中南大學(xué)商學(xué)院 黃生權(quán) 李玲芝

新興技術(shù)項(xiàng)目投資時(shí)機(jī)受限時(shí)的投資規(guī)模與時(shí)機(jī)研究
——基于期權(quán)博弈理論

中南大學(xué)商學(xué)院 黃生權(quán) 李玲芝

本文依據(jù)實(shí)物期權(quán)理論與新興技術(shù)項(xiàng)目特征，修改投資機(jī)會(huì)永生這一不合理的假設(shè)，并引入投資規(guī)模的靈活性，求解出競(jìng)爭(zhēng)條件下企業(yè)角色外生與內(nèi)生決定時(shí)的追隨者與領(lǐng)先者的投資規(guī)模與投資時(shí)機(jī)決策模型。且細(xì)分了企業(yè)角色內(nèi)生決定時(shí)先后投資與共謀投資的均衡博弈與抉擇概率，并給出了追隨者與領(lǐng)先者相應(yīng)的決策解析式。然后利用對(duì)比分析與算例運(yùn)算，在證實(shí)模型可行性的基礎(chǔ)上深入分析了投資時(shí)限對(duì)企業(yè)新興技術(shù)項(xiàng)目投資決策的影響，發(fā)現(xiàn)不同情形下投資時(shí)限對(duì)企業(yè)新興項(xiàng)目投資決策的影響規(guī)律均不同。

投資時(shí)機(jī) 投資規(guī)模 投資時(shí)限 期權(quán)博弈

一、引言

新興技術(shù)包括新能源、新材料、新一代信息與生物技術(shù)等，它的產(chǎn)生代表了科技的革新，有利于國(guó)家擺脫傳統(tǒng)粗放型增長(zhǎng)方式，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)合理化與高級(jí)化。但新興技術(shù)項(xiàng)目在帶來(lái)高回報(bào)的同時(shí)也伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，所以其投資成為了當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。目前，關(guān)于新興技術(shù)項(xiàng)目最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的研究采用實(shí)物期權(quán)法的比較多，但是實(shí)物期權(quán)模型的最大缺陷是其假定前提為投資規(guī)模保持不變。如Huisman和Kort（2003），Mason和Weeds（2010），吳建祖和宣慧玉（2006），夏軼群和陳俊芳（2009）等的研究。已有成果中同時(shí)研究投資時(shí)機(jī)與規(guī)模的文章不多，且基本上只針對(duì)單個(gè)企業(yè)，未引入競(jìng)爭(zhēng)。如Chen（2009）通過(guò)實(shí)物期權(quán)研究了企業(yè)在各學(xué)習(xí)曲線階段的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)與規(guī)模。Hagspiel等（2010）在產(chǎn)出規(guī)模可變情形下，利用線性與非線性需求函數(shù)分析了投資時(shí)機(jī)與規(guī)模。Guthrie（2012）在投資不確定條件下，研究了規(guī)模經(jīng)濟(jì)性如何影響企業(yè)的投資規(guī)模。Della（2012）研究了邊際成本下降時(shí)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)與規(guī)模。Sarkar（2011），Nishihara和Shibata（2012a），Belhaj和Klimenko（2012），Knudsen（2013）探討了企業(yè)在融資約束條件下的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)與規(guī)模。已有成果中基于期權(quán)博弈視角同時(shí)研究投資時(shí)機(jī)與規(guī)模的更少，Goyal和Netessine（2007）研究了競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下兩家企業(yè)對(duì)投資技術(shù)，投資規(guī)模以及產(chǎn)出規(guī)模的最優(yōu)選擇。Huisman和Kort（2011）分析了壟斷以及雙寡頭條件下的企業(yè)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)與規(guī)模，并強(qiáng)調(diào)威脅的暫時(shí)性，且領(lǐng)先者為了維持壟斷地位更傾向于過(guò)度投資。陽(yáng)軍（2012）在不確定條件下從期權(quán)博弈的角度以及產(chǎn)出規(guī)?？勺兣c否等多種情形下探討了項(xiàng)目的投資時(shí)機(jī)與規(guī)模。

上述研究中均假設(shè)投資機(jī)會(huì)永生，而新興技術(shù)更新?lián)Q代快，產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期短，項(xiàng)目投資時(shí)間一般有限，所以現(xiàn)有模型不能解決新興技術(shù)項(xiàng)目投資決策問(wèn)題。盡管Zhang B（2012）研究了項(xiàng)目投資時(shí)間受限時(shí)，最佳投資規(guī)模與投資時(shí)機(jī)。魯皓（2012）以新興技術(shù)項(xiàng)目投資為背景，在投資時(shí)間受限條件下，建立了企業(yè)新興技術(shù)項(xiàng)目的實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，但未將競(jìng)爭(zhēng)引入到?jīng)Q策模型中，不切合實(shí)際情況。因此目前還缺乏基于期權(quán)博弈理論，投資時(shí)間受限情形下的新興技術(shù)項(xiàng)目最佳投資時(shí)機(jī)與規(guī)模的研究。本文在此背景下，將投資時(shí)限變量引入期權(quán)博弈模型，從企業(yè)角色內(nèi)外生決定的角度同時(shí)研究新興技術(shù)項(xiàng)目投資時(shí)機(jī)與投資規(guī)模，并深入探討投資時(shí)限對(duì)投資決策的影響，為企業(yè)投資新興技術(shù)項(xiàng)目提供參考。

二、模型構(gòu)建與求解

本文作如下假定：（1）企業(yè)都是理性的，進(jìn)行投資時(shí)追求利益最大化，且持風(fēng)險(xiǎn)中性態(tài)度；（2）市場(chǎng)上在兩個(gè)企業(yè)，領(lǐng)先者的投資規(guī)模為QL（t），追隨者的投資規(guī)模為QF（t）（簡(jiǎn)稱(chēng)為QL，QF），且投產(chǎn)后規(guī)模不變，兩家企業(yè)單位產(chǎn)出所需投資資本為δ；（3）假定企業(yè)面臨的新興技術(shù)產(chǎn)品價(jià)格受外生及內(nèi)生作用共同因素影響，用P（t）表示t時(shí)刻的市場(chǎng)價(jià)格，滿足：

式中η為常數(shù)，η（QL+QF）為生產(chǎn)容量反需求函數(shù)，指內(nèi)生性因素對(duì)市場(chǎng)價(jià)格的影響，X（t）為單位時(shí)間收益流，指外生性因素的隨機(jī)沖擊影響，服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，滿足：

μ為收益流的瞬間增長(zhǎng)率，σ表示X（t）的瞬間波動(dòng)率，dW（t）為標(biāo)準(zhǔn)增量過(guò)程。假定新興技術(shù)項(xiàng)目的貼現(xiàn)率為r。

（一）投資時(shí)間受限情形下企業(yè)角色外生決定時(shí)投資規(guī)模與時(shí)機(jī)分析企業(yè)角色外生決定時(shí)，領(lǐng)先者已率先完成投資，追隨者的投資決策對(duì)領(lǐng)先者產(chǎn)生不了影響，引入競(jìng)爭(zhēng)，領(lǐng)先者投資決策會(huì)考慮追隨者的反應(yīng)，且會(huì)對(duì)追隨者的投資決策產(chǎn)生影響，二者處于均衡狀態(tài)時(shí)會(huì)在最優(yōu)值處投資。本文采用逆向歸納法求解，即先求解追隨者在領(lǐng)先者完成投資后的最優(yōu)投資規(guī)模與時(shí)機(jī)，再根據(jù)追隨者決策，逆向獲得領(lǐng)先者的最優(yōu)投資決策。

（1）追隨者最優(yōu)投資規(guī)模與時(shí)機(jī)求解。假定T是新興技術(shù)項(xiàng)目可持續(xù)時(shí)間，TF是追隨者等待投資的時(shí)間，追隨者投資價(jià)值為：

在收益流不確定的影響下，使投資機(jī)會(huì)價(jià)值最大化。利用積分性質(zhì)，對(duì)式（3）變形分解：

經(jīng)計(jì)算得追隨者可獲得的新興技術(shù)項(xiàng)目的投資價(jià)值為：

其中B1是待定的常數(shù)，β=β1。當(dāng)收益流從零開(kāi)始，首次達(dá)到或者超過(guò)投資閾值時(shí)，即存在一個(gè)，當(dāng)首次實(shí)現(xiàn)X≥X*F時(shí)，企業(yè)可以選擇投資從而擁有項(xiàng)目預(yù)期價(jià)值，也可以選擇等待擁有期權(quán)價(jià)值，所以當(dāng)X=X*F時(shí)，滿足價(jià)值匹配條件與平滑粘貼條件:

（3）投資時(shí)限對(duì)決策的影響分析。投資機(jī)會(huì)永生時(shí)企業(yè)投資新興技術(shù)項(xiàng)目前擁有的等待期權(quán)是永久美式期權(quán)，投資后能無(wú)期限的享有投資收益。其最佳投資決策為：

結(jié)合投資機(jī)會(huì)永生與投資時(shí)間受限條件下的決策結(jié)果，來(lái)比較分析投資時(shí)限T對(duì)新興技術(shù)項(xiàng)目投資的影響。用下標(biāo)1，2來(lái)分別代表投資機(jī)會(huì)永生和投資時(shí)機(jī)受限，以示區(qū)別。結(jié)論1投資時(shí)限的存在將加速領(lǐng)先者投資，對(duì)其投資規(guī)模不產(chǎn)生影響。證明投資時(shí)機(jī)以投資閥值表示，則比較投資機(jī)會(huì)永生與投資時(shí)間受限時(shí)投資閥值大?。?/p>

結(jié)論2表明，追隨者對(duì)市場(chǎng)上已有且壽命有限的新興技術(shù)項(xiàng)目的投資比較慎重：若項(xiàng)目時(shí)限較短且價(jià)值相對(duì)較小，追隨者會(huì)因考慮財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)而持觀望態(tài)度，且控制投資規(guī)模；僅當(dāng)T取某臨界值時(shí)，追隨者為爭(zhēng)取更多獲利時(shí)間，才會(huì)傾向于加速投資，增大投資規(guī)模。

（4）算例分析。下面用數(shù)值來(lái)分析T的變動(dòng)對(duì)投資時(shí)機(jī)與規(guī)模的影響。結(jié)合新興技術(shù)項(xiàng)目高收益高風(fēng)險(xiǎn)的特征，令其收益流的瞬間增長(zhǎng)率μ=0.08、瞬間波動(dòng)率σ=0.2，預(yù)期收益率r=0.25，單位投資成本δ=100以及η=0.1。圖1，圖2顯示了投資時(shí)機(jī)和規(guī)模隨T增加的變動(dòng)趨勢(shì)：圖1顯示，領(lǐng)先者投資閥值曲線有個(gè)拐點(diǎn)，對(duì)應(yīng)T值為3.31，當(dāng)T＜3.31年時(shí)，隨著T增加領(lǐng)先者將遲延投資，T≥3.31則情況相反。同樣從圖1可知，當(dāng)T→→4時(shí)，追隨者的投資閥值為負(fù)無(wú)窮大，即不會(huì)投資該項(xiàng)目，而當(dāng)T≥4，隨著T值增加，追隨者將提前投資。因?yàn)楫?dāng)T小于臨界值，項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)極可能超過(guò)預(yù)期，企業(yè)會(huì)傾向于等待。而當(dāng)隨著T增加，項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)逐漸在承受范圍之內(nèi)，企業(yè)將會(huì)搶先投資來(lái)獲取更多壟斷利潤(rùn)。圖2顯示，領(lǐng)先者投資規(guī)模不受投資時(shí)限影響，而追隨者投資規(guī)模與T值反向變化。因?yàn)楫?dāng)T越大，其他條件不變時(shí)，追隨者面臨的風(fēng)險(xiǎn)降低，將加速投資，另一方面，新興技術(shù)項(xiàng)目技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)大，但隨著市場(chǎng)已有項(xiàng)目的運(yùn)行，技術(shù)的可行性、可替代性以及適用性信息越來(lái)越多，投資風(fēng)險(xiǎn)降低，所以企業(yè)在較長(zhǎng)的項(xiàng)目壽命內(nèi)，會(huì)選擇較小規(guī)模投資，當(dāng)技術(shù)趨于成熟后再擴(kuò)增規(guī)模。因而T越大，追隨者起初投資規(guī)模越小。

圖1 投資閥值與T關(guān)系

圖2 投資規(guī)模與T關(guān)系

（二）投資時(shí)間受限下企業(yè)角色內(nèi)生決定時(shí)最優(yōu)投資規(guī)模與時(shí)機(jī)解析企業(yè)若角色是內(nèi)生決定表示領(lǐng)先者事先不確定，市場(chǎng)上存在的兩企業(yè)角色對(duì)稱(chēng)，投資策略也對(duì)稱(chēng)。存在兩種情形：一是兩企業(yè)同時(shí)投資，二是投資者受先占優(yōu)勢(shì)驅(qū)動(dòng)，在后投資者進(jìn)入市場(chǎng)前壟斷市場(chǎng)，當(dāng)領(lǐng)先者投資后，追隨者伺機(jī)投資追求與領(lǐng)先者相同的價(jià)值。

（1）先后投資均衡最優(yōu)投資策略求解與數(shù)值分析。首先了解領(lǐng)先者的投資過(guò)程和意向投資閾值。因占有搶先優(yōu)勢(shì)，兩企業(yè)將出現(xiàn)無(wú)限博弈與循環(huán)，且其終點(diǎn)是一個(gè)企業(yè)認(rèn)為不搶先也能獲取相同的價(jià)值。此時(shí)最優(yōu)投資策略是：當(dāng)VBL=VBF時(shí)，一個(gè)企業(yè)勇于開(kāi)拓，成為領(lǐng)先者，另一個(gè)追隨其后。依據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，有VAL=VBF=VBL=VAF。在區(qū)間0＜X＜內(nèi)有唯一的使追隨者獲取與領(lǐng)先者相同的價(jià)值，即：

內(nèi)生條件下領(lǐng)先者立即投資具有時(shí)限的新興技術(shù)項(xiàng)目獲取的投資價(jià)值為：

與上文設(shè)定相同的參數(shù)值設(shè)定r=0.25，δ=100，η=0.1，μ=0.08，σ=0.2，對(duì)上述公式進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)T=2時(shí)，在設(shè)定的數(shù)字條件下b＜0，即追隨者不會(huì)進(jìn)行投資，不滿足模型基本假設(shè)，所以舍去該值，從T=3開(kāi)始分析具體投資決策，當(dāng)投資時(shí)限為4以及更大時(shí)，間隔設(shè)定為兩年，通過(guò)計(jì)算得到具體結(jié)果如表1所示。上表顯示，隨著T增加，領(lǐng)先者的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)呈現(xiàn)出先上升后下降趨勢(shì)，在T接近6時(shí)，達(dá)到最大值。就是說(shuō)當(dāng)T小于設(shè)定的數(shù)值，企業(yè)獨(dú)斷優(yōu)勢(shì)小，領(lǐng)先者因考慮風(fēng)險(xiǎn)會(huì)推遲投資。領(lǐng)先者投資規(guī)模與投資時(shí)機(jī)的趨勢(shì)大致相同，在T接近于6時(shí)達(dá)最大。當(dāng)T＞16時(shí)，領(lǐng)先者的投資時(shí)機(jī)與規(guī)模對(duì)T的變化表現(xiàn)微弱，因?yàn)楫?dāng)項(xiàng)目達(dá)到一定運(yùn)營(yíng)年數(shù)，企業(yè)能較好控制項(xiàng)目本身與市場(chǎng)的發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)不再是主要控制變量。追隨者投資決策受T的影響單一：?jiǎn)握{(diào)遞減，但是變化程度由急變緩。同時(shí)可以看出，由于沒(méi)有先行優(yōu)勢(shì)，追隨者的投資決策對(duì)T的敏感性很強(qiáng)。而隨著新興技術(shù)項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)年數(shù)增加到一定數(shù)目，追隨者與領(lǐng)先者面臨的市場(chǎng)環(huán)境差別不大，所以二者并不太關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)不可控度，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可以從平緩的變化過(guò)程看出。

表1 均衡最優(yōu)投資決策數(shù)值計(jì)算

（2）同時(shí)投資的博弈均衡分析。放寬約束條件，兩企業(yè)同時(shí)投資。若沒(méi)有一個(gè)企業(yè)一定要成為領(lǐng)先者，在＜＜下可能出現(xiàn)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資，只是若同時(shí)投資未達(dá)到最優(yōu)均衡，兩個(gè)企業(yè)獲取的價(jià)值會(huì)小于先后投資中任一方獲取的價(jià)值，但是這種可能性是存在的。Huisman和Kort（2011）運(yùn)用混合策略求解了企業(yè)處于＜X0＜時(shí)兩個(gè)企業(yè)同時(shí)進(jìn)行投資的概率。

假定在Xt＜θ時(shí)，兩企業(yè)都認(rèn)為應(yīng)觀望等待，在Xt=θ時(shí)是兩企業(yè)同時(shí)進(jìn)行投資，用C（Xt，θ）表示。排除一個(gè)企業(yè)偏離均衡事先成為領(lǐng)導(dǎo)企業(yè)，而另一個(gè)企業(yè)等待另一個(gè)最優(yōu)時(shí)機(jī)選擇投資，成為追隨者。當(dāng)所有Xt∈｛Xt∈A∶A?（0，｝都會(huì)有C（Xt，Q）＞VL（Xt，Q）時(shí)，共謀投資才會(huì)成為是完美納什均衡。借鑒上文中追隨者價(jià)值函數(shù)的求解過(guò)程：

通過(guò)對(duì)比魯皓求解出的完全壟斷市場(chǎng)上單個(gè)企業(yè)的投資決策結(jié)果XM，QM發(fā)現(xiàn)，此處XL=XF=XM，QF=QL=1/2QM，說(shuō)明當(dāng)市場(chǎng)存在兩個(gè)企業(yè)同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)，并共謀時(shí)，投資時(shí)機(jī)不變，只是投資規(guī)模減半，因而投資利潤(rùn)減少一半，為VM=1/2VM=δ/2η（β1+1）（β1-1），VM不受投資時(shí)限T的影響。同樣將r=0.25，δ=100，η=0.1，μ=0.2，代入VM，得VM=111.72，與表1對(duì)比，VM＞V。因此通過(guò)算例分析進(jìn)一步證實(shí)對(duì)所有Xt∈｛Xt∈A∶A?（0，X*F）｝均有C（Xt，Q）＞VL（Xt，Q），因而共謀投資是一個(gè)完美納什均衡。

三、結(jié)論

本文結(jié)合已有的投資機(jī)會(huì)永生條件下投資時(shí)機(jī)與投資規(guī)模的實(shí)物期權(quán)模型，修改模型中投資機(jī)會(huì)永生這一假設(shè)，將期權(quán)博弈理論與實(shí)物期權(quán)理論相結(jié)合，動(dòng)態(tài)分析企業(yè)角色外生決定、企業(yè)角色內(nèi)生決定中的先后投資與同時(shí)投資的博弈均衡過(guò)程，給出了對(duì)稱(chēng)以及不對(duì)稱(chēng)雙寡頭博弈過(guò)程中如何進(jìn)行抉擇以及抉擇的概率。構(gòu)建了適用于投資時(shí)間受限的的新興技術(shù)項(xiàng)目的多種競(jìng)爭(zhēng)情形下企業(yè)同時(shí)選擇投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模的期權(quán)博弈模型，并求解了各種情形下的投資決策表達(dá)式。本文的研究能在一定程度上為企業(yè)依據(jù)自身所處市場(chǎng)環(huán)境抉擇新興技術(shù)項(xiàng)目投資方案提供一定參考，但是也存在許多不足，比如忽略了投產(chǎn)后企業(yè)產(chǎn)出規(guī)模的可變性，這也是今后值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

［1］吳建祖、宣慧玉：《不完全信息條件下企業(yè)R&D最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的期權(quán)博弈分析》，《系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐》2006年第4期。

［2］夏軼群、陳俊芳：《技術(shù)不確定的研發(fā)項(xiàng)目投資時(shí)機(jī)期權(quán)博弈分析》，《科研管理》2009年第2期。

［3］陽(yáng)軍、孟衛(wèi)東、熊維勤：《不確定條件下最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模決策》，《系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐》2012年第4期。

［4］魯皓、張宗益：《風(fēng)險(xiǎn)對(duì)新技術(shù)項(xiàng)目最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的影響》，《系統(tǒng)工程》2011年第2期。

［5］高強(qiáng)：《期權(quán)博弈理論在企業(yè)項(xiàng)目投資中的應(yīng)用》，南京航空航天大學(xué)2003年碩士學(xué)位論文。

［6］殷寶?。骸都夹g(shù)創(chuàng)新投資決策的期權(quán)博弈方法研究》，華中科技大學(xué)2005年博士學(xué)位論文。

［7］Huisman K J M，Kort P M.Strategic Investment in Technological Innovations.European Journal of Operational Research，2003.

［8］MasonR，WeedsH.Investment，Uncertaintyand Pre-emption.International Journal of Industrial Organization，2010.

［9］Chen M Y，Chen C C.Options Analysis and Knowledge Management:Implications for Theory and Practice.Information Sciences，2011.

［10］Hagspiel V，Huisman K J M，Kort P M.Production Flexibility and Capacity Investment under Demand Uncertainty. Center for Quantitative Methods Eindhoven，Tilburg University，University of Antwerp，2010.

［11］Guthrie G.Uncertainty and the Trade-off between Scale and Flexibility in Investment.Journal of Economic Dynamics and Control，2012.

［12］Della SM，Gryglewicz S，Kort P M.Optimal Investment in Learning-Curve Technologies.Journal of Economic Dynamics and Control，2012.

［13］Sarkar S.Optimal Size，Optimal Timing and Optimal Financing of an Investment.Journal of Macroeconomics，2011.

［14］Nishihara M，Shibata T.The Effects of External Financing Costs on Investment Timing and Sizing Decisions. Journal of Banking&Finance，2013.

［15］Belhaj M，Klimenko N.On the Role of External FinancingCostsinOptimalInvestmentDecisions.Amse Working Papers，2012.

［16］Knudsen AS，Birkwald N.Investment Timing and the Effects of Incorporating Investment Sizing.Aarhus University，2013.

［17］Goyal M，Netessine S.Strategic Technology Choice andCapacityInvestmentunderDemandUncertainty. Management Science，2007.

［18］ZhangB.EffectofFiniteProjectLifetimeon Investment Time and Capacity choice.Tilburg University，2012.

［19］WatanabeK，TakayasuH，TakayasuM.Random Walker in Temporally Deforming Higher-Order Potential Forces Observed in a Financial Crisis.Physical Review，2009.

［20］Huisman K J M，Kort P M.Effects of Strategic Interactions on the Option Value of Waiting.Social Science Electronic Publishing，1999.

（編輯 彭文喜）