張 宇，唐啟祥

（文山學(xué)院 信息科學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

氫原子核外電子的概率分布特點(diǎn)是量子力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是初學(xué)者建立微觀粒子狀態(tài)按概率分布概念的必備知識(shí)，也是德布羅意波理論在氫原子體系中的直接體現(xiàn)。采用圖像表征很直觀，便于初學(xué)者對(duì)該理論的理解?，F(xiàn)行的量子力學(xué)教材中，對(duì)氫原子核外電子的徑向概率分布函數(shù)Wnl(r)和角向概率分布函數(shù)Wlm(θ)進(jìn)行了初步的描述，繪制了幾個(gè)示例性的二維平面圖，但對(duì)繪制的方法沒有作說明；對(duì)氫原子核外電子在三維空間的概率分布函數(shù)Wnlm(r,θ,φ)及三維分布圖沒有介紹和表征；氫原子與類氫原子核外電子的概率分布的對(duì)比研究也不見報(bào)道。

作為物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生，通過對(duì)量子力學(xué)中氫原子理論的深入學(xué)習(xí)，在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，沿著這樣的技術(shù)路線進(jìn)行了研究：首先，通過查閱資料整理出氫原子及類氫原子體系核外電子徑向波函數(shù)和角向波函數(shù)[1-14]；其次，將波函數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的概率分布函數(shù)；第三，通過MATLAB軟件編程表征概率分布，實(shí)現(xiàn)其可視化；第四，比較兩種體系核外電子的概率分布特點(diǎn)，得出它們的異同之處。

1 核外電子概率分布

1.1 徑向波函數(shù)及徑向概率分布函數(shù)

在球坐標(biāo)系中，氫原子和類氫原子具有相同形式的波函數(shù)：

為徑向波函數(shù)，質(zhì)子數(shù)Z=1對(duì)應(yīng)于氫原子，Z≠1對(duì)應(yīng)于類氫原子。Nnl為歸一化系數(shù)，a0為氫原子的第一波爾軌道半徑，為合流超幾何函數(shù)。Ylm(θ,φ)為角向波函數(shù)，是球諧函數(shù)，具體形式為：

式中，(cosθ)為連帶勒讓德多項(xiàng)式，Nlm為歸一化系數(shù)。

氫原子處于ψn,l,m(r,θ,φ)態(tài)時(shí)，電子在點(diǎn) (r,θ,φ)周圍的體積元dr=r2sinθdrdθdφ內(nèi)的概率為：

將式（4）對(duì)θ從0→π，對(duì)φ從0→2π積分，便可得到在半徑r到r+dr的球殼內(nèi)找到電子的概率為：

Wnl(r)就是徑向概率密度分布函數(shù)。表1給出了幾個(gè)低量子數(shù)的徑向波函數(shù)和徑向概率密度分布函數(shù)。

表1 徑向波函數(shù)和徑向概率密度分布函數(shù)

1.2 角向波函數(shù)及角向概率分布函數(shù)

氫原子和類氫原子核外電子的角向分布函數(shù)都是式（3）中的相同的球諧函數(shù)[1]

為了方便描述，將角量子數(shù)l= 0, 1, 2, 3……的態(tài)分別稱為s，p，d，f態(tài)，處于這些態(tài)的電子，依次簡(jiǎn)稱為s，p，d，f……電子。

對(duì)r從0→∞積分，可以得到電子在（θ，φ）方向附近立體角d?= sinθdθdφ內(nèi)的概率為：

式（6）為角向概率密度分布函數(shù)。表2列出了幾個(gè)低階角向波函數(shù)和角向概率密度分布函數(shù)。

表2 角向波函數(shù)和角向概率密度分布函數(shù)

1.3 三維空間波函數(shù)及概率密度分布函數(shù)

氫原子及類氫原子體系在球坐標(biāo)系的三維空間的波函數(shù)為:

式中n= 0, 1, 2, … ;l= 0, 1, 2, … ,n-1; m=0, ±1,±2,… ; ±l。

氫原子及類氫原子核外電子空間概率密度分布函數(shù)為：

表3給出了三維空間中體系的幾個(gè)波函數(shù)及概率分布函數(shù)。

表3 三維空間氫原子體系的波函數(shù)及概率密度分布函數(shù)

續(xù)表3

2 MATLAB對(duì)概率分布的模擬

2.1 氫原子核外徑向電子概率分布圖

通過MATLAB編程運(yùn)行得到了n=1, 2, 3；l=0,1, 2的幾個(gè)氫原子徑向分布的圖。氫原子電子徑向位置概率密度分布的節(jié)點(diǎn)數(shù)目（不包括原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）有nr=n-l-1個(gè)。特別地，基態(tài)氫原子和“圓軌道”（即l=n-1)的電子徑向位置概率分布沒有節(jié)點(diǎn)。比如，n=1，l=0，則nr=0，即氫原子徑向位置概率分布的節(jié)點(diǎn)數(shù)為0；n=2，l=0，則nr=1，即氫原子徑向位置概率分布的節(jié)點(diǎn)數(shù)為1；n=3，l=2，則nr=0，即氫原子徑向位置概率分布的節(jié)點(diǎn)數(shù)為1。如圖1所示。

圖 1 不同狀態(tài)下氫原子徑向概率分布函數(shù)曲線

2.2 氫原子核外角向電子概率密度分布圖

通過MATLAB編程運(yùn)行得到了l=0,1,2的幾個(gè)氫原子徑向概率分布的情況，見圖2：

1）l=0和m=0時(shí)，|Y00|2是一個(gè)均勻的球體，如圖2（a）所示；2）當(dāng)l=1，m=0，±1時(shí)，|Y10|2由兩個(gè)均勻等值球體豎直重疊在一起構(gòu)成，|Y11|2是兩個(gè)均勻的球體，在水平方向兩球?qū)訕?gòu)成，|Y1-1|2由兩個(gè)均勻等值球體水平對(duì)接在一起構(gòu)成，如圖2（b）所示；3）當(dāng)l=2，m=0和1時(shí)，|Y20|2是兩個(gè)均勻的球體加一個(gè)圓餅狀，在豎直方向兩球?qū)优c圓餅上下構(gòu)成；|Y21|2由4個(gè)兩兩均勻等值球體豎直方形對(duì)接在一起構(gòu)成，形成花瓣?duì)?，如圖2（c）所示；4）當(dāng)l=2；m=-1和2，|Y2-1|2是4個(gè)均勻的球體兩兩相同，在豎直方向兩球?qū)优c構(gòu)成，形成花瓣?duì)?。|Y22|2由4個(gè)兩兩均勻等值球體水平方向?qū)釉谝黄饦?gòu)成，形成花瓣?duì)?，如圖2（d）所示。

圖 2 不同狀態(tài)下氫原子及類氫原子核外電子角向概率密度分布圖

2.3 三維空間電子概率密度分布

利用MATLAB軟件編程繪制了氫原子各狀態(tài)下空間電子概率分布切片圖，切片圖上顏色灰度的深淺表示電子幾率密度的大小，其中顏色深表示電子幾率密度大。從空間幾率分布電子云圖可以更加直觀地看出氫原子電子云的分布情況。作出n=1, 2, 3;l=0, 1, 2;m=0, ±1,±2的核外電子概率分布圖的空間電子云圖。分析比較，具有如下的特點(diǎn)：

1）當(dāng)n=1，l=0和m=0時(shí)，|W100|2是一個(gè)均勻的單鋒體，等高線圖分布均勻及顏色對(duì)比圖明顯，如圖3（a）所示；2）當(dāng)n=2，l=1，m=0時(shí)，|W210|2由一個(gè)均勻等值單峰體構(gòu)成，等高線圖分布均勻及顏色對(duì)比圖有明顯的分布情況，如圖3（b）所示；3）當(dāng)n=2，l=1；m=±1時(shí)，|W211|2是兩個(gè)均勻的單峰體構(gòu)成，在水平方橫向兩峰對(duì)接構(gòu)成，等高線圖線條疏密明顯，如圖3（c）所示；|W21-1|2由兩個(gè)均勻等值單峰體水平對(duì)接在一起構(gòu)成；在水平方縱向兩峰對(duì)接構(gòu)成，線條疏密分布明顯，如圖3（d）所示。

圖 3 不同狀態(tài)下氫原子電子空間分布及空間概率分布等高線圖

3 氫原子與類氫原子核外電子徑向概率密度分布圖的對(duì)比

3.1 徑向概率密度對(duì)比圖及其分析

由于類氫原子與氫原子核外電子的角向分布函數(shù)完全一樣，不受質(zhì)子數(shù)Z的影響，它們的概率密度函數(shù)完全相同，分布圖也完全一樣，此處不再呈現(xiàn)。在相同的n,l情況下，氫原子和不同Z值的類氫原子的徑向概率密度分布圖顯示，隨著質(zhì)子數(shù)Z值的增大，圖形會(huì)越來越小，表示電子更靠近原子核，如圖4所示。

3.2 概率密度極大值與質(zhì)子數(shù)之間的變化關(guān)系圖

以rmax表示第1次出現(xiàn)徑向概率密度極大值，繪制rmax隨質(zhì)子數(shù)Z變化的函數(shù)圖像。從1s，2s，和3s各個(gè)原子態(tài)的情況可見，類氫原子徑向概率密度極大值rmax隨Z值增大而減小，表示核外電子分布隨質(zhì)子數(shù)的增加而向原子核靠攏，符合庫侖定律的基本要求，結(jié)果如圖5所示。

圖 4 Z=1,2,3,4的氫原子及類氫原子徑向概率密度分布對(duì)比圖

圖 5 不同Z值的氫原子及類氫原子rmax-Z圖

4 結(jié)論

通過整理及MATLAB軟件繪圖對(duì)比分析可知：

1）無論是氫原子體系還是類氫原子體系，相同量子態(tài)的角向概率密度分布函數(shù)都是一樣的；不同量子態(tài)電子概率密度的分布不一樣，但總體上表現(xiàn)出非常嚴(yán)格的對(duì)稱性。

2）相同量子數(shù)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)徑向概率密度分布相似，但隨原子核內(nèi)質(zhì)子數(shù)Z的增大，概率密度的極大值位置向原子核靠攏，符合庫侖定律的基本要求。

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