◎郭 睿

小學(xué)數(shù)學(xué)比較關(guān)系應(yīng)用問題的教學(xué)探索

◎郭 睿

在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中，“比較關(guān)系”是一類典型的應(yīng)用問題。所謂比較，是基于兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)象而產(chǎn)生。而比較關(guān)系應(yīng)用問題，則指以某個(gè)對(duì)象為比較標(biāo)準(zhǔn)，利用其余比較對(duì)象與比較標(biāo)準(zhǔn)之間的關(guān)系來解決問題的應(yīng)用問題，研究這類典型應(yīng)用問題對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用。

一、小學(xué)比較關(guān)系應(yīng)用問題知識(shí)體系簡析

小學(xué)階段比較關(guān)系應(yīng)用問題有兩類，利用對(duì)象之間的相差數(shù)解決的“相差關(guān)系”應(yīng)用問題和利用對(duì)象之間的倍或率解決的“倍比關(guān)系”應(yīng)用問題，分別集中在不同階段學(xué)習(xí)：二年級(jí)學(xué)習(xí)相差關(guān)系，三年級(jí)學(xué)習(xí)倍數(shù)關(guān)系，六年級(jí)學(xué)習(xí)分率關(guān)系，分率關(guān)系應(yīng)用問題是倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題的擴(kuò)展，倍數(shù)關(guān)系和分率關(guān)系應(yīng)用問題合稱為倍比關(guān)系應(yīng)用問題。

相差關(guān)系應(yīng)用問題，如：紅花6朵，黃花比紅花多3朵，黃花有幾朵？題中“黃花比紅花多3朵”是反映紅花與黃花數(shù)量的關(guān)系句，根據(jù)已知紅花數(shù)量、關(guān)系句求解黃花數(shù)量。題中三要素可互為已知條件、要求問題，形成題組，如：

題1：紅花6朵，黃花比紅花多3朵，黃花幾朵？

題2：黃花9朵，黃花比紅花多3朵，紅花幾朵？

題3：紅花6朵，黃花9朵，紅花比黃花多幾朵？

倍比關(guān)系應(yīng)用問題，如：紅花有6朵，黃花比紅花多（或黃花是紅花的1.5倍），黃花有幾朵？同理，題中三要素互為已知條件、要求問題，亦形成相關(guān)題組。

相差關(guān)系和倍比關(guān)系兩類應(yīng)用問題有共同點(diǎn)：第一，題目結(jié)構(gòu)相同，都有比較量、標(biāo)準(zhǔn)量、比較關(guān)系句三要素；第二，兩量比較關(guān)系因比較標(biāo)準(zhǔn)不同而關(guān)系表述的語句相應(yīng)也不同。在相差關(guān)系應(yīng)用問題中，如當(dāng)“黃花9朵，紅花6朵”時(shí)，若以紅花數(shù)量為比較標(biāo)準(zhǔn)，則表述為“黃花比紅花多3朵”；若以黃花數(shù)量為比較標(biāo)準(zhǔn)，則應(yīng)表述為“紅花比黃花少3朵”。在倍比關(guān)系應(yīng)用問題中，“黃花9朵，紅花6朵”，若以紅花數(shù)量為比較標(biāo)準(zhǔn)，則黃花比紅花多，若以黃花數(shù)量為比較標(biāo)準(zhǔn)，則紅花比黃花少（見下圖）。

而兩類應(yīng)用問題的不同之處為：相差關(guān)系的比較是基于一一對(duì)應(yīng)思想，本質(zhì)是比較數(shù)量多與少，比較結(jié)果是絕對(duì)值，運(yùn)用加減法數(shù)學(xué)模型解決問題；倍比關(guān)系的比較是反映兩數(shù)量比的關(guān)系，比較結(jié)果是相對(duì)值，運(yùn)用乘除法數(shù)學(xué)模型解決問題。

二、現(xiàn)存學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)障礙現(xiàn)狀

由于學(xué)生在生活中經(jīng)常接觸比較數(shù)量大與小、多與少、物品長與短等相差關(guān)系，因此學(xué)生在解決相差關(guān)系應(yīng)用問題正確率較高。但學(xué)生在解決倍比關(guān)系應(yīng)用問題時(shí)存在較大困惑，以六年級(jí)分率應(yīng)用問題為例嘗試探討學(xué)習(xí)中的障礙。

題目1：男生12人，女生8人，男生人數(shù)比女生多幾分之幾？

學(xué)生錯(cuò)例1：12-8=4。

學(xué)生錯(cuò)例2：12÷8。

學(xué)生錯(cuò)例2：（12-8）÷12。

題目1中，訪談能正確列式的學(xué)生，其記錄如下：

訪談?dòng)涗?

訪談?wù)撸耗愕牧惺剑?2-8）÷8是正確的，說說你是怎么想的？

學(xué)生：因?yàn)轭}目要求男生人數(shù)比女生多幾分之幾，所以用12-8求出男生比女生相差的人數(shù)，然后再用相差人數(shù)÷單位“1”（女生人數(shù)）就行了。

訪談?wù)撸呵竽猩藬?shù)比女生多幾分之幾為什么用除法計(jì)算？

學(xué)生思考片刻：老師教的。

訪談?dòng)涗?：

訪談?wù)撸呵竽猩藬?shù)比女生少幾分之幾為什么用除法計(jì)算？

學(xué)生：要用“多的人數(shù)÷女生人數(shù)”就是男生人數(shù)比女生人數(shù)多幾分之幾。

訪談?wù)撸簽槭裁从贸ㄓ?jì)算就能解決問題？

學(xué)生沉默片刻：就用“相差人數(shù)÷單位‘1’”可以解決問題。

題目2中，訪談回答錯(cuò)誤的學(xué)生，其記錄如下：

訪談?wù)撸杭僭O(shè)男生有3人，女生有6人。我們?cè)趺此隳猩藬?shù)比女生少幾分之幾？

訪談?wù)撸耗敲次覀兯阋凰闩藬?shù)比男生多幾分之幾

訪談?wù)撸簽槭裁催€是？

學(xué)生：男生3人，女生6人，他們相差了3人，所以是。

三、障礙成因分析

(一）相差關(guān)系理解容易，倍比關(guān)系理解難

題目1反映出：有的學(xué)生直接利用求相差數(shù)的方法求分率，有的學(xué)生不理解“求男生人數(shù)比女生多幾分之幾”就是“求男女生相差人數(shù)占女生人數(shù)的幾分之幾”，而僅是套用模型解決問題。為什么學(xué)生容易理解相差關(guān)系應(yīng)用問題，而解決分率關(guān)系應(yīng)用問題取不盡如人意？

相差關(guān)系的比較結(jié)果是“具體量”，是一個(gè)絕對(duì)值，即便是學(xué)齡前兒童，在他們的生活、交往中會(huì)積累大量的有關(guān)相差關(guān)系的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此比較容易理解。倍比關(guān)系的比較結(jié)果是“比率”，是一個(gè)相對(duì)值，盡管三年級(jí)初步接觸分率，但都是以具體物品、平面圖形、長度單位等形象直觀為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)分率，學(xué)生對(duì)分率這個(gè)相對(duì)值接觸少，一直到五年級(jí)下學(xué)期才正式接觸分率，六年級(jí)完整學(xué)習(xí)分率、比的相關(guān)知識(shí)，在觀念上未能完全認(rèn)同，從而導(dǎo)致學(xué)生難以理解分率關(guān)系應(yīng)用問題。

（二）忽視比較標(biāo)準(zhǔn)的重要性

題目2中像這樣解答錯(cuò)誤的比例較高，從學(xué)生的訪談中可知，當(dāng)求相差分率時(shí)，學(xué)生解決問題的思維點(diǎn)落在“相差數(shù)”上，沒有落在“相差數(shù)占比較標(biāo)準(zhǔn)的幾分之幾”上。究其原因，主要是由于學(xué)生對(duì)比較關(guān)系理解不全面而造成的。

兩個(gè)數(shù)量比較，先有比較的標(biāo)準(zhǔn)，然后有比較量、比較結(jié)果。相差關(guān)系中兩量比較關(guān)系句“黃花比紅花多3朵”，亦可表述為“紅花比黃花少3朵”，根據(jù)比較標(biāo)準(zhǔn)不同，采用“…比…多”或“…比…少”的不同表述，但由于“相差關(guān)系”比較結(jié)果是絕對(duì)值，所以不論以哪個(gè)對(duì)象為標(biāo)準(zhǔn)，其比較結(jié)果是相同的，而由于認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生更多地關(guān)注“無論不同表述其數(shù)值都是相差2朵”的直觀表象上，因而把相差關(guān)系的理解壓縮為：黃花和紅花相差2朵。筆者聆聽不同年級(jí)學(xué)生表述兩個(gè)數(shù)量相差關(guān)系時(shí)，許多學(xué)生都表述為：誰和誰相差多少，而教師都沒有及時(shí)糾正學(xué)生的說法，說明教師本身也未意識(shí)到比較標(biāo)準(zhǔn)的重要性。當(dāng)學(xué)生在五、六年級(jí)初次學(xué)習(xí)分率關(guān)系時(shí)，比較容易把“誰和誰相差多少”的舊經(jīng)驗(yàn)簡單地遷移到求相差分率的新知識(shí)上，認(rèn)為兩個(gè)數(shù)量的相差分率都應(yīng)該是一樣的。相差關(guān)系的不同表述、倍率關(guān)系的不同比較結(jié)果都是基于不同比較的標(biāo)準(zhǔn)造成的，而學(xué)生從學(xué)習(xí)“相差關(guān)系”的開始就沒有得到全面的理解，教師的教學(xué)負(fù)有不可推卸的責(zé)任。

（三）從“倍”到“分率”的學(xué)習(xí)時(shí)間跨度太長

我們前面提到分率關(guān)系應(yīng)用問題是倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題的擴(kuò)展，以人教版教材為例，我們列表說明倍數(shù)應(yīng)用問題、分率應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)年段。

分率關(guān)系三年級(jí)上學(xué)期倍數(shù)關(guān)系五年級(jí)上學(xué)期五年級(jí)上學(xué)期 六年級(jí)上學(xué)期1．求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍。2.求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。3.已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)。已知比一個(gè)數(shù)的幾倍多（少）幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)。（教學(xué)目標(biāo)主要是學(xué)習(xí)運(yùn)用代數(shù)思想解決應(yīng)用問題的方法）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾1．求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。2.已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。3.求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少。4.已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)。5.求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾。

從學(xué)習(xí)倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題到學(xué)習(xí)分率關(guān)系的應(yīng)用問題，中間間隔約三年，且四五年級(jí)教材例題、練習(xí)題極少出現(xiàn)關(guān)于倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，除五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾外，到六年級(jí)全面學(xué)習(xí)分率關(guān)系的五種類型應(yīng)用問題，無論是知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)間跨度太大，還是知識(shí)基礎(chǔ)累積上都較少，這些原因使得分率關(guān)系更顯得抽象，不利于從倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題橫向遷移學(xué)習(xí)分率關(guān)系應(yīng)用問題。

四、教學(xué)策略

（一）從“倍數(shù)關(guān)系”到“分率關(guān)系”的類比遷移

倍、分率、百分?jǐn)?shù)、比等概念本質(zhì)同樣是“比率”，在小學(xué)階段，一般當(dāng)比率大于1時(shí)，習(xí)慣說比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的的幾倍（用整數(shù)或小數(shù)表示），當(dāng)比率小于1時(shí)，習(xí)慣說比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的的幾分之幾。由此，教學(xué)可以由倍數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題通過類比、遷移學(xué)習(xí)分率關(guān)系應(yīng)用問題，其教學(xué)策略可如下圖：

（二）從幾何直觀到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

分率是一個(gè)抽象概念，借助幾何直觀能幫助學(xué)生理解概念，借助幾何直觀讓學(xué)生充分理解分率應(yīng)用問題數(shù)量關(guān)系，然后及時(shí)幫助學(xué)生抽象數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)幾何直觀到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化。

如：鵝7只，鴨10只，鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？

通過閱讀與理解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“求鵝只數(shù)是鴨的幾分之幾”就是“求7是10的幾分之幾”，將生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題。然后借助線段圖的幾何直觀理解：以鵝為比較標(biāo)準(zhǔn)，10看做一個(gè)整體，平均分成10份，7就是這個(gè)整體的,解答過程是，教師與學(xué)生一邊分析一邊畫線段圖，過程如下圖。

接著，提供“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的不同情境的數(shù)學(xué)問題，充分讓學(xué)生在畫線段圖中理解解決此類數(shù)學(xué)問題的方法，建立數(shù)學(xué)模型：“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”與“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”都是用“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=倍率”求解，實(shí)現(xiàn)“幾何直觀”向“數(shù)學(xué)模型”的轉(zhuǎn)化。

幾何直觀既有助于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型，也有利于學(xué)生溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。在一定的學(xué)習(xí)時(shí)間積累后，有必要通過變式題進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)模型。如將上題變式為：鵝7只，鴨10只，鵝的只數(shù)比鴨少的幾分之幾？通過線段圖（如下圖）理解與分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“求鵝比鴨少幾分之幾”就是“求鴨鵝相差只數(shù)是鴨的幾分之幾”，能運(yùn)用原有的數(shù)學(xué)模型“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=分率”解決新的數(shù)學(xué)問題。

（三）對(duì)比相差關(guān)系與倍比關(guān)系的異同

隨著學(xué)習(xí)的深入，溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別能促使學(xué)生更精細(xì)地識(shí)別數(shù)學(xué)模型，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。鑒于相差關(guān)系和倍比關(guān)系的相似性和易混淆的特點(diǎn)，將兩類關(guān)系進(jìn)行異同對(duì)比顯得非常迫切與必要。兩類關(guān)系可以設(shè)計(jì)成題組呈現(xiàn)，題組的情境、數(shù)據(jù)應(yīng)簡潔，目的是透過題組抓住知識(shí)本質(zhì)。

如下面的題組：

（1）5米比3米多幾米？

（2）3米比5米少幾米？

（3）5米比3米多幾分之幾

（4）3米比5米少幾分之幾？

先左右題組對(duì)比，設(shè)問：都是求5米比3米多（少）的情況，為什么解決方法不同？從而概括：左題是求相差部分的具體數(shù)量，右題是求相差部分是比較標(biāo)準(zhǔn)的幾分之幾；再進(jìn)行上下題組對(duì)比，可以先對(duì)比左邊兩題，設(shè)問：算式相同、結(jié)果相同，為什么表述不同？從而概括：比較標(biāo)準(zhǔn)不同，表述方式也不同，再對(duì)比右邊兩題，從而突出比較標(biāo)準(zhǔn)的作用。整理如右表。

最后指出：無論是“相差關(guān)系”還是“倍比關(guān)系”，都是兩個(gè)數(shù)量在比較，其數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)都是相同的，都具有比較量、標(biāo)準(zhǔn)量、比較關(guān)系句三要素。

比較關(guān)系數(shù)學(xué)問題是小學(xué)階段應(yīng)用問題的教學(xué)重點(diǎn)之一，學(xué)生在“絕對(duì)量”上的經(jīng)驗(yàn)豐富，而“相對(duì)量”學(xué)習(xí)過程比較抽象，在這樣的現(xiàn)狀下，我們要抓住問題的本質(zhì)原因，有針對(duì)性地通過新舊知的橫向、縱向?qū)Ρ?，利用小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，以數(shù)形結(jié)合為抓手，逐步加深對(duì)“相對(duì)值”的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)上質(zhì)的飛躍。

廣東省廣州市越秀區(qū)東風(fēng)西路小學(xué)）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

課題項(xiàng)目：本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“小學(xué)生運(yùn)用圖形表征進(jìn)行問題解決的干預(yù)性研究”成果之一。課題編號(hào)：2013B034。