高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

吳天斌

世界著名數(shù)學(xué)家華羅庚在1964年說過一句話：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.” 這句話表明“數(shù)與形是相互依存”的關(guān)系，同時也表明數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的最本質(zhì)特征之一.

一、“數(shù)”與“形”

“數(shù)”指數(shù)學(xué)中的數(shù)值、函數(shù)、等量關(guān)系，“形”指函數(shù)的圖像、平面幾何圖形、立體幾何圖形等.數(shù)形結(jié)合是指根據(jù)數(shù)的基本結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與數(shù)相對應(yīng)的函數(shù)圖像或幾何圖形，同時利用圖像或圖形的性質(zhì)來解決數(shù)的問題，或反過來將圖像或圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，利用數(shù)來解決形的問題.

二、數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點

數(shù)形結(jié)合思想，充分體現(xiàn)了數(shù)與形的的優(yōu)點.數(shù)可以使解題步驟程序化，便于操作；幾何圖形或函數(shù)圖像可以給人以直觀的印象，便于理解.縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)對于數(shù)形結(jié)合思想的考察屢見不鮮.數(shù)形結(jié)合是高中教學(xué)的重點內(nèi)容，同時也是高考中的重點與難點.一線教師在教學(xué)的過程中往往會結(jié)合高考真題，來引導(dǎo)學(xué)生，讓考生理解數(shù)形結(jié)合的思想.下面結(jié)合2016年高考中出現(xiàn)的與數(shù)形結(jié)合相關(guān)的試題，具體探討數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，希望對一線教師在引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想課程中有一定的指導(dǎo).

三、真題講解

例1 （2016年山東理科，15）

已知函數(shù)f（x）=|x|，x2-2mx+4m， x≤m，x>m

其中m>0，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是.

答案：（3，+∞）

解析 由題意畫出函數(shù)圖像為圖1時才符合，

圖1要滿足存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根應(yīng)有4m-m2

解得m>3，即（3，+∞）.

分析 題目中給出的是一個分段函數(shù)問題，單純的依靠題目中的信息來求解問題，難度很大，要是能夠畫出函數(shù)的圖像，結(jié)果就一目了然，所以說畫出函數(shù)的圖像是解決本題的關(guān)鍵.這道題的難度較小，可以作為在教師傳授數(shù)形結(jié)合思想的伊始之用.

例2 （2016年北京理科，14）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x，-2x， x≤ax>a.

①若a=0，則f（x）的最大值為；

②若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：2，（-∞，-1）.

圖2

解析 如圖2做出函數(shù)g（x）=x3-3x與直線y=-2x

的圖象，它們的交點是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函數(shù)g（x）的極大值點.

①當a=0時，f（x）=x3-3x，-2x，x≤0，x>0因此f（x）的

實際上就是解方程的根，將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解；對于恒成立問題，需要考生結(jié)合基本不等式、以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來進行判定.

綜合分析以上幾道2016年高考中出現(xiàn)的恒成立問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，這類問題往往會包含參數(shù)和變量，會用到導(dǎo)數(shù)的知識，考查思維靈活性、創(chuàng)造性，思維性、技巧性較強，一般會將不同知識有機融合在一起.考生在解答這一類問題的時候，要善于將恒成立問題與函數(shù)聯(lián)系起來.考試的題目雖然千變?nèi)f化，但是考生在平時遇到這類問題的時候不要退縮，要敢于嘗試、敢于挑戰(zhàn)，老師也要引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)解題方法，引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟考察形式.

（收稿日期：2016-08-10）

最大值是f（-1）=2；

②由圖象知當a≥-1時，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有當a<-1時，由a3-3a<-2a，因此f（x）無最大值，∴所求a的范圍是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.

分析 這道題考察的是最值問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，畫出函數(shù)圖像，則圖像的最高點縱坐標就是最大值，最低點縱坐標就是最小值.

例3 （2016年全國卷理科，4）

若平面區(qū)域x+y-3≥0，2x-y-3≤0，x-2y+3≥0夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）.

A.355B.2C.322

D.5

答案：B

圖3

解析 如圖3，畫出不等式在

直角坐標系中表示的平面區(qū)域，由

x-2y+3=0x+y-3=0得A（1，2），由2x-y-3=0x+y-3=0得B（2，1）.

由題意可知，當斜率為1的兩條直線分別過點A、B時，兩直線的距離最小，即

|AB|=（1-2）2+（2-1）2=2.

分析 這道題考察的就是利用函數(shù)的圖像來求解兩直線之間的距離，如果采用解析法來求解這道題目會花費大量的時間與精力.

例4 （2016年全國卷文科，20）

已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.圖4

（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

解析 （Ⅰ）如圖4，連接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP//BQ，

得∠PFO+∠QFO+∠AFP+∠BFQ=180°，所以∠PFQ=90°；因為R是PQ的中點，所以RF=RP=RQ，所以△PAR△FAR，所以∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，又因為∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，所以∠FQB=∠PAR，所以∠PRA=∠PQF（同角的余角相等）

所以AR//FQ.

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

F（12，0），準線為x=-12，

SΔPQF=12PQ=12y1-y2，

圖5

設(shè)直線AB與x軸交點為N，

SΔABF=12FNy1-y2，

因為SΔPQF=2SΔABF，所以2FN=1，所以xN=1，即N（1，0）.

設(shè)AB中點為M（x，y），由y21=2x1y22=2x2得y21-y22=2（x1-x2），

又y1-y2x1-x2=yx-1，

所以yx-1=1y，即y2=x-1.

所以AB中點軌跡方程為y2=x-1.

分析 這道拋物線問題包含很多圖像、直線、角之間的關(guān)系信息，而題目又沒有給出相應(yīng)的圖形，如果教師在講解習(xí)題的過程中，單純用代數(shù)方法講解題目，學(xué)生可能會一頭霧水，所以教師在講解習(xí)題的時候，可以結(jié)合拋物線的圖像，在圖像中標出函數(shù)、直線、角之間的關(guān)系，給學(xué)生以直觀的感覺，學(xué)生就更容易掌握相關(guān)知識.一線教師在日常的教學(xué)過程中，要充分的結(jié)合習(xí)題來開展.而數(shù)形結(jié)合是一種非常抽象的思想方法，如果單純的給大家講思想，對學(xué)生來說很難入門，所以最好能夠結(jié)合習(xí)題開展教學(xué).綜合以上幾道2016年高考中出現(xiàn)的關(guān)于數(shù)形結(jié)合的試題，可以發(fā)現(xiàn)高考關(guān)于數(shù)形結(jié)合的考察是多方面的，從函數(shù)到集合均有涉及.以上幾道高考真題可以作為教學(xué)的引例，讓學(xué)生在解題的過程中，理解數(shù)形結(jié)合的概念，把握數(shù)形結(jié)合的思想.

（收稿日期：2016-08-20）