巧用單位圓解決三角函數(shù)問題的思考

王宏偉

（甘肅省慶陽市第二中學(xué)）

巧用單位圓解決三角函數(shù)問題的思考

王宏偉

（甘肅省慶陽市第二中學(xué)）

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，單位圓是應(yīng)用較為廣泛的一種解題策略，尤其是在與三角函數(shù)相關(guān)的題目類型當(dāng)中，其所能發(fā)揮的解題作用尤為明顯，將就“利用單位圓解決三角函數(shù)問題”展開討論。

三角函數(shù)問題;單位圓;解題技巧

單位圓上的三角函數(shù)線是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的一種有效方式，是能夠?qū)θ呛瘮?shù)進行幾何表示的一種方法。很多學(xué)生在進行三角函數(shù)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)時，會將學(xué)習(xí)的重點置于公式記憶、函數(shù)性質(zhì)的掌握以及圖像性質(zhì)的理解，對于單位圓三角函數(shù)線的部分卻掌握的不夠牢固。本文中筆者就將從以下幾個角度來著手探討這一類型問題的具體解題思路。

一、利用單位圓的三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小

利用單位圓的三角函數(shù)線來比較函數(shù)值的大小，其解題關(guān)鍵就在于對三角函數(shù)、角等相關(guān)數(shù)學(xué)量的轉(zhuǎn)化過程，以這樣一道題目為例：

本題解題的難點在于sinα屬于三角函數(shù)值，但是α本身屬于角，二者之間屬于不同的領(lǐng)域，看似無法做尋常的加減運算，所以如果單純地想依靠計算的方式來進行判斷，顯然會陷入求解的瓶頸當(dāng)中。

但是如果將題目當(dāng)中所涉及的sinα、α等置于單位圓當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)，其本身在圖形領(lǐng)域所富含的另外一層含義，我們可以利用單位圓將所要比較大小的部分轉(zhuǎn)化為其他的、可以量化和具象化的內(nèi)容。如圖所示，將A、B、D視為單位圓上的點，E、C分別為D、B在x軸上的垂點，α=∠EOB，β=∠AOB，則：

sinα=ED、sinβ=BC（單位圓斜邊大小視為1，正弦函數(shù)值等于對邊比斜邊，即等于角所對應(yīng)的邊長）

到此為止，比較大小過程中所涉及的sinα、sinβ、α和β，已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了統(tǒng)一的比較值，即全部通過面積來表示。

而“a-sinα”就可以視作“扇形AOD的面積減去S△AOD”的二倍，“β-sinβ”就可以視作“扇形AOB的面積減去S△AOB”的二倍，換言之a(chǎn)-sinα和β-sinβ就可以通過比較弓形AD和弓形AB的面積來求解，我們可以通過圖像觀察到弓形AB的面積明顯要大于弓形AD的面積，即2（β-sinβ）＞2（α-sinα），而題目所求解的sinα-α和sinβ-β的大小，也自然能夠判斷了。

二、利用單位圓確定變量的取值范圍

再利用單位圓確定變量的取值范圍的過程中，單位圓承擔(dān)了鮮明的解題工具的作用，相對于傳統(tǒng)的三角函數(shù)圖像，其所能達(dá)成的效果更為直接，其不僅提高了解題效率，也間接提升了高中生解題的準(zhǔn)確率。這類題目的階梯關(guān)鍵在于要求學(xué)生必須掌握被平面直角坐標(biāo)系所劃分的單位圓的四個區(qū)域當(dāng)中，不同象限的正負(fù)，以及曾見性的判斷。以這樣一道題目為例：

求函數(shù)f（x）=log（1-2cosx）（2sinx+1）的定義域

通過取交集的過程可以看出，利用單位圓來求解這樣的題目，要比單純觀看函數(shù)三角函數(shù)波狀圖像更為鮮明，甚至通過畫圖或勾畫區(qū)間的方式就能達(dá)到求解的目的。

［1］程光宇.利用單位圓解三角函數(shù)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：高中版，2010（2）.

［2］俞少華.單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（13）.

［3］王勇.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大?。跩］.新課程：教育學(xué)術(shù)，2012（4）.

●編輯 賀軼群