鄧超凡 伍東凌 陳正想

（中國船舶重工集團(tuán)公司第七一〇研究所，宜昌，443003）

磁梯度張量定位盲點(diǎn)分析

鄧超凡 伍東凌 陳正想

（中國船舶重工集團(tuán)公司第七一〇研究所，宜昌，443003）

針對目前磁性目標(biāo)單點(diǎn)磁梯度張量定位方法受地磁場影響較大的問題，通過對原算法的偏微分推導(dǎo)，提出了一種改進(jìn)磁梯度張量定位方法，并分析了在這種算法在定位過程中可能存在的定位盲點(diǎn)。利用Matlab仿真驗(yàn)證了這種算法的可行性及探測盲點(diǎn)存在的位置與分析的一致性。

磁梯度張量；磁定位；探測盲點(diǎn)；Newton插值

磁梯度張量定位方法具有很多磁總場定位、磁矢量定位方法所沒有的優(yōu)點(diǎn)，如受磁化方向影響小、具有較多的細(xì)節(jié)能夠用于三維定量反演解釋等[1]，在軍事、環(huán)境、資源勘探等方面有著廣闊的應(yīng)用前景[2]。近年來，磁梯度張量探測定位技術(shù)逐漸成為磁測技術(shù)的研究熱點(diǎn)[3-4]。本文主要針對一種單點(diǎn)磁梯度張量定位算法的探測盲點(diǎn)進(jìn)行分析，提出了一種在實(shí)際探測過程中的修正方法，并通過仿真驗(yàn)證了這種方法的可行性。

1 改進(jìn)的探測方法

1.1 磁梯度張量定位算法

磁場是一個(gè)矢量場，其3分量Bx、By、Bz在空間3個(gè)方向的變化率即為磁梯度張量，包括9個(gè)要素，表達(dá)式為

由文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)出磁偶極子的位置信息與單點(diǎn)所測量的磁場矢量及磁張量之間的線性關(guān)系：

由式（2）可知，在已知某點(diǎn)處磁張量的九個(gè)要素及相應(yīng)的磁偶極子所產(chǎn)生的三分量磁場值就可得到磁偶極子的位置信息，如式（3）所示：

式（3）為單點(diǎn)磁張量定位算法，已知單一觀測點(diǎn)的目標(biāo)磁場和磁梯度張量可實(shí)現(xiàn)磁性目標(biāo)定位。

但是在實(shí)際測量中，目標(biāo)磁場估計(jì)值B會(huì)包含地磁場的測量誤差。由于地磁場的大小為幾萬nT，而目標(biāo)磁場的大小一般為幾百nT，因此在地磁場遠(yuǎn)大于目標(biāo)磁場的情況下，較小的地磁場測量相對誤差也會(huì)給目標(biāo)磁場的估計(jì)值B帶來較大影響[5]，進(jìn)而給單點(diǎn)磁梯度張量的定位帶來較大誤差。

1.2 磁梯度張量定位改進(jìn)算法

將式（2）寫成方程組的形式，并對方程組等號兩邊分別對z求偏導(dǎo)，可得

式（4）可簡化表示為

式（6）就是基于磁梯度張量定位的改進(jìn)算法，由于磁體的尺寸越大，其磁場的二階和三階張量越小，所以地球作為一個(gè)尺寸巨大的磁體，與一般磁性目標(biāo)相比，其二階和三階張量遠(yuǎn)小于目標(biāo)磁場的二階和三階張量，因此地磁場對改進(jìn)定位算法中變量的影響很小，所以該改進(jìn)定位算法不受地磁場影響。

2 磁梯度張量探測盲點(diǎn)分析

對于磁梯度張量定位算法，上述理論分析都是在假設(shè)磁梯度張量對z的偏導(dǎo)可逆的情況下進(jìn)行的。當(dāng)不可逆時(shí)，在以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的定位公式（6）是不存在的。這樣使得磁梯度張量對z的偏導(dǎo)不可逆的奇異點(diǎn)稱之為磁梯度張量探測定位盲點(diǎn)，簡稱探測盲點(diǎn)。

進(jìn)一步地分析可以得出，探測盲面實(shí)際上是兩個(gè)經(jīng)過磁偶極子，并且垂直或平行于磁矩矢量的平面，于是當(dāng)時(shí)，探測盲面在以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的一般方程為：

3 磁梯度張量探測盲點(diǎn)仿真

為了驗(yàn)證探測盲點(diǎn)或者探測盲面的存在，需要選定磁偶極子在某個(gè)位置不變，利用磁探測系統(tǒng)對其進(jìn)行探測，此時(shí)可以建立以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系，而磁探測系統(tǒng)在磁偶極子上方的某個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，利用公式（6）可以計(jì)算出磁探測系統(tǒng)相對于磁偶極子原點(diǎn)的位置坐標(biāo)，由相對性可得磁偶極子相對于磁探測系統(tǒng)的位置坐標(biāo)。這里在仿真時(shí)，以磁探測系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)位置坐標(biāo)為準(zhǔn)，即求解的是磁探測系統(tǒng)在以磁偶極子為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

探測盲點(diǎn)的仿真步驟如下：（1）選取以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖1所示。（2）在磁偶極子上方某一高度h處，選擇一個(gè)平面為磁探測系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平面。（3）將磁探測系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平面進(jìn)行離散化，離散點(diǎn)作為磁探測系統(tǒng)的探測位置點(diǎn)。（4）讓磁探測系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到不同的位置點(diǎn)，利用磁探測系統(tǒng)對磁偶極子進(jìn)行探測定位。（5）將利用定位公式所求得的探測位置坐標(biāo)與真實(shí)位置坐標(biāo)(x,y,z)進(jìn)行比較，根據(jù)式（9）求取絕對誤差。

圖1 仿真分析示意圖

仿真過程中，假設(shè)磁偶極子的磁矩mx=100 Am2、my=0、mz=0，其他仿真條件不變，此時(shí)由探測盲面的一般方程可知，此時(shí)的探測盲面為x=0或z=0，而由于磁探測系統(tǒng)在磁偶極子的上方z=h平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以探測過程中當(dāng)磁探測系統(tǒng)位于探測盲面和運(yùn)動(dòng)平面的交線處時(shí)，磁探測系統(tǒng)對自身位置的探測誤差會(huì)急劇增大。

假設(shè)h=2 m，傳感器之間的排列間距d=0.5 m，坐標(biāo)系X、Y方向上取?8 m到8 m。則定位計(jì)算所得到的三軸坐標(biāo)值與真實(shí)值之間的誤差（以Ey為例）如圖2所示。

圖2 磁測探系統(tǒng)y坐標(biāo)的相對誤差Ey

由圖2可以看出，在探測盲面x=0和磁性目標(biāo)探測系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)平面的交線以外的區(qū)域即x≠0的區(qū)域，定位誤差在0附近波動(dòng)很小，而在探測盲面x=0和磁性目標(biāo)探測系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)平面的交線處確實(shí)存在定位誤差急劇增大的情況，甚至在一些點(diǎn)上因不能對求逆而無法實(shí)現(xiàn)定位，在圖2上顯示為空白區(qū)域，這與理論分析完全吻合。從而進(jìn)一步說明，磁梯度張量探測存在探測盲面，探測盲面在以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的一般方程可由式（8）求出。

同樣假設(shè)h=0 m，其他條件不變。即在z=0的平面上進(jìn)行探測，則定位計(jì)算所得到的三軸坐標(biāo)值與真實(shí)值之間的誤差（同樣的以Ey為例）如圖3所示。

圖3 磁測探系統(tǒng)y坐標(biāo)的相對誤差Ey

由圖3可以看出，在探測盲面z=0的區(qū)域探測只能在一些極為零散的點(diǎn)上能得到定位結(jié)果，且定位誤差極大，基本無法實(shí)現(xiàn)定位，這與上面的理論分析也是完全吻合的。從而進(jìn)一步說明這種探測方法存在探測盲面，探測盲面在以磁偶極子為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的一般方程可由式（8）求出。所以在利用磁梯度張量探測系統(tǒng)對磁性目標(biāo)探測定位時(shí)，需要避開探測盲面和運(yùn)動(dòng)平面的交線-探測盲線。避開探測盲線的方法可以利用磁探測系統(tǒng)之前的探測數(shù)據(jù)進(jìn)行外插，或者利用最近的一組探測數(shù)據(jù)直接替換進(jìn)行修正。

可采用Newton插值多項(xiàng)式x=0上的數(shù)據(jù)外插以替代直接通過公式（9）得到的探測結(jié)果，插值公式為：

其中

通過仿真驗(yàn)證這種方法的可行性，在利用外插公式（10）對x=0上的數(shù)據(jù)外插時(shí)，可取與該點(diǎn)坐標(biāo)y相同且距離最近的4個(gè)x≠0的點(diǎn)上探測結(jié)果作為已知量進(jìn)行外插，得到的結(jié)果替代公式（6）的探測結(jié)果。事實(shí)證明，這些方法切實(shí)可行。修正后的相對定位誤差如圖4～圖6所示。

圖4 修正后磁測探系統(tǒng)x坐標(biāo)的相對誤差Ex

圖5 修正后磁測探系統(tǒng)y坐標(biāo)的相對誤差Ey

圖6 修正后磁測探系統(tǒng)z坐標(biāo)的相對誤差Ez

由圖4～圖6可以看出，修正后探測盲點(diǎn)被消除，同時(shí)可以看出利用磁梯度張量探測系統(tǒng)進(jìn)行探測定位時(shí)，對x、y、z坐標(biāo)的相對定位誤差小于0.03 m，可在實(shí)際工程中應(yīng)用。

4 結(jié)束語

本文通過Matlab仿真，驗(yàn)證了改進(jìn)算法在探測過程中確實(shí)有探測盲點(diǎn)存在，位置與前面的數(shù)學(xué)分析結(jié)果一致，即探測盲面是兩個(gè)經(jīng)過磁偶極子，并且垂直或平行于磁矩矢量的平面；提出了利用Newton插值法對探測結(jié)果進(jìn)行修正的數(shù)據(jù)處理方法，從仿真結(jié)果可以看到修正后x、y、z坐標(biāo)的相對定位誤差小于0.03 m，對磁梯度張量定位在實(shí)際工程中的應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。另外，由于本文的分析和仿真都是基于理想條件下進(jìn)行的，即在研究過程中沒有考慮噪聲的影響，在下一步的工作中可探究噪聲對探測距離、精度及探測盲點(diǎn)位置的影響。

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