菅肖霞,張小寧

(同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海200092)

基于勢函數(shù)場模型的密集人群結(jié)隊(duì)疏散方法

菅肖霞,張小寧*

(同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海200092)

為再現(xiàn)坡度設(shè)施中密集人群的擠壓倒地現(xiàn)象,建立一種勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型.該模型采用耦合行人之間擠壓作用力場的坡度人行設(shè)施勢函數(shù)場作為人群行走方向的“導(dǎo)航圖”.利用模型分析斜坡角度、人群密度與行人擠壓倒地現(xiàn)象之間的作用機(jī)制,提出兩兩結(jié)隊(duì)行走策略可以減少倒地人數(shù).模擬結(jié)果表明采用兩兩結(jié)隊(duì)行走策略時(shí)倒地人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的10%.

勢函數(shù)場;元胞自動(dòng)機(jī);擠壓;倒地;兩人結(jié)伴行走;坡度

1 引 言

近年來,我國舉辦文體娛樂活動(dòng)的規(guī)模和數(shù)量不斷地增加,組織者對于活動(dòng)場所的容量、結(jié)構(gòu)及其周圍的交通條件均有不同程度的需求,因此,改建舊式娛樂活動(dòng)場所,同時(shí)新建大規(guī)模的現(xiàn)代化設(shè)施成為一種發(fā)展趨勢.然而,在改建和新建過程中難免出現(xiàn)新舊設(shè)施出入口過渡區(qū)域不在同一水平面上的情形,需采用坡度出入口設(shè)施進(jìn)行銜接.從而引發(fā)出此類設(shè)施中的安全行走問題,尤其在下坡出入口處,坡度越陡,行人的穩(wěn)定性越差,隨著人群密度的增加,行人之間的推擠作用增強(qiáng),與水平設(shè)施相比,密集人群在該類設(shè)施中更加容易被推倒.

解決上述問題的關(guān)鍵是模擬行人推擠作用過程及擠壓倒地現(xiàn)象,分析行人個(gè)體之間的非線性作用對集群現(xiàn)象的影響,最終提出科學(xué)有效的坡度人行設(shè)施安全疏散方法,即在人群推擠作用力達(dá)到行人個(gè)體可承受的最大推力之前,實(shí)時(shí)對行人行走策略進(jìn)行指導(dǎo),避免個(gè)別行人倒地而引發(fā)一系列踩踏事故.

目前,用于模擬行人運(yùn)動(dòng)的模型主要包括:社會(huì)力模型、連續(xù)流體力學(xué)模型以及元胞自動(dòng)機(jī)模型.社會(huì)力模型[1]是將行人視為有限大小的二維粒子,將行人對周圍環(huán)境的反應(yīng)以及行人與行人之間的各種內(nèi)在動(dòng)機(jī)類比為各種作用力,行人在力的作用下運(yùn)動(dòng),且遵循牛頓第二定律.該模型可以模擬行人流的出口處呈“拱形”擁堵現(xiàn)象、通道中相向行人流的成行現(xiàn)象、瓶頸口處相向行人流的振蕩現(xiàn)象、交叉行人流的成帶現(xiàn)象以及“時(shí)走時(shí)?！爆F(xiàn)象等不同的行人流自組織現(xiàn)象[2,3].此類模型的優(yōu)勢在于充分考慮行人個(gè)體之間的作用力,缺點(diǎn)是由此而造成的模型計(jì)算復(fù)雜度高.行人流連續(xù)流體力學(xué)模型[4-6]將行人群體假設(shè)為均勻連續(xù)流體介質(zhì),每個(gè)行人類比為具有相同特性的流體質(zhì)點(diǎn),采用可壓縮流體力學(xué)方程組,描述行人流的速度、密度、流量這類宏觀物理量之間的關(guān)系.該模型不能直接描述行人個(gè)體之間的微觀相互作用.行人流元胞自動(dòng)機(jī)模型[7,8]是在具有離散且有限狀態(tài)的元胞空間和離散時(shí)間段上,按照一定的局部規(guī)則更新整個(gè)區(qū)域中的元胞狀態(tài),模擬人群運(yùn)動(dòng)變化過程的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).此類模型中發(fā)展較為顯著的是Burstedde等[8]提出的地場元胞自動(dòng)機(jī)模型,模型將地場作為行人運(yùn)動(dòng)的虛擬“導(dǎo)航圖”,行人的行走規(guī)則依據(jù)靜態(tài)地場耦合動(dòng)態(tài)地場來確定,其中靜態(tài)地場表征行人出發(fā)地與目的地距離,動(dòng)態(tài)地場表征行人之間的相互作用.此類模型計(jì)算復(fù)雜度低,可以直接描述行人個(gè)體之間的微觀作用力,再現(xiàn)擁堵現(xiàn)象、瓶頸效應(yīng)、出口處成拱現(xiàn)象、從眾效應(yīng)以及自組織成行現(xiàn)象等典型的行人流特征,是后續(xù)發(fā)展行人流模型的基礎(chǔ)之一.

在地場元胞自動(dòng)機(jī)模型的基礎(chǔ)上,大量的研究工作集中于從行人行走路徑選擇角度改進(jìn)地場計(jì)算方法[9-11];從復(fù)雜場景中行人運(yùn)動(dòng)行為角度擴(kuò)展地場模型,模擬具有不同轉(zhuǎn)角長廊中的疏散[12,13],多出口疏散[14]以及地鐵站內(nèi)交織行人流的發(fā)展過程[15];研究行人流在具有坡度出入口設(shè)施中的擠壓作用[16];考慮偏向行走[17,18]、行人可視度的變化對行人運(yùn)動(dòng)過程的影響[12,19];行人結(jié)伴行為對于行人流疏散時(shí)間的影響[20,21]等.另外,還有結(jié)合連續(xù)流體力學(xué)模型、社會(huì)力模型和元胞自動(dòng)機(jī)模型優(yōu)勢而發(fā)展的混合模型.宋衛(wèi)國等[22]以社會(huì)力模型為參考,在元胞自動(dòng)機(jī)模型中考慮行人之間的擠壓、排斥作用力.Zhang等[23]結(jié)合行人流連續(xù)模型中的行人選擇沿所需行走費(fèi)用減少最快的方向行走的策略,提出勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型.

綜上所述,研究具有斜坡出入口人行設(shè)施中的行人流問題以及相關(guān)管理措施的工作較缺乏.另外,行人結(jié)隊(duì)行走方式較為普遍,是行人自發(fā)增加抗壓能力的可行性措施,但是目前已有的研究工作[20,21,24]將其作為影響人群流量的行人特征,未考慮到結(jié)隊(duì)行走方式在抵抗推擠作用中的有效性.本文將研究具有坡度人行設(shè)施中,過度擁堵人群擠壓倒地現(xiàn)象的成因,以及探究通過何種結(jié)隊(duì)行走的方式自發(fā)增加抗壓能力,避免群體性擠壓倒地踩踏事故的發(fā)生.

在正常情況下,行人都具有一定的認(rèn)知能力,在密集區(qū)域時(shí),行人之間的空余空間較少、身體接觸較多,行人不能按照其自身的意愿移動(dòng)到渴望的位置,行走舒適度降低.行人認(rèn)為只要將其前方行人推走,其本身即可盡快到達(dá)目的地,從而遠(yuǎn)離不舒適的擁擠區(qū)域.因此,每個(gè)行人產(chǎn)生推力,推力由一個(gè)行人傳遞給另一個(gè)行人,隨著時(shí)間的增加,前面的行人承受其后方人群的聚集推力.行人在聚集力作用下,擁擠程度增加,形成密集度越大推擠力越大的惡性循環(huán);聚集擁堵現(xiàn)象長時(shí)間得不到解決,體弱者將窒息倒地,必然引起人群恐慌,最終造成嚴(yán)重的踩踏事故.針對這類安全隱患,在前期工作[16]的基礎(chǔ)上,通過量化行人之間的推壓作用力,簡化模型規(guī)則,建立耦合坡度影響的費(fèi)用勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型,模擬高密度行人流的過度擁擠、倒地現(xiàn)象,探究行人之間的微觀作用機(jī)理.

考慮到行人在高密度擁擠的情況下,從眾心理更加明顯,組織管理者穩(wěn)定的情緒、鎮(zhèn)靜的行為可以有效對抗人群的不安和恐慌.本文充分利用人群與組織管理者博弈過程中的從眾心理作為安全管理設(shè)計(jì)的前提,提出實(shí)時(shí)指導(dǎo)行人采用兩人結(jié)隊(duì)行走的方式自行減除倒地現(xiàn)象的發(fā)生.將兩人結(jié)隊(duì)行走措施量化為參數(shù)形式,引入建立的模型,定量地研究兩人結(jié)隊(duì)行走措施的有效性.

2 耦合擠壓作用力場的勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型

本文研究在具有坡度人行設(shè)施中行人流的安全疏散問題.考慮到正常情況下行人具有一定的認(rèn)知能力,本文采用連續(xù)模型中行人移動(dòng)方向選擇的最優(yōu)路徑策略,即行人沿時(shí)間花費(fèi)最少的路徑到達(dá)目的地,也就是沿時(shí)間費(fèi)用勢函數(shù)的負(fù)梯度方向移動(dòng).選用這一最優(yōu)路徑選擇策略,可以減少行人在選擇目標(biāo)位置時(shí)的盲目性和隨機(jī)性,提高元胞自動(dòng)機(jī)模型在模擬正常情況下的可行性,同時(shí)提高模型的計(jì)算效率.加之,行人之間的推擠作用是形成行人擠壓踩踏現(xiàn)象的重要原因,因此,本文也結(jié)合社會(huì)力模型中描述行人與外界環(huán)境、行人個(gè)體之間的相互作用方式,量化行人個(gè)體之間的擠壓作用力,建立耦合擠壓作用力場的勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型.本節(jié)主要闡述擠壓作用力場耦合受坡度影響的費(fèi)用勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型的構(gòu)造過程,其中包括具有坡度影響的費(fèi)用勢函數(shù)場、行人之間相互擠壓作用力場以及模型的更新規(guī)則和安全行走方法的構(gòu)造.

圖1 有坡度行人設(shè)施示意圖Fig.1 Illustration of the walking domain with a ramp

圖2 (a)一個(gè)被占據(jù)的元胞(0,0)及其8個(gè)鄰居;(b)相應(yīng)的移動(dòng)概率Fig.2 (a)An occupied cell(0;0)and its eight neighboring cells;and(b)the corresponding probabilities

2.1 具有坡度影響的勢函數(shù)場

模型中的勢函數(shù)場是行人運(yùn)動(dòng)的“導(dǎo)航圖”,行人沿費(fèi)用勢減小的方向移動(dòng),由于行人移動(dòng)區(qū)域并非平面區(qū)域,為了計(jì)算該區(qū)域上的勢函數(shù)場值,在時(shí)刻t,首先,將區(qū)域拉伸為平面區(qū)域Ω,Ω的出口同為Γ1,平面區(qū)域Ω與三維區(qū)域的子區(qū)域C重疊.均勻劃分區(qū)域Ω,保持平面區(qū)域Ω與三維區(qū)域的元胞大小和個(gè)數(shù)均一致.在Ω上,計(jì)算勢函數(shù)場φ(x,y,t),其中(x,y)表示元胞位置;其次,引入坡度系數(shù)ω(x,y,θ)對φ(x,y,t)進(jìn)行重構(gòu),得到含坡度區(qū)域上的勢函數(shù)場(x,y,t,θ).具體求解步驟如下.

1)求解平面區(qū)域Ω上的勢函數(shù)

假設(shè)τ(x,y,t)≥0為費(fèi)用分布函數(shù),即單位距離上的時(shí)間費(fèi)用,在固定時(shí)刻t,平面行走區(qū)域Ω中任意位置(x,y)的勢函數(shù)φ(x,y,t)是關(guān)于費(fèi)用分布函數(shù)τ(x,y,t)的泛函,行人從(x,y)到某個(gè)目的地位置(x0,y0)∈Γ1的總費(fèi)用為

在式(1)中,將(x,y)到(x0,y0)的積分路徑表示為單位向量(x′(s),y′(s))指向積分方向.為了便于說明,不妨將位置(x0,y0)完全等同于集合Γ1.

根據(jù)場論中積分與原函數(shù)之間的關(guān)系,要保證勢函數(shù)φ(x,y,t)為單值函數(shù),只需假設(shè)式(1)的積分與路徑無關(guān),即要求φ(x,y,t)滿足條件

由此可得Eikonal方程

而且,方程(1)的可積性暗含φ(x0,y0,t)=0,(x0,y0)∈Γ1,是方程(3)的邊界條件.因此,當(dāng)假設(shè)φ(x,y,t)≥0時(shí),Eikonal方程邊值問題的解存在唯一,詳細(xì)證明可參考文獻(xiàn)[23].

以上理論推導(dǎo)表明,在固定時(shí)刻t,任何位置(x,y)處行人在無推擠作用力的情況下,渴望的移動(dòng)方向?yàn)榇送?費(fèi)用分布函數(shù)τ(x,y,t)滿足[5,23,27]τ(0)=1,τ′(ρ)＞0,0≤ρ≤1,ρ=ρ(x,y,t)為密度分布函數(shù),這里采用以(x,y)為中心,包含至少25個(gè)元胞的子區(qū)域上的平均密度作為(x,y)處的密度.方程(3)在滿足邊界條件φ(x0,y0,t)=0, (x0,y0)∈Γ1下的解可采用快速步進(jìn)法[28]求得.

采用φ(x,y,t)乘以坡度系數(shù)ω(x,y,θ),重構(gòu)有坡度區(qū)域上的勢函數(shù)(x,y,t,θ),即

其中

由ω(x,y,θ)的表達(dá)式(5)可知,利用ω(x,y,θ)≥1將平面上的勢函數(shù)φ(x,y,t)放大為三維區(qū)域上的勢函數(shù)(x,y,t,θ),其充分反映坡度對于勢函數(shù)值的強(qiáng)烈影響作用;ω(x,y,θ)定義為坡度角θ∈[0°,90°)的增函數(shù),表明坡度角越大,受坡度影響的區(qū)域A和區(qū)域B上的勢函數(shù)值變化越大;注意到,當(dāng)取定坡度角θ時(shí),ω(x,y,θ)在子區(qū)域A和區(qū)域C上的值不同,事實(shí)上,盡管子區(qū)域A和區(qū)域C都是平面區(qū)域,但是它們位于不同的水平面上,坡度系數(shù)取值不同表示兩個(gè)子區(qū)域有高度差,區(qū)域A受到坡度的影響,其ω(x,y,θ)值大于1,相反地,區(qū)域C位于最低的水平面上,其ω(x,y,θ)為常數(shù)1,不受坡度角的影響.此外,(x,y,t,θ)和φ(x,y,t)具有相容性,即當(dāng)θ=0°時(shí),(x,y,t,θ)=φ(x,y,t).

2.2 擠壓作用力場

當(dāng)行人處于密集人群時(shí),每個(gè)行人被周圍行人包圍.在這種情況下,行人渴望盡快到達(dá)目的地,因此,行人有意識(shí)的推擠其前方行人,從而造成擠壓作用力的聚集增加.本小節(jié)通過引入聚集推力場模擬密集人群中行人之間擠壓力的作用效果.

在時(shí)刻t,當(dāng)位置(x,y)處行人的無量綱密度為ρ(x,y,t)=1時(shí),(x,y)處行人的周圍沒有空位置, (x,y)處行人所產(chǎn)生推力的大小為

這里的推力大小f(x,y,t)并非真實(shí)行人推力的大小值,只反映推力的作用效果,表明行人所在位置的費(fèi)用勢對行人所產(chǎn)生推力的影響程度.由式(6)可知,f(x,y,t)是勢場值(x,y,t,θ)的減函數(shù),可以驗(yàn)證這是合理的假設(shè),事實(shí)上,當(dāng)行人走到目的地附近時(shí),其所在位置處的費(fèi)用值遠(yuǎn)比區(qū)域中的最大費(fèi)用值小,此時(shí),行人具有更強(qiáng)的動(dòng)力去推擠其前方的行人;相反地,當(dāng)行人當(dāng)前的位置與目標(biāo)位置相差很遠(yuǎn)時(shí),行人清楚地知道其周圍行人的分布狀況,推擠其他行人對于其盡快到達(dá)目的地的作用效果較小,因此,其產(chǎn)生的推力較小.由于行人產(chǎn)生推力是為了使其自身盡快到達(dá)目的地,推力的方向?yàn)檠刭M(fèi)用勢(x,y,t,θ)減少最快的方向,即l(x,y,t)=(l1,l2)=-(x,y)/‖?‖,由此可得,在時(shí)刻t,(x,y)處行人所產(chǎn)生的推力為f(x,y,t)=f(x,y,t)l(x,y,t).

Fruin[29]的研究表明,行人產(chǎn)生的推力,由于行人之間的身體接觸,被不斷地由一個(gè)行人傳遞給另一個(gè)行人,本文將采用疊加每個(gè)時(shí)間步每個(gè)行人承受推力的方式模擬推力的傳遞和聚集過程.采用fadd(x,y,t)表示時(shí)刻t,在位置(x,y)處增加的推力,當(dāng)(x,y)被行人占據(jù),且其為另一個(gè)行人的渴望位置時(shí),(x,y)處行人承受的推力fadd不為零,具體地來說,若(x,y)的某個(gè)鄰居位置(,)被行人占據(jù),且此行人的渴望移動(dòng)方向?yàn)閘(,,t)=(x-,y-),(,)處行人產(chǎn)生的推力為f(,,t),此時(shí)推力f(,,t)被施加于(x,y)處行人身上,因此增加推力fadd(x,y,t)的大小為f(,,t),方向沿l(,,t);否則,fadd=0.

因此,時(shí)刻t,元胞(x,y)處行人承受的聚集推力為t-1時(shí)刻的聚集推力與增加的推力fadd(x,y,t)的向量和.聚集推力向量場F(x,y,t)定義為

式(7)中第一個(gè)等號(hào)右端第一項(xiàng)表明隨著時(shí)間的不斷增加,推力的聚集過程;第二項(xiàng)表明每個(gè)時(shí)間步推力從一個(gè)行人到另一個(gè)行人身上的傳遞過程.式中F1(x,y,t)和F2(x,y,t)分別為F(x,y,t)沿x和y方向的分量,為了便于表述,采用‖F(xiàn)(x,y,t)‖=((F1(x,y,t))2+(F2(x,y,t))2)1/2表示F(x,y,t)的大小.

在密集型人群中,行人在力的作用下被推動(dòng)前進(jìn),當(dāng)行人累積承受的推力‖F(xiàn)(x,y,t)‖超過其可以忍受的最大力度（臨界值）時(shí),行人可能會(huì)被推倒而受傷,此時(shí)受傷的行人將無法繼續(xù)移動(dòng).記F*(x,y,t)表示臨界值,注意到每個(gè)行人可承受的最大力度不同,若行人自身產(chǎn)生的推力大,則相應(yīng)地其可承受的力度也會(huì)變大,因此假設(shè)F*(x,y,t)是每個(gè)行人可產(chǎn)生推力大小f(x,y,t)的增函數(shù);另外,坡度角的大小也會(huì)影響行人可承受的力度,顯然地,當(dāng)行人占據(jù)的位置越陡峭,行人越容易被推倒,可承受力度的臨界值越小.綜上,臨界值F*(x,y,t)為

其中

從β的定義可知,β是坡度角θ的減函數(shù),若θ=0°,β取到最大值,這表明在平坦的行走區(qū)域中,行人不容易被推倒,而隨著θ增大,β減小,行人容易被推倒.顯然地,該臨界值的定義不是唯一的,可以針對不同的場景,而采用不同的形式來深入研究人群動(dòng)態(tài).

為了避免行人承受的推力超過其臨界值時(shí),行人被推倒,本文采用在單個(gè)行人承受的推力將達(dá)到其臨界值之前,指導(dǎo)其與同排的左或右單個(gè)行人采取手挽手的方式增加自身承受力.考慮到并排多人成組對于行人疏散流量的影響較大,本文只考慮兩人成組的情形.具體來說,分組時(shí)(x,y)處行人需要滿足的條件和措施為:(a)時(shí)刻t,(x,y)處行人不屬于任何小組;(b)(x,y)處行人承受的推擠力滿足γF*(x,y,t)＜‖F(xiàn)(x,y,t)‖＜F*(x,y,t),其中結(jié)隊(duì)參數(shù)γ∈(0,1)確保在行人被推倒之前采用安全結(jié)隊(duì)行走措施;(c)(x,y)處行人可以與同排左右鄰居中一個(gè)沒有結(jié)伴的行人(,)手挽手,若兩個(gè)鄰居都為單個(gè)行人,則等概率選擇其中之一;(d)(x,y)與其結(jié)伴的行人(,)形成兩人小組,行走過程中視為一個(gè)整體; (e)當(dāng)單個(gè)行人左右鄰居都有各自小組,若(x,y)處行人左或右邊鄰接墻壁,該處行人可以采用扶墻的方式,否則,此行人將繼續(xù)獨(dú)自行走.

2.3 模型更新規(guī)則

從以上兩節(jié)的討論可知,在方程(3)中,引入預(yù)先設(shè)定的費(fèi)用分布函數(shù)τ(x,y,t),利用數(shù)值方法求得方程(3)的數(shù)值解,并將解代入式(4),得到費(fèi)用勢場(x,y,t,θ);而采用式(7)可以計(jì)算得到聚集力場F(x,y,t).下面將利用這兩個(gè)場確定模型規(guī)則:一方面利用勢函數(shù)場值,結(jié)合比較聚集推力‖F(xiàn)(x,y,t)‖和臨界值F*(x,y,t)的大小,確定行人可移動(dòng)方向上的概率或行人被推倒受傷的概率,從而確定行人位置的更新規(guī)則;另一方面考慮到需要增加行人的抗擠壓能力避免倒地事故發(fā)生,將每兩個(gè)行人采用手挽手的措施量化為模型規(guī)則,從而定量地得出行人安全行走的位置更新規(guī)則.

本文在有無安全措施的兩種情況下,均采用隨機(jī)串行更新規(guī)則,即在每個(gè)時(shí)間步將所有行人隨機(jī)排序.采用此類隨機(jī)串行序列更新規(guī)則的優(yōu)點(diǎn)是既從統(tǒng)計(jì)角度保證每個(gè)行人具有同等的優(yōu)先權(quán),又不必解決并行更新規(guī)則中行人位置沖突問題,又不影響模型再現(xiàn)行人運(yùn)動(dòng)規(guī)律.每個(gè)時(shí)間步將所有行人隨機(jī)排序后,利用勢函數(shù)場和聚集力場依次計(jì)算行人移動(dòng)概率,確定行人移動(dòng)方向,再利用移動(dòng)后行人的新位置分布,更新勢函數(shù)場和擠壓作用力場,直至可移動(dòng)行人離開行走區(qū)域或達(dá)到總計(jì)算時(shí)間.令(0,0)表示未受傷單個(gè)行人所占的元胞,從時(shí)刻t到t+1,行人位置更新規(guī)則、安全行走更新規(guī)則以及相應(yīng)情形下聚集力傳遞過程的數(shù)學(xué)表述如下.

2.3.1 無安全措施情況下,行人的位置更新規(guī)則

1)行人位置隨機(jī)排序:在時(shí)刻t,將所有行人位置隨機(jī)排序的算法過程為

(a)記t時(shí)刻未受傷行人總數(shù)為Nt,顯然,

(b)行人在t時(shí)刻的位置是確定的,所有人的位置集合記為

(c)將標(biāo)號(hào)序列{1,2,....,Nt},隨機(jī)重新排序后,得到行人的更新順序.

其中(i,j)∈S0,0={(i,j)|(i,j)為空,且|i-0|≤1,|j-0|≤1,(i,j)/=(0,0)},δi,j(0)≡((i,j)-(0,0))/di,j表示差商,di,j表示元胞(i,j)與(0,0)之間的距離;集合Sm的定義為Sm={(i,j)|δi,j(0)=,且表示集合Sm的元素個(gè)數(shù).

其中rinjured是一個(gè)概率數(shù),等概率取值0或1.此值可視為外界對于行人倒地的干擾因素,即當(dāng)行人承受的擠壓作用力超過其可承受的臨界值時(shí),行人可能倒地也可能不倒地.倒地時(shí),位置(0,0)處行人以概率受傷倒在位置(i,j),若(i,j)/=(0,0),該行人倒在一個(gè)空位置上,此位置位于此行人受到的聚集推力的方向上;否則,該行人將倒在原位置.

2.3.2 考慮安全措施情況下,行人的位置更新規(guī)則

1)行人位置隨機(jī)排序:在時(shí)刻t,將每個(gè)兩人小組作為一個(gè)整體,對所有單獨(dú)行人和兩人小組隨機(jī)排序,算法的實(shí)現(xiàn)過程與2.3.1節(jié)中的1)同理.

2)行人兩兩結(jié)隊(duì)規(guī)則

(a)本文行人總體的行走趨勢為向左,行人面向左,(0,0)同排鄰居行人的位置為(1,0)和(-1,0),參照圖2(b)所示的位置標(biāo)記,記與(0,0)處行人結(jié)伴行人的位置記為,其定義為

(b)支撐力大小更新為

(c)重新計(jì)算臨界值,即

(i,j)∈表示小組的差商;集合的定義為表示集合的元素個(gè)數(shù).

倒地行人被作為固定障礙物排除在移動(dòng)系統(tǒng)之外,其受到的推力歸0;若小組成員之一倒地,另一行人將單獨(dú)行走,承受力恢復(fù)為其單獨(dú)時(shí)的承受力.

圖3 采用安全措施規(guī)則2.3.2的兩兩行人結(jié)隊(duì)方式示意圖Fig.3 Diagrammatic sketch of two-people-together strategy using rules 2.3.2

2.3.3 擠壓作用力場的傳遞規(guī)則

當(dāng)t=0時(shí),(0,0)處行人承受聚集力的初始值為0,即從時(shí)刻t到t+1,按照規(guī)則2.3.1或2.3.2,每個(gè)行人得到了更新位置,而且此位置唯一,不妨設(shè)(0,0)處行人的最終更新位置為(i*,j*),該行人在時(shí)刻t+1,或移動(dòng)到此位置,或倒在此位置,此時(shí),(0,0)處行人承受的聚集力也將跟隨行人移動(dòng)到新位置(i*,j*)處,聚集擠壓力的傳遞過程為

以上為本文模型的更新規(guī)則和算法步驟,其計(jì)算與模擬過程均采用MATLAB語言編程實(shí)現(xiàn).

3 倒地現(xiàn)象模擬

本節(jié)將采用規(guī)則2.3.1模擬再現(xiàn)無安全措施情況下,人群在具有坡度設(shè)施中的擠壓倒地現(xiàn)象.模型參數(shù)設(shè)置如下:行走區(qū)域的尺寸為LA=20,LB=5,LC=4,WA=WB=WC=6;費(fèi)用分布函數(shù)取為[16,23]

其中g(shù)0=0.075,ξ=2.考慮到受傷倒地行人無法移動(dòng)且阻礙未受傷行人前進(jìn),以下每次模擬運(yùn)算的結(jié)束條件為人行設(shè)施中無可前進(jìn)行人,且總時(shí)間不超過100個(gè)時(shí)間步.另外,理論上斜坡角度θ的取值范圍是[0°,90°),但實(shí)際中常見的坡度設(shè)施的角度最大約為35°,因此,模擬中采用的最大坡度角均為35°.為了減少模型中概率數(shù)對于模擬結(jié)果的影響,模擬數(shù)據(jù)均采取10次模擬結(jié)果的平均值.

圖4 采用無安全措施規(guī)則2.3.1的模型模擬得到的行人疏散過程截圖(ρ0=1,θ=10°)Fig.4 Evacuation process simulated by the proposed model using rules 2.3.1 without the safe strategy(ρ0=1,θ=10°)

圖5 采用無安全措施規(guī)則2.3.1的模型模擬得到的行人疏散過程截圖(ρ0=1,θ=35°)Fig.5 Evacuation process simulated by the proposed model using rules 2.3.1 without the safe strategy(ρ0=1,θ=35°)

無安全措施情形下,具有坡度人行設(shè)施中行人疏散過程的截圖（拉伸在二維平面上）如圖4及圖5所示,其中每4個(gè)子圖分別為時(shí)刻(a)t=0;(b)t=5;(c)t=10;(d)t=19相應(yīng)的截圖.圖4與圖5中的坡度角分別為θ=10°和θ=35°,初始行人密度均為ρ0=1,即實(shí)際密度為6.25ped/m2,區(qū)域A和區(qū)域B中此時(shí)共有150人.圖4(a)～4(d)表明在坡度較小時(shí),行人可以保持安全行走無倒地現(xiàn)象發(fā)生;而圖5(a)～5(d)再現(xiàn)人群在坡度較大設(shè)施中的擠壓倒地現(xiàn)象.高密集人群聚集于具有較大坡度設(shè)施中,行人渴望盡快到達(dá)目的地,在無法順利前進(jìn)的情況下,行人之間的推擠作用增強(qiáng);且受坡度影響,行人的穩(wěn)定性減弱,當(dāng)前方行人無法承受巨大的推擠作用力倒地時(shí),人群中出現(xiàn)“多米諾”效應(yīng),后方行人瞬間失去支撐,而相繼倒地,最終導(dǎo)致大量行人倒地.另外,從圖5(d)展示的模擬結(jié)果可知,在t=19之后,人群分布將保持在t=19時(shí)的狀態(tài),大部分行人被推倒,人群后方的幾個(gè)行人盡管未受傷,但是其周圍均被受傷行人占據(jù),也將無法移動(dòng),疏散過程被迫中斷.

本節(jié)直觀地再現(xiàn)出密集型人群在不同的坡度條件下的疏散過程,以及不同程度的倒地現(xiàn)象,展現(xiàn)了密集型人群處于坡度人行設(shè)施中的安全隱患.接下來,引入兩兩行人成結(jié)隊(duì)的方式,作為減少倒地現(xiàn)象的安全措施.通過模擬數(shù)據(jù)得到倒地人數(shù)與坡度角大小、初始行人密度之間的函數(shù)關(guān)系,最終分析得出安全措施實(shí)施的最佳時(shí)機(jī).

4 兩人結(jié)隊(duì)行走策略模擬

本節(jié)提出采用兩人結(jié)隊(duì)行走策略,作為引導(dǎo)行人安全疏散、減少倒地現(xiàn)象發(fā)生的方法.為了驗(yàn)證此方法的有效性和可行性,下面將在模型中采用規(guī)則2.3.2,模擬兩人結(jié)隊(duì)行走策略的實(shí)施過程和最佳實(shí)施條件.為了便于比較,模型參數(shù)選用第3節(jié)中的設(shè)置,相應(yīng)于規(guī)則2.3.1和2.3.2,將無安全措施的模型記為模型(I),考慮結(jié)隊(duì)行走措施的模型記為模型(II).

圖6 采用有安全措施規(guī)則2.3.2的模型模擬得到的行人疏散過程截圖(ρ0=1,θ=35°)Fig.6 Evacuation process simulated by the proposed model with safe rules 2.3.2(ρ0=1,θ=35°)

首先,直觀地驗(yàn)證兩人結(jié)隊(duì)措施的可行性.采用模型(II),模擬得到的疏散過程截圖如圖6所示(拉伸在二維平面上).圖6所示結(jié)果均在ρ0=1,θ=35°,γ=0.8的條件下完成.此次模擬結(jié)果表明:人群在坡度角較大的設(shè)施中,當(dāng)行人之間的推擠作用力達(dá)到單獨(dú)行人產(chǎn)生推力的80%(γ=0.8)時(shí),行人便開始自行尋找鄰居行人結(jié)隊(duì),增加自身抵抗擠壓作用力的強(qiáng)度,從而達(dá)到減少倒地危險(xiǎn)的目的.比較模型(I)的模擬結(jié)果圖5與模型(II)的模擬結(jié)果圖6,在相同設(shè)施、相同初始密度條件下,圖6的結(jié)果表明本文所提的兩人結(jié)隊(duì)措施可以減少行人擠壓倒地現(xiàn)象的發(fā)生幾率,與規(guī)則2.3.2的理論分析相吻合.

其次,研究安全措施實(shí)施的最佳條件,并通過比較有無安全措施的模擬結(jié)果,定量地驗(yàn)證兩兩結(jié)隊(duì)措施的可行性和有效性.為了找出高密度人群在不同的坡度設(shè)施條件下,行人承受的推力達(dá)到何值時(shí)采取結(jié)隊(duì)措施更為有效.下面研究在ρ0=1的情形下,坡θ,結(jié)隊(duì)參數(shù)γ以及倒地人數(shù)之間的變化關(guān)系,如圖7所示.該圖表明:當(dāng)θ≤10°時(shí),若γ≤0.5,盡管坡度角比較小,但是行人承受的擠壓力還沒有達(dá)到其倒地臨界值的一半,行人之間過早的采取兩兩結(jié)隊(duì)的措施,在這種情況下,每個(gè)小組行人作為一個(gè)整體前進(jìn),在密集型人群中,同時(shí)找到空目標(biāo)位置的概率要比單個(gè)行人前進(jìn)所需空目標(biāo)位置的概率要小,導(dǎo)致行人流量減少,造成人群擁堵,從而增加了行人之間的擠壓作用,進(jìn)一步引發(fā)少數(shù)行人不能忍受擠壓作用而倒地的現(xiàn)象;相反地,若取γ＞0.5,確保行人在無危險(xiǎn)時(shí),可獨(dú)自承受推擠作用,并正常前進(jìn),行人倒地現(xiàn)象發(fā)生的幾率將降低,此時(shí)的數(shù)據(jù)結(jié)果與圖4所示的圖像結(jié)果一致,即在坡度較小的情況下,行人正常行走不會(huì)發(fā)生倒地現(xiàn)象.當(dāng)θ＞10°時(shí),隨著坡度的增加,行人自身穩(wěn)定性減弱,承受壓力的能力減弱,易被推倒.此時(shí)若盡早的采取兩兩結(jié)隊(duì)的安全措施可以有效地制止倒地現(xiàn)象的發(fā)生,此情況下取γ≤0.5,倒地人數(shù)明顯要少;相反地,若取γ＞0.5,表明沒有及時(shí)采取安全措施,倒地人數(shù)要比前者多.

從宏觀上觀察圖7的發(fā)展趨勢,隨著斜坡角度θ增大,以及結(jié)隊(duì)參數(shù)γ增大,倒地人數(shù)增多,換句話說,斜坡越陡,越早的采取結(jié)隊(duì)措施,可以有效減少倒地人數(shù);斜坡越平坦,盡量使行人保持獨(dú)立行走,保證系統(tǒng)行人流量,可以減少密集人群疏散中的安全隱患.此外,圖7進(jìn)一步表明,只要在行人承受的推擠作用力達(dá)到其自身的承受力之前采取兩兩結(jié)隊(duì)的安全措施,即可制止人群倒地現(xiàn)象中的“多米諾”效應(yīng),大幅度地減少行人倒地人數(shù),即倒地人數(shù)小于15人,占系統(tǒng)總?cè)藬?shù)的10%以下,這與圖5(d)所示的倒地人數(shù)有明顯的差距.

圖7 倒地人數(shù)(Ndd),斜坡角度(θ),結(jié)隊(duì)參數(shù)(γ)之間的關(guān)系.ρ0=1Fig.7 The relationship among the number of injured pedestrians(Ndd),the ramp angles(θ)and the parameters of using small groups(γ).ρ0=1

下面定量地分析產(chǎn)生倒地人數(shù)差距的原因.模擬中,分別采用模型(I)和模型(II),計(jì)算不同初始密度條件下,倒地人數(shù)隨坡度角變化而變化的函數(shù)關(guān)系,結(jié)果如圖8所示.

圖8 倒地人數(shù)(Ndd)與斜坡角度(θ)之間的關(guān)系Fig.8 The relationship between the number of injured pedestrians(Ndd)and the ramp angles(θ)

圖8(a)和圖8(b)分別表示初始密度介于0.5～ 0.7之間和0.8～ 1之間的倒地人數(shù)與坡度角之間的變化關(guān)系.這里模型(II)中結(jié)隊(duì)參數(shù)取為γ=0.8.圖8(a)表明初始密度ρ0≤0.7時(shí),即總?cè)藬?shù)小于0.7(LA+LB)WA=105人,若θ≤20°,兩種模型的倒地人數(shù)為0;若θ≥25°,初始密度ρ0≤0.6時(shí),倒地人數(shù)亦接近于0,ρ0=0.7時(shí),出現(xiàn)少數(shù)人倒地現(xiàn)象;而且隨著坡度增加,倒地人數(shù)也有一定增加,但是不超過10人,小于此時(shí)系統(tǒng)最大人數(shù)的10%.兩模型的變化趨勢接近一致,隨著初始密度增大,坡度增大,行人倒地現(xiàn)象出現(xiàn).相對圖8(a)而言,圖8(b)表明在初始密度ρ0≥0.8時(shí),兩個(gè)模型變化趨勢較明顯:每條曲線表明,初始密度固定的條件下,倒地人數(shù)是坡度的增函數(shù);當(dāng)坡度取定,高密度曲線位于低密度曲線上方,暗含倒地人數(shù)是初始密度的增函數(shù).另外,取定同一初始密度,將模型(I)和模型(II)相應(yīng)的曲線作比較,取定ρ0=0.8,當(dāng)θ≤20°時(shí),模型(I)和模型(II)的倒地人數(shù)均小于5,兩模型的曲線重合,而θ＞20°時(shí),模型(I)的倒地人數(shù)接近于(II)的2倍;當(dāng)ρ=0.9,θ≥15°,或ρ=1,θ≥10°時(shí),受到“多米諾”效應(yīng)的影響,無安全措施的模型(I)再現(xiàn)的倒地人數(shù)急劇增加,最高可達(dá)系統(tǒng)人數(shù)的約90/150=60%,而采取兩兩結(jié)隊(duì)安全措施的模型(II)模擬得到的倒地人數(shù)始終保持在系統(tǒng)人數(shù)的10%以下.

總之,此節(jié)模擬結(jié)果合理地驗(yàn)證了兩兩結(jié)隊(duì)方式在減少倒地現(xiàn)象以及制止人群推擠中的“多米諾”效應(yīng)的可行性和有效性,為進(jìn)一步將兩兩結(jié)隊(duì)方式應(yīng)用于指導(dǎo)實(shí)際人群安全疏散奠定理論基礎(chǔ).

5 結(jié)束語

本文建立了一種勢函數(shù)場元胞自動(dòng)機(jī)模型,同時(shí)考慮行人之間相互擠壓作用力場與受行人設(shè)施坡度影響的勢函數(shù)場.利用所提模型模擬人群在進(jìn)入具有坡度人行設(shè)施時(shí)的擠壓倒地現(xiàn)象,分析斜坡角度、人群初始密度與行人擠壓倒地現(xiàn)象之間的作用機(jī)制;并在模擬現(xiàn)象基礎(chǔ)上,將行人兩兩結(jié)伴行走的機(jī)制引入模型,作為減少行人倒地現(xiàn)象發(fā)生的安全疏散策略,并通過模擬驗(yàn)證該疏散策略的可行性和有效性,定量地分析不同初始密度或不同坡度條件下,安全措施實(shí)行的最佳條件.

盡管本文研究的場景為三維空間上的坡度人行設(shè)施,但是將行人垂直投影在每個(gè)子區(qū)域上,在每個(gè)子區(qū)域上可將行人運(yùn)動(dòng)視為二維問題,忽略了行人的立體結(jié)構(gòu),但并不影響模型描述行人運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.為了可以更加直觀模擬實(shí)際行人運(yùn)動(dòng),將來的研究工作一方面將直接考慮三維空間中行人的運(yùn)動(dòng)特征,并展示三維空間中的行人運(yùn)動(dòng)過程,達(dá)到所見即所得的模擬效果,而不做行人投影和行走區(qū)域拉伸等空間降維處理;另一方面擴(kuò)展所提模型的可模擬范圍,如將模擬應(yīng)用于模擬同時(shí)具有坡度和轉(zhuǎn)角的復(fù)雜人行設(shè)施中的人群疏散過程,考慮行人可視度受到外界照明條件影響下的人群疏散過程,分析不同場景中疏散問題的安全隱患,并提出可行的安全疏散方法,最終在大量理論研究基礎(chǔ)之上,將安全疏散方法應(yīng)用于解決實(shí)際問題.

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Dense crowd grouping evacuation strategy based on potential feld model

Jian Xiaoxia,Zhang Xiaoning*
(School of Economics and Management,Tongji University,Shanghai 200092,China)

A potential feld cellular automata model is proposed to reproduce the pushing down phenomena for crowd evacuation.In this model,the moving direction of the crowd on a domain with a ramp is navigated by combing a pushing force feld within a cost potential feld.In addition,the proposed model is employed to analyze the interaction among the ramp angle,the crowd initial density and the pushing down phenomena. The analysis shows that the two-people-together strategy may decrease the number of pedestrians falling to the ground,and the simulation shows that the percentage is only less than 10%of the pedestrians.

potential feld;cellular automata model;pushing;pushing down;two-people-together;ramp

U491

A

1000-5781(2016)06-0850-13

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.013

菅肖霞(1981–),女,內(nèi)蒙古包頭人,博士,博士后,研究方向:行人交通建模與管理,Email:jianxiaoxia_2000@163.com;

2014-10-09;

2015-03-02.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71531011;71401126;71125004);中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M551460;2015-T80457);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(10247201601164).

*通信作者

張小寧(1975–),男,安徽省安慶人,博士,研究員,教授,研究方向:交通優(yōu)化與管理,Email:cexzhang@#edu.cn.