王溢然

(江蘇省蘇州中學(xué) 江蘇 蘇州 215007)

試談概率和數(shù)理統(tǒng)計知識的教學(xué)功能

王溢然

(江蘇省蘇州中學(xué) 江蘇 蘇州 215007)

在簡述概率與數(shù)理統(tǒng)計概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)實際指出了它們在中學(xué)物理中主要的教學(xué)功能.

概率 數(shù)理統(tǒng)計 教學(xué)功能

數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎(chǔ)，研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.具體地說就是研究怎樣有效地收集、整理有限的資料，并通過數(shù)學(xué)的分析，對實際問題盡可能地做出最可靠的結(jié)論.

概率和數(shù)理統(tǒng)計都是數(shù)學(xué)科學(xué)的分支.當(dāng)前，概率和數(shù)理統(tǒng)計知識在中學(xué)物理中的直接應(yīng)用雖然并不多，但它們卻有著極為重要的教學(xué)意義，應(yīng)該予以足夠的重視.

1 轉(zhuǎn)變觀念

這是概率和數(shù)理統(tǒng)計知識在教學(xué)中最重要的作用.因為在牛頓力學(xué)中，如果知道了一個質(zhì)點的受力情況和初始條件，就可以完全確定它在空間的運動規(guī)律(如運動速度、加速度和軌跡等)，因此，根據(jù)牛頓力學(xué)所得到的是一種確定性規(guī)律.牛頓曾經(jīng)說過這樣的話：“自然界的一切現(xiàn)象，全都可以根據(jù)力學(xué)的原理，用相似的推理一一地演繹出來”.當(dāng)然，牛頓的話具有局限性也是由于時代局限性的緣故.

學(xué)生在力學(xué)部分的學(xué)習(xí)中，對這種確定性規(guī)律會隨著知識內(nèi)容逐漸加深印象.尤其是當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了萬有引力定律后，知道根據(jù)萬有引力理論，可以預(yù)言神出鬼沒的彗星回歸；不需要看天空一眼，就能夠

在筆尖下發(fā)現(xiàn)新的行星…….牛頓力學(xué)的魅力在老師的激情演繹下得到了淋漓盡致的發(fā)揮.這樣，一方面既深深地吸引住了學(xué)生，使他們陶醉于牛頓力學(xué)的偉大成就之中；另一方面“機械決定論”的世界觀、方法論，也在潛移默化中侵襲著學(xué)生的頭腦，甚至?xí)趯W(xué)生的頭腦中扎根.

直到學(xué)習(xí)了麥克斯韋關(guān)于氣體分子的速率分布規(guī)律后，學(xué)生才認識到，對于有大量分子集體運動所表現(xiàn)出來的宏觀特性，是一種或然的結(jié)果，它們并不遵循牛頓力學(xué)的確定性規(guī)律.可以說，這是使學(xué)生第一次從原來的“決定論”的方法，轉(zhuǎn)向以概率論為基礎(chǔ)的“統(tǒng)計”方法，無疑是一種觀念的轉(zhuǎn)變.

2 深化認識

氣體分子運動的速率分布，僅是使學(xué)生初次認識了物質(zhì)運動的“或然”性.以后，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了微觀粒子的波粒二象性后，才會進一步認識到概率分布的意義.

根據(jù)量子力學(xué)的觀點，原子的核外電子并非僅處于有一定半徑的軌道上，而是可以處于原子核外的整個空間，形成“電子云”一樣的分布(圖1).

圖1 電子在核外的分布

長期以來，學(xué)生從接觸到淺顯的科普讀物開始，就對原子結(jié)構(gòu)形成了一個根深蒂固的模型——原子結(jié)構(gòu)像太陽系，中間有一個原子核，電子在原子核外不同的軌道上繞核運動(圖2).如今，這個傳統(tǒng)的原子結(jié)構(gòu)被打破了——電子并沒有確定的軌道，而是呈現(xiàn)一種概率分布規(guī)律.因此，這個觀點可以認為是學(xué)生思想認識上的一次真正的飛躍.

圖2 傳統(tǒng)的原子結(jié)構(gòu)圖

由于微觀粒子具有波粒二象性，因此我們可以用波函數(shù)Ψ描述電子的運動，在離核不同距離處出現(xiàn)電子的概率(幾率)，就由波函數(shù)振幅的平方|Ψ|2決定.圖3中畫出了原子的核外電子軌道和波函數(shù)|Ψ|2所對應(yīng)的關(guān)系[1].可見，原來傳統(tǒng)理論中的核外電子的軌道，只不過是電子出現(xiàn)概率最大的地方.當(dāng)波函數(shù)|Ψ|2有不同的取值時，它可以對應(yīng)著電子的躍遷，并伴隨著一定的輻射或吸收.這里，充分顯示了微觀粒子具有完全不同于宏觀物體的行為.

圖3 原子的核外電子軌道和波函數(shù)|Ψ|2

早在1812年，法國著名數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace)曾經(jīng)預(yù)言：“非常值得注意的是，與游戲中機遇有關(guān)的科學(xué)知識，將會成為人類知識中一門重要的學(xué)科.” 如今，人們都知道以概率為基礎(chǔ)的規(guī)律普遍存在于自然現(xiàn)象之中，并已被人們發(fā)展成非常完美的一門理論.

3 輔助論證

在教學(xué)中，還可以利用概率和統(tǒng)計平均的知識，結(jié)合有關(guān)內(nèi)容作一些輔助性的論證(或計算).這樣，可以使學(xué)生對它們形成更為具體和深刻的認識.中學(xué)物理中常見的有以下內(nèi)容.

3.1 分子的無規(guī)則運動

分子動理論指出，物質(zhì)分子始終不停地做著無規(guī)則的運動.如果一個學(xué)生突發(fā)奇想：既然教室里的空氣分子做的是無規(guī)則運動，那么它們會不會在某個時侯都聚集在教室的某一部分，從而在另一部分呈現(xiàn)“真空”，以致使那邊的人窒息呢？

這是一個很有意思的問題.首先，現(xiàn)實生活中從來沒有發(fā)生過這樣窒息的事，其次，也可以通過對概率的計算證明，不可能產(chǎn)生上述這種情況.

可見，這個概率是如此之小，完全可以認為等于零.也就是說，這個學(xué)生的假設(shè)是不可能產(chǎn)生的.

圖4 教室里的空氣分子

從上述計算所顯示的不可能性，反過來的意思就是說，由于大量分子的無規(guī)則運動，它們在教室里一定是均勻分布的.因此，你在生活中用不著擔(dān)心，房間里的空氣分子絕對不會聚集在一個角落，使你感到窒息的.

3.2 分子運動的平均速率

有的學(xué)生認為，按照平均速率的定義，它應(yīng)該是大量分子無規(guī)則運動速率的算術(shù)平均值，即

由于組成物質(zhì)的分子是如此之多，它們又始終不停地做著無規(guī)則運動，實際情況下是沒有辦法去測定每個分子運動速率的，那么如何知道它們的平均速率呢？這里，麥克斯韋關(guān)于氣體分子的速率分布律就有用武之地了.

1859年，麥克斯韋借助幾率概念，推導(dǎo)出一個有關(guān)氣體分子速率分布的函數(shù)f(v)，其圖像如圖5所示.速率在v→(v+Δv)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比等于曲線與橫軸之間狹條的面積.整個曲線與橫軸之間的面積就等于容器內(nèi)各速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)百分比之和.其值應(yīng)為100%=1，速率在v→(v+Δv)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)ΔN=Nf(v)Δv.顯然，平均速率的計算需要涉及到高等數(shù)學(xué)中的微積分運算.

圖5 某一溫度下速率分布曲線

在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，為了計算某溫度下氣體分子的平均速率，可以借助實驗方法得到的不同速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比例關(guān)系.表1就是教材中列出的在0 ℃和100 ℃時氧分子的速率分布.

表1 氧分子的速率分布

如果需要計算氧分子0 ℃時平均速率，可以先進行簡化[2]：由于分子的無規(guī)則運動，假設(shè)不同速率區(qū)間內(nèi)的分子都以該區(qū)間的中值為平均速率在運動.若對應(yīng)的分子數(shù)以ΔNi表示，總分子數(shù)以N表示，則0 ℃時的不同速率和對應(yīng)的分子數(shù)分別為

ΔN1=1.4%N

ΔN2=8.1%N

ΔN3=17.0%N

……

取

v10=900 m/s ΔN10=0.9%N

1.4%v1+8.1%v2+…+0.9%v10=

423.75 m/s

可見，通常情況下氣體分子平均速率約為幾百米每秒，即其平均速率的數(shù)量級為102m/s.

上述這樣的簡化方法，實際上相當(dāng)于將原來連續(xù)光滑的速率分布曲線轉(zhuǎn)化為常見的條形統(tǒng)計圖(簡稱為直方圖)，如圖6所示[3].

圖6 0 ℃時和100 ℃時氧分子的速率分布直方圖

3.3 理想氣體的壓強

根據(jù)分子動理論，氣體的壓強是由于大量氣體分子無規(guī)則運動碰撞器壁而產(chǎn)生的.這個情況就像密集的雨滴打在傘面上，雖然雨滴對傘面的沖擊力是間斷而不均勻的，感覺上卻像受到持續(xù)的恒力作用一樣.如圖7所示的模擬實驗——密集的小彈子落在秤面上，秤面會顯示某個比較穩(wěn)定的壓力.顯然，氣體的壓強決不是個別分子的作用，而是大量分子共同作用的一種統(tǒng)計平均效果.

圖7 模擬密集的小彈子落在秤面上

沿著這樣的思路，借助統(tǒng)計平均概念，采用力學(xué)方法就可以進一步認識氣體壓強的產(chǎn)生及其大小的決定因素了.

假設(shè)一個正方形密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)粒子數(shù)量n為恒量.為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略，其速率均為v，且與容器各面碰撞的機會均等；與容器碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變.

先考慮一個粒子，它以速率v與器壁發(fā)生彈性碰撞后，以原速率大小v′反彈(圖8).根據(jù)動量定理，這個粒子給器壁的沖量大小為

ΔI=mv′-(-mv)=2mv

圖8 粒子以v′反彈

設(shè)想在器壁上以S為底，以l=vΔt為長作一個柱體(圖9),在這個柱體內(nèi)所包含的粒子總數(shù)為

N=nlS=nvΔtS

圖9 作柱體分析

則器壁受到總的壓力為

所以器壁單位面積受到的壓力大小，即壓強為

這個關(guān)系式實際上就是理想氣體的壓強公式，聯(lián)系了粒子的動能，并考慮到分子的速率大小不同取平均值后，上式可以表示為

式中

稱為平均平動動能，它是物體(氣體)溫度的量度.由此可見，理想氣體的壓強是一個統(tǒng)計平均的結(jié)果，它的大小本質(zhì)上決定于分子密度和平均平動動能.宏觀上，一定質(zhì)量理想氣體的壓強由其溫度和體積所決定.

3.4 布朗運動的分析研究

1872年，英國植物學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)懸浮在水中的花粉微粒始終不停地運動現(xiàn)象后，曾經(jīng)難倒了習(xí)慣于牛頓力學(xué)決定論思想方法的物理學(xué)家.直到幾十年后，人們才認識到布朗運動的原因——由于這些物質(zhì)微粒不斷受到周圍液體分子不均勻碰撞的緣故.那么，怎樣才能對微粒的這種無規(guī)則運動作進一步的量化研究呢？

下面，我們把布朗運動簡化為平面內(nèi)的無規(guī)則運動，采用統(tǒng)計平均的方法作一初步探討[5].

如果把布朗運動中的固體微粒“擬人化”，它的運動極像一個醉鬼走路：某時刻這個醉鬼從廣場某處O(如燈柱)出發(fā)，先朝一個方向走上幾步，然后換個方向再走上幾步，踉踉蹌蹌、曲曲折折，毫無定規(guī)，不斷隨意地改變著方向(圖10).那么如此轉(zhuǎn)折了幾百步后，最終離開燈柱究竟有多遠？

圖10 醉鬼走路

為此，以這個燈柱為坐標原點O，在廣場的水平面內(nèi)建立一個直角坐標系xOy,如圖11(a)所示.

假設(shè)醉漢開始沿直線Oa走幾步到了位置a，線段Oa在兩坐標軸上的投影分別為x1和y1，設(shè)a點離開原點O的距離為R1，如圖11(b)所示，則

接著，醉漢轉(zhuǎn)向走到了位置b，線段ab在兩坐標軸上的投影分別為x2,y2，設(shè)b點離開原點O的距離為R2,如圖11(b)所示，則

由于ab在x軸的投影沿x軸的負方向，式中x2應(yīng)該取負值.

圖11 醉漢離開原點(燈柱)多遠？

假設(shè)醉漢在這個過程中沿著各個不同方向走了N次，各折線段在x軸和y軸上的投影依次為(x1，x2，…，xN)和(y1，y2，…，yN)，離開坐標原點(燈柱)的距離為R(圖12).同理可知，有關(guān)系式

R2=(x1+x2+x3+…+xN)2+

(y1+y2+y3+…+yN)2

式中的那些x，y的正與負，由醉漢行走方向是沿著坐標軸的正方向或負方向決定，也即與醉漢離開燈柱或朝著燈柱走的方向決定.

圖12 醉漢的行走路徑示意圖

由于醉漢的運動完全是無規(guī)則的，當(dāng)N值很大時，可以認為其中取正值的x，y個數(shù)與取負值的x，y個數(shù)大體相同.根據(jù)初等代數(shù)的法則，計算上式中括號內(nèi)各項平方時，應(yīng)該把括號內(nèi)每一項自乘，并用其他各項與之相乘，即

(x1+x2+x3+…+xN)2=(x1+x2+

x3+…+xN)(x1+x2+x3+…+xN)=

因為醉漢的行走完全是隨機的，當(dāng)行走中轉(zhuǎn)身次數(shù)很多時，他向著燈柱走一步和離開燈柱走一步的可能性是相同的，所以在所有交叉項中，數(shù)值相同而符號相反的項可以認為是“成對”出現(xiàn)的，它們相加的結(jié)果正好抵消.于是，上式就可以寫成

(x1+x2+x3+…+xN)2=

這里的x是各段折線在x軸上投影平方的平均值.

同理，對y方向有關(guān)系式

(y1+y2+y3+…+yN)2=

于是，可以得到

R2=N(x2+y2)

或

現(xiàn)在，讓我們從醉鬼走路的研究中再回到布朗運動，在顯微鏡下可以看到懸浮的固體微粒做著完全無規(guī)則的運動，微粒所經(jīng)歷的是一條非常復(fù)雜的曲折路徑.雖然微粒運動的無規(guī)則性甚于醉漢千百倍，從研究方法來說，兩者卻是完全類似的.

1905年，愛因斯坦和波蘭物理學(xué)家斯莫盧霍夫斯基，分別獨立地對布朗運動進行了深入的研究.他們根據(jù)做布朗運動的微粒在每段時間Δt內(nèi)的位移，利用統(tǒng)計平均的方法，從理論上找出了布朗運動中的懸浮粒子不規(guī)則運動的方均根位移公式.根據(jù)這個公式推算出在17 ℃水中的懸浮粒子在1 min里平均位移大約是6 μm.同時，反過來也可以利用所求得的關(guān)系測定阿伏加德羅常數(shù)N，得到的值為

式中λ為微粒的位移，R為氣體常數(shù)，T為絕對溫度，k為粘滯系數(shù)，ρ為微粒半徑[6].后來，法國物理學(xué)家佩蘭和他的同事一起，從1908年到1910年花費了約三年的時間，通過艱苦卓絕的努力，終于出色地完成了對微粒位置和分布規(guī)律的測量，證明了實驗結(jié)果與愛因斯坦理論的一致性，從而奠定了分子動理論的基礎(chǔ).

對布朗運動研究的成功，可以說是20世紀初剛建立的統(tǒng)計力學(xué)的一項輝煌成果.在布朗運動的研究中所采用的統(tǒng)計平均方法，具有非常典型的意義.它向人們指出，即使在如此復(fù)雜的運動中，利用統(tǒng)計方法同樣可以找出一定的規(guī)律性.

1 吳翔.文明之源.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001

2 王溢然，束炳如.中學(xué)生物理思維方法叢書：數(shù)學(xué)物理方法.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2016

3 束炳如，何潤偉.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3-3.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?005

4 2013年北京高考物理試題

5 王溢然，束炳如.中學(xué)生物理思維方法叢書：形象·抽象·直覺.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2016

6 蔣長榮，王驍勇，劉樹勇.愛因斯坦與布朗運動.首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005，26(3)：28～32

王溢然(1938- ),男，江蘇省物理特級教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)思維方法研究和新課標教材編寫等工作.

2016-07-26)