李玉剛 葉慶衛(wèi) 周 宇 方 寧寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，寧波,315211

基于模態(tài)參數(shù)提取的隨機(jī)子空間辨識(shí)算法改進(jìn)

李玉剛 葉慶衛(wèi) 周 宇 方 寧
寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，寧波,315211

隨機(jī)子空間辨識(shí)(SSI)算法在大型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)檢測、損傷識(shí)別中有著重要的作用。引入稀疏優(yōu)化取代最小二乘法來獲得盡可能稀疏的狀態(tài)矩陣，引入K-means算法從眾多模態(tài)參數(shù)中選出真實(shí)模態(tài)，以避免虛假模態(tài)的產(chǎn)生。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所構(gòu)建的稀疏改進(jìn)SSI算法能準(zhǔn)確提取模態(tài)參數(shù)，對工程應(yīng)用具有較大的參考價(jià)值。

隨機(jī)子空間辨識(shí)算法；稀疏優(yōu)化；最小二乘法：模態(tài)參數(shù)：K-means算法

0 引言

利用結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷是近年來發(fā)展起來的結(jié)構(gòu)損傷診斷新方法，而參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域中的重點(diǎn)。目前國內(nèi)外模態(tài)參數(shù)的提取方法有頻域分解法[1]、PolyMax[2]、NexT[3]等，但是這些算法需要大量工作來確定具有最小量參數(shù)的模型，并進(jìn)行迭代運(yùn)算，往往存在發(fā)散或收斂緩慢等問題。隨機(jī)子空間識(shí)別算法 (stochastic subspace identification，SSI)[4]是基于隨機(jī)狀態(tài)空間模型的，只需要確定系統(tǒng)的階次，且由于算法中的奇異值分解，故該算法不存在收斂問題。

隨機(jī)子空間識(shí)別最關(guān)鍵的問題是確定系統(tǒng)階次，目前主要的兩種方法是奇異值跳躍法和穩(wěn)定圖法。上述兩種方法的系統(tǒng)定階過程都需要人工參與，奇異值跳躍法需要人工找出奇異值跳躍點(diǎn)，受環(huán)境噪聲干擾較大；穩(wěn)定圖法需要人工找出系統(tǒng)階次的范圍，受人的主觀判斷影響較大，很容易出現(xiàn)虛假模態(tài)現(xiàn)象。

稀疏表示[5-7]是一種高效的搜索算法，在壓縮感知中被廣泛地應(yīng)用。在壓縮感知中，稀疏表示可以在不丟失原始信號信息的情況下，顯著減少觀測信號的次數(shù)，能有效實(shí)現(xiàn)信號的降維處理，具有很好的噪聲抗干擾能力。稀疏優(yōu)化采用稀疏逼近來取代原始信號，從而顯著降低處理成本，特別對混合信號的分離有著顯著的效果?，F(xiàn)階段的稀疏優(yōu)化算法主要有梯度投影法[8]、匹配追蹤法[9]、正交匹配追蹤法(OMP)[10]等。

目前SSI算法能夠在系統(tǒng)低階情況下獲取較高精度的模態(tài)主頻參數(shù)和阻尼比，但是模態(tài)振型參數(shù)的提取還存在些許問題。另外SSI算法需要準(zhǔn)確定階，且受噪聲的影響較大。本文在基于協(xié)方差的SSI方法(SSI-cov)[11-12]的基礎(chǔ)上用稀疏優(yōu)化方法對其求狀態(tài)矩陣、輸出矩陣環(huán)節(jié)作了改進(jìn)，用稀疏優(yōu)化技術(shù)代替最小二乘法，并通過K-means算法來選擇系統(tǒng)模態(tài)，從而剔除系統(tǒng)虛假模態(tài)，減小系統(tǒng)階次對模態(tài)參數(shù)的影響，使模態(tài)參數(shù)更加精確。

1 基于協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)子空間算法識(shí)別

在SSI-cov中，可以由采樣數(shù)據(jù)得到可觀矩陣Γ如下：

(1)

比較式(1)中兩式可得：

Γ2=Γ1Θ

(2)

其中，Θ是對角矩陣;C為系統(tǒng)輸出矩陣。然后通過最小二乘法求取狀態(tài)矩陣A。

現(xiàn)有SSI-cov算法首先需要確定系統(tǒng)階次，其系統(tǒng)定階的方法主要是奇異值(SVD)分解法[13]，可以得到較為準(zhǔn)確的系統(tǒng)階次，但是當(dāng)信號數(shù)據(jù)過大，外界環(huán)境產(chǎn)生的噪聲比較復(fù)雜時(shí)，在確定系統(tǒng)階次的時(shí)候往往會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，很容易產(chǎn)生虛假模態(tài)。另外對輸出矩陣C的求解只計(jì)算了可觀矩陣Γ的第一行，可能會(huì)因?yàn)橄到y(tǒng)的復(fù)雜性而產(chǎn)生不可避免的偏差，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)振型出現(xiàn)紊亂。

2 SSI算法改進(jìn)的稀疏求解

在現(xiàn)有的SSI-cov識(shí)別中，式(2)用最小二乘法求解狀態(tài)矩陣A，然后求解模態(tài)頻率ω*、阻尼比ξ*。這種方法對模型階次的限制較大，一旦模型階次確定不準(zhǔn)確，虛假模態(tài)就會(huì)伴隨而生；在以往求取輸出矩陣C中，都是把可觀矩陣Γ的第一行作為C的固定值，然而當(dāng)噪聲影響較大時(shí)，得到的C就會(huì)產(chǎn)生偏差，進(jìn)而導(dǎo)致模態(tài)振型Ω*的求取精度出現(xiàn)較大的下降。

首先我們?yōu)槟Ｐ碗A次nΔ賦一個(gè)較大的值，把可觀矩陣Γ轉(zhuǎn)化為

可得出狀態(tài)矩陣的等式方程：

ΓT=QTPT

(3)

對式(2)我們用高斯隨機(jī)測量矩陣H1進(jìn)行觀測：

H1Γ2=H1Γ1Θ

(4)

將其轉(zhuǎn)化成稀疏等價(jià)模型：

(5)

這個(gè)優(yōu)化問題是個(gè)NP難問題，DONOHO指出，當(dāng)H1Γ1滿足RIP條件時(shí)，0范數(shù)的優(yōu)化就可以轉(zhuǎn)化成1范數(shù)的優(yōu)化問題，即

(6)

式中，σ1為誤差限度，是一個(gè)很小的正值。

對式(3)進(jìn)行轉(zhuǎn)置并用高斯隨機(jī)測量矩陣H2觀測：

H2ΓT=H2QTPT

(7)

構(gòu)建稀疏優(yōu)化模型：

(8)

同樣，這也是一個(gè)NP難問題，當(dāng)H2QT滿足RIP條件時(shí)，0范數(shù)的優(yōu)化就可以轉(zhuǎn)化成1范數(shù)的優(yōu)化問題：

(9)

式中，σ2為誤差限度，是一個(gè)很小的值。

經(jīng)驗(yàn)證，H1Γ1和H2QT能夠以很高的概率滿足RIP條件，符合稀疏求解的條件。但是我們通過式(6)和式(9)求取的稀疏解中有多于系統(tǒng)真實(shí)階次的非零解，這些較小的非零解屬于噪聲，不過稀疏解中的噪聲很小且極不穩(wěn)定，通過多次運(yùn)算可以很容易地統(tǒng)計(jì)找出，然后運(yùn)用聚類的方法，對應(yīng)得出真實(shí)模態(tài)參數(shù)，具體步驟如下。

(1)給系統(tǒng)的模型階次nΔ賦一個(gè)較大的值，選取合適的稀疏度k和誤差限度σ1、σ2。

(2)構(gòu)建隨機(jī)高斯測量矩陣H1和H2，對式(6)用OMP方法進(jìn)行稀疏求解，得到矩陣Θ，進(jìn)而得到矩陣A，再對A進(jìn)行特征值分解，得到特征值D；得到A之后，構(gòu)建QT矩陣，然后對式(9)用OMP進(jìn)行稀疏求解，得到矩陣PT，觀察PT的特點(diǎn)，就可以很容易地得到C。

(3) 由求得的A和C計(jì)算含有虛假模態(tài)的頻率向量ω*、阻尼比向量ξ*和模態(tài)振型Ω*。

(4)重復(fù)步驟N次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得到最終的D*和C*，統(tǒng)計(jì)步驟如下：①對于步驟(2)，我們得到N個(gè)D和C，對每一個(gè)D和C求其均值，然后把D與C的元素的絕對值與其各自的均值比較，小于均值的強(qiáng)制置零，然后對照N個(gè)D在相同位置的非零個(gè)數(shù)，記為數(shù)組dD，同理，對照C在相同位置的非零個(gè)數(shù)，記為數(shù)組dC；②把數(shù)組dD和dC的元素與其均值相減，把差值數(shù)據(jù)的絕對值記為fD和fC，由K-means算法，我們把數(shù)組fD和fC任選兩個(gè)元素作為聚類中心，然后把剩下的元素與聚類中心比較，把離聚類中心較近的對象歸為一類，然后計(jì)算所獲得的新的聚類，不斷重復(fù)，直至標(biāo)準(zhǔn)測度函數(shù)開始收斂，然后我們統(tǒng)計(jì)出均值小的類的下標(biāo)索引gD和gC；③把下標(biāo)gD和gC對應(yīng)的D和C值強(qiáng)制置零，然后得到最終的D*和C*。

(5)根據(jù)D*中非零元素的位置，從ω*、ξ*中選擇出系統(tǒng)模態(tài)ω、ξ；根據(jù)C*中非零元素的位置，從Ω*中選擇出模態(tài)振型Ω。

通過上述方法，如圖1所示，我們能夠把模型階次對模態(tài)參數(shù)提取的影響忽略不計(jì)，可以有效剔除虛假模態(tài)，并通過聚類的方法，很好地把噪聲剔除，較大程度地減小噪聲對結(jié)果的影響，從而提高算法的消噪能力和識(shí)別精度。

圖1 SSI算法改進(jìn)稀疏求解Fig.1 Improvement and solution of SSI algorithm based on sparse representation

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

本文以MATLAB 作為仿真工具，這里假設(shè)一個(gè)4次系統(tǒng)的仿真信號：

x=0.4e-0.012tcos(5.3t+0.25)+1.1e-0.057t·cos(3.9t+0.1)-1.3e-0.082tcos(6.6t+0.34)-0.8e-0.034tcos(4.4t+0.18)

(10)

由理論計(jì)算可得到系統(tǒng)的固有頻率ω、阻尼比ξ和模態(tài)振型系數(shù)Ω，如表1所示。

表1 系統(tǒng)固有模態(tài)參數(shù)
Tab.1 Inherent modal parameters of system

ω(Hz)ξ(N·S/m)Ω0.8440.0140.4000.6210.0921.1001.0510.078-1.3000.7010.049-0.800

對式(10)的仿真信號添加信噪比為5 dB的高斯白噪聲，以30 Hz的采樣頻率采集1000個(gè)采樣點(diǎn)，然后我們?yōu)橄到y(tǒng)階次n賦值80，然后計(jì)算頻率向量ω*、阻尼比向量ξ*、模態(tài)振型Ω*以及確立等式方程：

(Γ2)200×80=(Γ1)200×80Θ80×80

(11)

(12)

按照如下過程分步計(jì)算，最終可得到各階振型系數(shù)及模態(tài)。

(2)同樣地，構(gòu)建高斯隨機(jī)測量矩陣(H2)24×200，對式(12)進(jìn)行觀測，然后由式(9)得到矩陣C1×80。

(3) 重復(fù)步驟(1)8次，得到這8次計(jì)算的解集{A1,A2,…,A8}，計(jì)算特征解集{D1,D2,…,D8},對每一個(gè)特征值求取均值，然后將其元素的絕對值與其均值比較，小于均值的強(qiáng)制置零。然后對照8個(gè)特征值在相同位置的非零個(gè)數(shù)，記為數(shù)組dD。

(4) 重復(fù)步驟(2)8次，得到這8次計(jì)算的解集{C1,C2,…,C8},對每一個(gè)輸出矩陣求取均值，然后將其元素的絕對值與其均值比較，小于均值的強(qiáng)制置零。然后對照8個(gè)特征值在相同位置的非零個(gè)數(shù)，記為數(shù)組dC。

(5)將數(shù)組dD元素與其均值相減，差值數(shù)據(jù)的絕對值記為fD，由K-means算法統(tǒng)計(jì)出均值小的類的下標(biāo)索引gD，排除下標(biāo)索引gD之后，得出余下的下標(biāo)2、7、24、37，從而求取特征值D*，通過D*就可以找出ω*和ξ*對應(yīng)的位置。

(6) 將數(shù)組dC元素與其均值相減，差值數(shù)據(jù)的絕對值記為fC，由K-means算法我們統(tǒng)計(jì)出均值小的類的下標(biāo)索引gC，排除下標(biāo)索引gC之后，得出余下的下標(biāo)3、13、25、42，從而求輸出矩陣C*，通過C*就可以找出對應(yīng)的模態(tài)振型Ω*。

(7)步驟(5)與步驟(6)得出的D*、ω*、ξ*、C*、Ω*如表2所示。

表2 4階次系統(tǒng)的稀疏改進(jìn)的模態(tài)參數(shù)
Tab.2 Modal parameters of sparse improvement based on 4 model order

D*ω*(Hz)ξ*(N·S/m)C*Ω*0.9950.8430.0131.5340.4320.9170.6240.0945.4621.1231.4841.0540.0800.948-1.3050.9340.7030.0510.859-0.812

通過表2，我們可以看出稀疏改進(jìn)算法在模型階次過大和高斯白噪聲干擾的情況下，仍舊保證了很高的計(jì)算精度，很好地證明了稀疏改進(jìn)算法的優(yōu)越性。

3.2 模型階次對系統(tǒng)的影響

3.1節(jié)的稀疏求解具有一定的片面性，模型階次和稀疏度的選取較為主觀，所以為了使驗(yàn)證結(jié)果更加準(zhǔn)確，我們需要再次驗(yàn)證。首先選用兩種差距比較明顯的較大模型階次，然后對每個(gè)模型階次下的稀疏度選取不同的值，以信噪比5 dB為干擾信號，各計(jì)算80次求均值，得到固有頻率見表3，阻尼比見表4，模態(tài)振型得到結(jié)果見表5。

表3 不同階次稀疏計(jì)算固有頻率Tab.3 Calculation of modal frequency of different order based on sparse algorithm Hz

表4 不同階次稀疏計(jì)算阻尼比Tab.4 Calculation of damping ratio of different order based on sparse algorithm N·S/m

表5 不同階次稀疏計(jì)算模態(tài)振型
Tab.5 Calculation of vibration pattem of different order based on sparse algorithm

階次稀疏度模態(tài)振型Ω1模態(tài)振型Ω2模態(tài)振型Ω3模態(tài)振型Ω450240.3981.098-1.295-0.79350480.4111.107-1.308-0.811100240.4031.104-1.302-0.803100480.4091.106-1.305-0.809

表3～表5顯示，兩種相差較大的模型階次計(jì)算結(jié)果基本一樣，且對稀疏度的敏感程度很低，這對我們稀疏度的選取提供了一個(gè)較大的范圍，因此，我們可以很容易地得出，稀疏改進(jìn)算法對模型階次要求不高，可以很好地在剔除虛假模態(tài)的基礎(chǔ)上保持計(jì)算精度。

3.3 不同噪聲下的模態(tài)識(shí)別精度

為了更好地驗(yàn)證稀疏改進(jìn)算法的優(yōu)越性，我們把稀疏改進(jìn)算法與SSI-cov算法進(jìn)行對比。

(13)

分別對信號添加不同的加性噪聲(脈沖噪聲和高斯白噪聲以及兩種噪聲的混合噪聲)，為了使結(jié)果更加精確，我們計(jì)算80次求其平均值，比較兩種算法在相同噪聲下對信噪比的敏感程度。因篇幅有限，這里只列舉4個(gè)比較典型的誤差對比。如圖2～圖5所示。

圖2 基于高斯白噪聲下頻率誤差對比Fig.2 Comparison of frequency error based on gauss white noise

圖3 基于混合噪聲下頻率誤差對比Fig.3 Comparison of frequency error based on mixed noise

圖4 基于高斯白噪聲下阻尼比誤差對比Fig.4 Comparison of damping ratio error based on gauss white noise

圖5 基于高斯白噪聲下模態(tài)振型誤差對比Fig.5 Comparison of vibration pattem error based on gauss white noise

從圖2中可以看出，在高斯白噪聲下，SSI-cov識(shí)別的頻率誤差起伏較大，在γSN為0～10 dB范圍內(nèi),波動(dòng)特別明顯，可看出SSI-cov算法對噪聲較為敏感，而稀疏改進(jìn)算法起伏波動(dòng)比較平緩，有很高的穩(wěn)定性；從圖3中可以看出，在混合噪聲下，SSI-cov識(shí)別的主頻精度比在高斯白噪聲下相對較差，對噪聲更加敏感，在信噪比15 dB以內(nèi)，相對誤差變化起伏更大，而稀疏改進(jìn)算法相對誤差變化平緩；從圖4中可以看出，SSI-cov識(shí)別的阻尼比在信噪比5 dB以內(nèi)，已經(jīng)產(chǎn)生了明顯的失真，當(dāng)信噪比越小時(shí)，識(shí)別精度越差，而稀疏改進(jìn)算法識(shí)別精度較高，表現(xiàn)出了很高的穩(wěn)定性；從圖5中可以看出，稀疏改進(jìn)算法的相對誤差始終在SSI-cov之下，特別當(dāng)信噪比較小時(shí)，誤差值更為明顯。

4 實(shí)測信號分析

本文研究對象的工程數(shù)據(jù)采自寧波某斜拉索大橋。大橋全長67 m，由102根直徑為0.15 m的拉索構(gòu)成拉索支撐系統(tǒng)。在采集過程中，采用WS-ZHT2振動(dòng)設(shè)備和雙傳感器采集振動(dòng)信號，雙傳感器安裝在拉索和梁端的鉸支部位，能有效感應(yīng)索-梁耦合的拉索振動(dòng)，如圖6所示。

圖6 傳感器安裝圖Fig.6 Sensors installation diagram

傳感器采集到的信號都是含噪信號，但是我們不知道噪聲的類型是否規(guī)則，不清楚無噪聲原始信號的波形，只清楚采集到的信號波形。這里我們以第6號到第12號斜拉索的振動(dòng)采集信號為例，因篇幅有限，只顯示第10號斜拉索的振動(dòng)波形圖，如圖7所示，信號具有較強(qiáng)的環(huán)境干擾，從而對模態(tài)參數(shù)提取的精度和噪聲抗干擾性要求較高。用本文算法對采集到的信號提取基頻參數(shù)，與SSI-cov算法作比較，來進(jìn)一步驗(yàn)證稀疏改進(jìn)SSI算法的優(yōu)越性。

圖7 第10號斜拉索振動(dòng)波形圖Fig.7 Vibration waveform of No.10 stay cable

在圖7所示波形圖的基礎(chǔ)上，兩種算法的測定結(jié)果(測定10次，求其均值)如表6所示。

表6 兩種識(shí)別算法對斜拉索基頻識(shí)別情況
Tab.6 Frequency identification of two algorithms for the stay cable

斜拉索號參考基頻(Hz)識(shí)別方法計(jì)算結(jié)構(gòu)基頻(Hz)相對誤差A(yù)60.7528稀疏改進(jìn)SSI-cov0.75800.76520.00520.0124A80.7863稀疏改進(jìn)SSI-cov0.79660.80380.01030.0175A100.8011稀疏改進(jìn)SSI-cov0.80920.81530.00810.0142A120.7932稀疏改進(jìn)SSI-cov0.80060.80580.00740.0126

從表6中數(shù)據(jù)可以看出，稀疏改進(jìn)算法識(shí)別具有更好的精確度，相對誤差普遍較小，更加接近參考基頻(大橋管理服務(wù)有限公司提供)。稀疏改進(jìn)算法解決了SSI-cov當(dāng)階次確定有偏差的情況下，識(shí)別精度不準(zhǔn)確的問題，另外稀疏改進(jìn)算法對噪聲不敏感，本身在稀疏優(yōu)化的過程中，就已經(jīng)具有了很好的消噪能力。因此，我們得出如下結(jié)論：稀疏改進(jìn)算法對系統(tǒng)階次的要求不高，即使出現(xiàn)定階錯(cuò)誤對結(jié)果影響也可忽略，以及具有很好的抗噪性，在較大的噪聲干擾下，仍然具有良好的識(shí)別精度。

5 結(jié)論

綜上所述，稀疏改進(jìn)SSI算法具有工程可行性。相較于經(jīng)典的SSI算法的最小二乘法，稀疏優(yōu)化的OMP算法在有噪聲或噪聲較大時(shí)，能夠較好地提取狀態(tài)矩陣和輸出矩陣，準(zhǔn)確提取模態(tài)參數(shù)，表現(xiàn)出更好的抗噪聲性能，魯棒性有明顯的提升；相較于經(jīng)典的SSI算法的系統(tǒng)定階，稀疏改進(jìn)SSI的聚類算法在系統(tǒng)階次方面幾乎不需要定階，有效地解決了因模型階次過高而產(chǎn)生的虛假模態(tài)問題，擴(kuò)大了模型階次的選擇范圍。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，通過與SSI-cov算法的對比，很好地驗(yàn)證了稀疏改進(jìn)SSI算法的抗噪性以及解決模型階次過高產(chǎn)生的虛假模態(tài)的能力；對寧波某大橋的斜拉索的基頻測定，更加有力地證明了稀疏改進(jìn)算法的優(yōu)越性。因此，稀疏改進(jìn)SSI算法具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯 袁興玲)

Improvement of SSI Algorithm Based on Extraction of Modal Parameters

LI Yugang YE Qingwei ZHOU Yu FANG Ning

Faculty of Information Science and Enginner，Ningbo University， Ningbo，Zhejiang,315211

SSI algorithm played an important role in the large structure vibration detection and damage identification. Sparse optimization solution was introduced to replace the least square method that was used to get sparser state matrix. K-means algorithm was introduced to elect real modal parameters from many modal parameters so as to eliminate the false modals effectively. The experimental results show that optimization solution of SSI algorithm may accurately extract modal parameters. The work herein has reference values in engineering applications.

stochastic subspace identification (SSI) algorithm; sparse optimization; least square method; modal parameter; K-means algorithm

2016-07-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51675286，61071198)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY13F010015)；寧波市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012A610019)；浙江省科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目(2013TD21)

TP391.4

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.012

李玉剛，男，1991年生。寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)信號處理。E-mail:630818644@qq.com。葉慶衛(wèi)，男，1970年生。寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授。周 宇，男，1962年生。寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院教授。方 寧，1992年生。寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。