China）

Surface investigation is an effect way to improve the cognition of small bodies for human being.Considering the impacts of the irregular micro-gravity near small bodies，the lander may bounce above the surface when touches down which is a dangerous situation for landing.Meanwhile，the movement of the surface detector is generally achieved by hopping ways.In this paper，a pulse control strategy is developed in order to improve the stability and accuracy for small body landing and long-distance transfer，and the corresponding guidance law is developed.This control strategy can be used for the scenarios of both re-landing and multi-hopping exploration on a small body.Firstly，the velocity pulse is exerted at the initial points if the transfer is needed.Such velocity pulse can be computed based on the parabolic movement.Then，the trajectories are corrected based on the pulse control.The proposed guidance law is flexible enough to be implemented in real time for small body landers.To certificate the performance of the proposed control strategy，simulations are conducted and the effectiveness and accuracy are analyzed.

small body；hopping；pulse control；transfer distance

V448.21

A

2095-7777(2016)04-0370-7

10.15982/j.issn.2095-7777.2016.04.009

劉延杰，朱圣英，崔平遠(yuǎn).小天體安全著陸與表面探測控制方法研究[J].深空探測學(xué)報(bào)，2016，3（4）：370-376.

Reference format：Liu Y J，Zhu S Y，Cui P Y.A pulse control strategy of landers for hopping exploration on small bodies [J].Journal of Deep Space Exploration，2016，3（4）：370-376.

[責(zé)任編輯：宋宏]

2016-07-28；

2016-08-10

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃“973”項(xiàng)目（2012CB720000）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61374216，61304226，61304248）；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（20121101120006）