王汀，郭延寧，張瑤，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制工程系，哈爾濱 150001）

基于模型預(yù)測(cè)控制的多約束火星精確著陸制導(dǎo)律研究

王汀，郭延寧，張瑤，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制工程系，哈爾濱 150001）

主要研究了火星著陸動(dòng)力下降段考慮燃料消耗和實(shí)際任務(wù)約束條件的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題。選取可變推力發(fā)動(dòng)機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，首先建立了著陸器在動(dòng)力下降段的運(yùn)動(dòng)方程及質(zhì)量變化方程；其次對(duì)實(shí)際任務(wù)中需要考慮的斜坡、推力幅值和方向等約束條件建立了約束模型；接下來(lái)通過(guò)構(gòu)造由控制量和狀態(tài)量構(gòu)成的性能指標(biāo)，提出一種基于模型預(yù)測(cè)控制的多約束火星精確著陸制導(dǎo)算法?？蓪?shí)現(xiàn)多種約束條件下的指標(biāo)最優(yōu)精確著陸任務(wù)。最后，通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)比了本文與已有典型著陸策略，驗(yàn)證了所提算法可以在滿足約束條件的前提下有效地完成既定火星精確著陸任務(wù)。

精確著陸；動(dòng)力下降段；模型預(yù)測(cè)控制；幾何約束

0 引 言

隨著科學(xué)水平的不斷發(fā)展，世界各國(guó)都將目光放到了遙遠(yuǎn)的外太空并制定了各自的探索計(jì)劃[1-2]。火星作為地球的近鄰有著與地球相似的環(huán)境，因此成為了行星探測(cè)的主要目標(biāo)。自1957年第一顆人造衛(wèi)星成功發(fā)射后3年，美國(guó)和蘇聯(lián)便開(kāi)始了火星探索計(jì)劃，至今的幾十年內(nèi)其他國(guó)家也加入了探索火星的行列，我國(guó)也制定了2020年左右實(shí)現(xiàn)火星“繞、落、巡”一步走的計(jì)劃[3-4]。由于火星著陸任務(wù)存在著對(duì)著陸地點(diǎn)環(huán)境的要求與資源豐富地區(qū)探索的限定，實(shí)現(xiàn)快速且高效的定點(diǎn)著陸在當(dāng)今及未來(lái)的著陸任務(wù)中扮演著越來(lái)越重要的角色[5-7]。

經(jīng)過(guò)探測(cè)任務(wù)的相繼實(shí)施以及控制理論的不斷完善，針對(duì)動(dòng)力下降段的制導(dǎo)與控制方法已經(jīng)十分豐富?；诙味囗?xiàng)式的“阿波羅制導(dǎo)方案”是最早應(yīng)用于實(shí)際任務(wù)的方法[8]，其主要思想是根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)及給定著陸點(diǎn)和著陸時(shí)間計(jì)算出一條參考軌跡。該方法物理意義明確，可靠性高，但不夠靈活，未能考慮著陸過(guò)程多種約束條件和性能指標(biāo)。McInnes設(shè)計(jì)了非線性反饋控制律以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)重力轉(zhuǎn)彎[9]。該方法沒(méi)有考慮燃料消耗的優(yōu)化并且很難應(yīng)用到實(shí)際任務(wù)中。Battin針對(duì)軌道控制問(wèn)題提出了一種最優(yōu)中斷狀態(tài)向量控制方法，可以直接補(bǔ)償未知干擾重力加速度[10]。D’Souza在均勻重力場(chǎng)中檢驗(yàn)了最優(yōu)控制算法并且計(jì)算出了最優(yōu)剩余飛行時(shí)間[11]。Acikmese和Ploen針對(duì)考慮復(fù)雜約束的燃料最優(yōu)火星著陸問(wèn)題設(shè)計(jì)了一種離線凸優(yōu)化方法[12]。該方法可以以很小的著陸誤差解決沒(méi)有可行著陸軌跡的問(wèn)題，但由于其自身的開(kāi)環(huán)特性，不適用于自主著陸任務(wù)中。Guo提出了一種考慮不同約束的路徑點(diǎn)優(yōu)化方法[13]。該方法通過(guò)在末尾使用ZEM/ZEV制導(dǎo)律可以得到與開(kāi)環(huán)燃料最優(yōu)控制相近的結(jié)果。Furfaro將強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于多滑模火星著陸參數(shù)選取中，這種方法雖然在參數(shù)選取方面更為自主但卻需要很復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程[14]。

綜上，已有的火星精確著陸的研究中，開(kāi)環(huán)優(yōu)化在解決多種著陸約束和性能優(yōu)化方面性能最優(yōu)，但實(shí)際使用價(jià)值受當(dāng)前計(jì)算能力限制。而已有的閉環(huán)反饋制導(dǎo)往往難以處理障礙規(guī)避、控制受限約束等難點(diǎn)問(wèn)題?；诖?，本文提出了一種基于模型預(yù)測(cè)控制的多約束反饋制導(dǎo)律。這是一種主要考慮避障和控制受限等非線性約束的在線優(yōu)化方法，該方法可在每個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域中進(jìn)行優(yōu)化算出當(dāng)前時(shí)刻的控制量，最終實(shí)現(xiàn)著陸器的軟著陸。

1 著陸器動(dòng)力學(xué)方程

忽略氣動(dòng)阻力及模型不確定性等因素，火星著陸器在動(dòng)力下降段的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

其中：r和v分別為著陸器的位置矢量和速度矢量；T為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力矢量；m為當(dāng)前時(shí)刻著陸器的質(zhì)量；g為重力加速度矢量。在本文中，以上矢量均為表示在以火星著陸點(diǎn)為原點(diǎn)的非旋轉(zhuǎn)慣性坐標(biāo)系中的3維列向量。

著陸器的質(zhì)量變化由發(fā)動(dòng)機(jī)燃料消耗方程來(lái)描述

2 著陸過(guò)程約束條件描述

為了更加準(zhǔn)確地模擬著陸器在動(dòng)力下降段的實(shí)際情況并且保證其安全、精確著陸，本節(jié)中將依次給出若干動(dòng)力下降段需要考慮的約束條件。

2.1 斜坡約束

為防止著陸器在著陸過(guò)程中與地面突起的障礙碰撞，著陸器的著陸軌跡應(yīng)該保證在設(shè)定的圓錐中。斜坡約束可以定義如下：頂點(diǎn)為預(yù)定著陸點(diǎn)，以著陸點(diǎn)為起點(diǎn)的垂直向上單位矢量zu為中心軸的圓錐，如圖1所示。若利用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述斜坡約束，則可以將約束條件轉(zhuǎn)換為令著陸器位置矢量r與垂直向上單位矢量zu間夾角小于圓錐的頂角α，即

圖1 斜坡約束Fig.1 Glide slope constraint

式中：r和zu分別為與著陸點(diǎn)固連坐標(biāo)系中的著陸器位置矢量和垂直向上單位矢量，α為給定斜坡角。不失一般性，假設(shè)斜坡約束頂角α的范圍為0≤α≤90°。

2.2 發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向約束

由于發(fā)動(dòng)機(jī)安裝在著陸器主體的特定位置，推力的方向不能為任意方向。推力方向約束如圖 2所示，從圖中可知若要滿足該約束需令發(fā)動(dòng)機(jī)噴射方向即推力反方向-T與向下單位矢量zd間的夾角小于給定角度最大值β。對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖2 推力方向約束Fig.2 Thrust direction constraint

不失一般性，假設(shè)推力方向約束最大值β的范圍為-90°≤β≤90°。

2.3 推力幅值約束

由于著陸器一般配置有限推力發(fā)動(dòng)機(jī)，其所能提供的推力幅值存在上限。對(duì)應(yīng)推力幅值約束可表示為

其中：T為推力幅值；Tmax為最大推力幅值。

2.4 安全高度約束

斜坡約束可以保證著陸器著陸時(shí)到達(dá)預(yù)定位置，但由于有限推力發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的推力存在上限，即使提供最大推力，以上約束不能保證著陸器著陸時(shí)的速度為零，即無(wú)法滿足軟著陸的條件。因此著陸器當(dāng)前時(shí)刻z軸的速度與當(dāng)前的高度間應(yīng)存在一個(gè)約束保證著陸器不會(huì)墜地，該約束可表示為

其中：Tmax為最大推力幅值；m為當(dāng)前時(shí)刻著陸器質(zhì)量；分別為著陸器在軸方向上的位置分量和速度分量；g0為火星重力加速度的大小。

值得注意的是，雖然該約束計(jì)算時(shí)采用的是當(dāng)前時(shí)刻的質(zhì)量，將其視為常數(shù)，但在著陸過(guò)程中，質(zhì)量是逐漸減小的，因此利用該公式具有更高的保守性。

3 動(dòng)力下降段數(shù)學(xué)模型

在本節(jié)中，基于之前所述的著陸器動(dòng)力學(xué)方程和非線性約束，描述了著陸器動(dòng)力下降段導(dǎo)航問(wèn)題。該問(wèn)題包含了待優(yōu)化的性能指標(biāo)、著陸器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、非線性約束條件和狀態(tài)量的幅值約束。建立由狀態(tài)和控制量構(gòu)成的性能指標(biāo)如下

其中：tf為飛行時(shí)間；Q和R分別為狀態(tài)量和控制量的權(quán)重；r和v分別為著陸器的位置矢量和速度矢量；T為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力矢量。

動(dòng)力學(xué)方程為

約束條件為

狀態(tài)量幅值約束為

其中：ri和vi分別為著陸器的三軸位置分量和速度分量；χr和χv分別為位置分量上限和速度分量上限。

非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以進(jìn)一步寫(xiě)成簡(jiǎn)化形式。首先將連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)方程（1）和（2）以采樣間隔Δt離散化

定義新的狀態(tài)變量和控制變量

利用新定義的狀態(tài)與控制量可以將式（12）和式（13）整合成

公式（16）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

需要說(shuō)明的一點(diǎn)是，由于矩陣M（t）的左上、左下和右下子塊部分始終是可逆的，因此M（t）-1始終是存在的。

4 基于模型預(yù)測(cè)控制的著陸制導(dǎo)律

模型預(yù)測(cè)控制（MPC）是一種利用當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)作為初始狀態(tài)，在一段固定時(shí)間內(nèi)的每個(gè)采樣時(shí)間求解最優(yōu)控制問(wèn)題以得到當(dāng)前控制量的控制方法。優(yōu)化的目的是求取一組最優(yōu)的控制序列并采用序列中的第一項(xiàng)作為當(dāng)前時(shí)刻的控制量。然后將控制量施加給系統(tǒng)后得到的下一時(shí)刻的狀態(tài)作為初始狀態(tài)并且在相同的時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)進(jìn)行迭代計(jì)算，這樣的閉環(huán)可以起到有效補(bǔ)償不確定性和干擾的反饋?zhàn)饔?。在每步迭代中，系統(tǒng)模型是隨時(shí)間變化的，這樣可以保證與實(shí)際著陸情形具有很小的偏差。

4.1 模型預(yù)測(cè)控制算法

針對(duì)上節(jié)提出的數(shù)學(xué)模型，采用模型預(yù)測(cè)控制律來(lái)產(chǎn)生分段光滑的常值控制。假設(shè)每步預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度為N，則在一次迭代中下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)為

其中：A2，B2和C2為在每次迭代中A2（t），B2（t）和C2（t）在當(dāng)前時(shí)刻的值；分別為一次預(yù)測(cè)時(shí)域中第i步的狀態(tài)向量和控制向量；為第i+1步的預(yù)測(cè)狀態(tài)。為簡(jiǎn)化方程形式，在下面的推導(dǎo)中將忽略t。

為了更為方便地計(jì)算每次預(yù)測(cè)中的狀態(tài)序列與控制序列，可以把每次預(yù)測(cè)時(shí)域中所有步的狀態(tài)量和控制量整合為新的狀態(tài)量X和控制量U

則可將式（20）改寫(xiě)為

利用新的狀態(tài)量和控制量式（21），性能指標(biāo)式（9）可以改寫(xiě)為

其中：Q′和R′為狀態(tài)量和控制量的權(quán)重。

非線性約束條件式（5）～（8）和邊界條件式（9）與式（10）可以改寫(xiě)為

其中：χx和χu為新的狀態(tài)量與控制量邊界條件；N為預(yù)測(cè)時(shí)域；Ms，Mv和Mr為約束條件的相關(guān)系數(shù)矩陣。

由于實(shí)際著陸任務(wù)的剩余飛行時(shí)間逐漸減少，若其小于模型預(yù)測(cè)周期，則本文的性能指標(biāo)將失去價(jià)值。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，采用如下公式計(jì)算剩余飛行時(shí)間

該方程的唯一正實(shí)解即為剩余飛行時(shí)間，式中：v和r分別為著陸器的速度矢量和位置矢量；g為海平面重力加速度矢量；tgo為著陸器距離完成著陸任務(wù)的剩余飛行時(shí)間。

4.2 模型預(yù)測(cè)控制流程

利用模型預(yù)測(cè)控制方法實(shí)現(xiàn)火星精確著陸任務(wù)的完整計(jì)算步驟可以用圖 3的流程圖來(lái)表示。

圖3 模型預(yù)測(cè)控制算法流程圖Fig.3 Flowchart of model predictive control algorithm

1）在亞音速降落傘進(jìn)入階段的末段選取合適的著陸地點(diǎn)。

2）利用著陸器的位置矢量和速度矢量帶入方程（32）求解參考的剩余飛行時(shí)間。如果剩余飛行時(shí)間小于預(yù)先設(shè)定的預(yù)測(cè)時(shí)域N，則將預(yù)測(cè)時(shí)域設(shè)為剩余飛行時(shí)間，否則保持預(yù)測(cè)時(shí)域不變。

3）利用著陸器當(dāng)前的狀態(tài)根據(jù)式（17）、（18）和式（23）計(jì)算本次預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的系統(tǒng)方程矩陣A3、B3和C3。

4）利用優(yōu)化軟件計(jì)算出在本次預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)滿足約束條件并使性能指標(biāo)J最小的控制序列。

5）將控制序列中的第一項(xiàng)控制量作為實(shí)際控制施加給系統(tǒng)。

6）跳轉(zhuǎn)到第二步開(kāi)始循環(huán)直到著陸器在預(yù)先選定的著陸地點(diǎn)完成軟著陸。

5 數(shù)學(xué)仿真結(jié)果與分析

不失一般性，為驗(yàn)證本文所提出的MPC方法的正確性和高效性，在本節(jié)中給出了考慮約束的火星自主精確著陸問(wèn)題的數(shù)學(xué)仿真。MPC算法是利用MATLAB中的fmincon函數(shù)求解控制量的，其中函數(shù)采用默認(rèn)設(shè)置。

著陸點(diǎn)選取在參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)軟著陸要求著陸器的終端速度與終端位置為零。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)為可測(cè)并且不存在測(cè)量誤差?；鹦侵懫鞯某跏紖?shù)在表 1中給出。

表1 火星著陸器參數(shù)Table 1 Mars lander parameters

系統(tǒng)的非線性約束和狀態(tài)界限約束的參數(shù)在表 2中給出。

表2 約束及狀態(tài)界限參數(shù)Table 2 Constraints and state bounds parameters

在仿真中，采樣時(shí)間間隔為Δt=1，預(yù)測(cè)時(shí)域設(shè)為8。值得注意的是狀態(tài)量與控制量的加權(quán)矩陣Q′和R′的選取十分重要，因?yàn)樗鼈兛梢员苊庥蔂顟B(tài)量與控制量量級(jí)差異帶來(lái)的舍入誤差，其選取相當(dāng)于對(duì)2個(gè)量進(jìn)行無(wú)量綱化處理。圖 4～7分別為針對(duì)考慮所有前述非線性約束和邊界約束情況下的火星定點(diǎn)精確著陸問(wèn)題采用本文提出的模型預(yù)測(cè)控制律所得出的著陸器的位置、速度、發(fā)動(dòng)機(jī)推力和質(zhì)量變化曲線。

由圖 4可知著陸器的終端位置為與地面固連坐標(biāo)系的原點(diǎn)，說(shuō)明著陸器在動(dòng)力下降段末端精確的著陸在預(yù)定的著陸地點(diǎn)。

由圖 5可知著陸器的終端速度為零，說(shuō)明著陸器在90 s時(shí)實(shí)現(xiàn)了軟著陸。

圖4 火星著陸器位置變化曲線Fig.4 Position of Mars lander

圖5 火星著陸器速度變化曲線Fig.5 Velocity of Mars lander

圖6 火星著陸器推力變化曲線Fig.6 Thrust of Mars lander

圖7 推力幅值變化曲線Fig.7 Magnitude of thrust

圖6為著陸器在著陸過(guò)程中的推力曲線，其中小的尖峰是由約束條件引起的，從圖中可知x、y軸的推力在末端時(shí)刻已經(jīng)為零而z軸始終存在推力，這是由于重力加速度的存在而引起的，若著陸器的位置為零可以采用關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的方法實(shí)現(xiàn)著陸。值得說(shuō)明的是速度曲線5和有限推力發(fā)動(dòng)機(jī)推力曲線6在著陸末端的突變是由權(quán)重矩陣Q′和R′的切換造成的，其目的是加快收斂速度同時(shí)達(dá)到節(jié)省燃料的目的。

圖7為在整個(gè)著陸階段發(fā)動(dòng)機(jī)提供的推力幅值變化曲線，從圖中可知整個(gè)過(guò)程的推力幅值小于預(yù)先設(shè)定的最大發(fā)動(dòng)機(jī)推力幅值Tmax，這說(shuō)明所提的發(fā)動(dòng)機(jī)推力幅值約束得到滿足。同時(shí)從圖中可以更為明顯地看出由約束造成的小尖峰以及由參數(shù)切換帶來(lái)的突變。

由圖 8可以計(jì)算出在整個(gè)著陸過(guò)程中的燃料消耗為Δm=391 kg。與文獻(xiàn)[16]進(jìn)行對(duì)比可知采用本文所提的模型預(yù)測(cè)控制律比阿波羅二項(xiàng)式制導(dǎo)律消耗的燃料要少。雖然燃料消耗比最優(yōu)制導(dǎo)律多，但是本文考慮的約束更為貼近實(shí)際著陸情況，這是最優(yōu)制導(dǎo)律無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。

圖8 火星著陸器質(zhì)量變化曲線Fig.8 Mass of Mars lander

圖9為火星著陸器在整個(gè)動(dòng)力下降段過(guò)程中的三維軌跡曲線，從圖中可以看出在整個(gè)著陸過(guò)程中探測(cè)器滿足所述的非線性約束以及狀態(tài)界限約束。

圖9 火星著陸器精確著陸飛行軌跡Fig.9 Overall trajectory of Mars lander’s pinpoint landing

為了證明所提斜坡約束的作用，我們也針對(duì)無(wú)斜坡約束而其他參數(shù)保持不變的情形進(jìn)行了仿真，如圖 10所示。

從圖中可以看出在這種情況下，著陸器在22.7 s時(shí)墜地，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。從圖 11中可以更明顯地看出斜坡約束的作用，這說(shuō)明本文所施加的斜坡約束是正確且必要的，可以保證著陸器的安全著陸。

圖10 無(wú)斜坡約束條件下火星著陸器位置變化曲線Fig.10 Position of Mars lander（without glide slope constraint）

圖11 有無(wú)斜坡約束條件比較Fig.11 With or without glide slope constraint comparasion

為了研究預(yù)測(cè)時(shí)域的作用，每次僅改變預(yù)測(cè)時(shí)域而保持其他參數(shù)不變，進(jìn)行了一系列仿真，仿真結(jié)果如表3所示。

表3 不同預(yù)測(cè)時(shí)域情況下仿真結(jié)果比較Table 3 Different prediction horizon results comparison

從表3中可以看出，隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加，著陸時(shí)間與燃料消耗均逐步減少，看似可以得出更大的預(yù)測(cè)時(shí)域，帶來(lái)更快的收斂時(shí)間以及更少的燃料消耗的結(jié)論。然而，預(yù)測(cè)時(shí)域的增加不僅會(huì)加大計(jì)算量及計(jì)算時(shí)間，而且由于模型預(yù)測(cè)控制的工作機(jī)理為在一次預(yù)測(cè)時(shí)域中將系統(tǒng)的參數(shù)視為不變的常數(shù)，這會(huì)導(dǎo)致所得的控制量與實(shí)際所需控制量有偏差，因此大的預(yù)測(cè)時(shí)域并不一定會(huì)帶來(lái)一個(gè)更好的控制效果，具體的選取要根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)情況決定。

6 結(jié) 論

本文針對(duì)非線性約束存在情況下的火星精確著陸任務(wù)的動(dòng)力下降段提出了一種模型預(yù)測(cè)控制算法。針對(duì)不同情形進(jìn)行的數(shù)學(xué)仿真結(jié)果證明了所提MPC制導(dǎo)律可以考慮斜坡約束、推力方向幅值約束等多種約束，可以實(shí)現(xiàn)避障并具有能量近似最優(yōu)特性。本文提出的MPC控制律不僅可以應(yīng)用于火星著陸也可以應(yīng)用到各種類似的軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題中。

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通信地址：哈爾濱工業(yè)大學(xué)327信箱（150001）

電話：（0451）86413411

E-mail：guoyn@hit.edu.cn

Model Predictive Control Guidance for Constrained Mars Pinpoint Landing

WANG Ting，GUO Yanning，ZHANG Yao，MA Guangfu
（Department of Control Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

This paper investigated an approach to trace a fuel optimal trajectory for Mars pinpoint landing mission with a variety of geometrical constraints.A model predictive control（MPC）approach is designed to minimize the performance index while at the same time keeping the constraints.With the proposed method，the spacecraft can achieve pinpoint landing.To validate the effectiveness of the proposed MPC approach，simulation results are included for illustration.

pinpoint landing；power descent phase；model predictive control；geometrical constraints

V448.233

A

2095-7777(2016)04-0377-7

10.15982/j.issn.2095-7777.2016.04.010

王汀，郭延寧，張瑤，等.基于模型預(yù)測(cè)控制的多約束火星精確著陸制導(dǎo)律研究[J].深空探測(cè)學(xué)報(bào)，2016，3（4）：377-383.

Reference format：Wang T，Guo Y N，Zhang Y，et al.Model predictive control guidance for constrained Mars pinpoint landing [J].Journal of Deep Space Exploration，2016，3（4）：377-383.

郭延寧 （1985- ），男，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：航天器姿態(tài)控制，行星著陸制導(dǎo)與控制。

[責(zé)任編輯：宋宏]

2016-07-28；

2016-08-10

國(guó)家“973計(jì)劃”項(xiàng)目（2012CB720000）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61403103）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014M550195）