從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍

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從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍

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在小學(xué)數(shù)學(xué)里，我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)、圖形與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)三方面的知識，在數(shù)的研究上，重點(diǎn)是數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算，所以小學(xué)數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡稱為“算術(shù)”.進(jìn)入初中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，知識板塊由原來的三個變成代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率四個，在數(shù)的研究上，從小學(xué)的算術(shù)數(shù)上升到了初中的代數(shù).初中代數(shù)需要經(jīng)歷三次飛躍，其中，第一次是從小學(xué)的算術(shù)數(shù)引進(jìn)負(fù)數(shù)變成有理數(shù)，完成數(shù)擴(kuò)充的飛躍，第二次是從小學(xué)具體的數(shù)引進(jìn)抽象的字母，用字母代替數(shù)，從特殊到一般，完成數(shù)到式的飛躍，所以初中數(shù)學(xué)的這塊內(nèi)容可以簡稱為“代數(shù)”.由此可以看出，第3章《代數(shù)式》是小學(xué)算術(shù)與初中代數(shù)的分水嶺，也是同學(xué)們在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中必須跨越的第二道坎.那么如何才能學(xué)好本章內(nèi)容呢？

一、掌握概念本質(zhì)是基礎(chǔ)

本章中涉及如下幾個重要概念：一是“代數(shù)式”；二是“單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式”與“整式”；三是“代數(shù)式的值”；四是“同類項(xiàng)”.

用加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算符號把數(shù)與表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.從這個定義中可以看出，在式子中只能出現(xiàn)“數(shù)”“字母”“運(yùn)算符號”三者，一旦出現(xiàn)等于號或不等號，就不是代數(shù)式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.整式是屬于代數(shù)式中的比較簡單的一類，整式一定是代數(shù)式，但代數(shù)式不一定是整式，代數(shù)式與整式是一般與特殊的關(guān)系.

只有數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項(xiàng)式；幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式都屬于整式，它們與整式也是特殊與一般的關(guān)系，單項(xiàng)式是最簡單的代數(shù)式.對于單項(xiàng)式有系數(shù)與次數(shù)的概念；對于多項(xiàng)式有項(xiàng)、次數(shù)的概念，因?yàn)槎囗?xiàng)式的項(xiàng)是一個單項(xiàng)式，所以還有項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的次數(shù)的概念.

用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.用字母表示數(shù)就產(chǎn)生了代數(shù)式，讓“數(shù)”的問題走向“式”的問題，包括“式的認(rèn)識”與“式的計(jì)算”；而代數(shù)式的值是讓字母回歸到具體的數(shù).代數(shù)式與代數(shù)式的值正好完成了“從特殊到一般”，再“從一般回到特殊”的完整過程.

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).項(xiàng)是針對多項(xiàng)式而言的，實(shí)際上就是幾個單項(xiàng)式，所以，同類項(xiàng)只會出現(xiàn)在多項(xiàng)式中.需要注意的是兩個“相同”的條件必須同時滿足，才能確定為同類項(xiàng).

二、掌握思想方法是關(guān)鍵

本章中隱含了許多非常重要的思想方法.用字母表示數(shù)本身就是“字母代數(shù)”思想，又體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想；由于引進(jìn)了字母，字母具有一般性，所以在研究代數(shù)式的問題中，往往需要“分類討論”；在求解代數(shù)式的值時，有時需要用到“整體思想”，包含整體代入、整體求解等方法；在研究單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)時，往往需要用到“方程思想”.

例1 我們知道：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52…根據(jù)前面各式規(guī)律，可以猜測：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=.（其中n為自然數(shù)）.

【分析】本題是一個規(guī)律探索題，在前面的學(xué)習(xí)中多次遇到，在本章再來研究，可以加深對“字母表示數(shù)”的理解.我們發(fā)現(xiàn)等號的左邊全是連續(xù)奇數(shù)相加的式子，右邊正好是奇數(shù)個數(shù)的平方，這樣用字母表示數(shù)，從特殊到一般，所求左邊式子是n個連續(xù)奇數(shù)的和，就可以得出右邊式子是n2的結(jié)論.

例2 已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)， ||x=1，求代數(shù)式a+b+x2-cdx的值.

【分析】因?yàn)閍、b互為相反數(shù)，所以a+b=0，因?yàn)閏、d互為倒數(shù)，所以cd=1，因?yàn)?||x=1，這里的x可正可負(fù)，需要進(jìn)行分類討論，x=±1，所以代數(shù)式a+b+x2-cdx的值為0或者2.

例3 已知代數(shù)式3x2-4x+6的值為9，求x2-x+6的值.

【分析】因?yàn)?x2-4x+6=9，從等式中無法直接求出x的值，所以可以從整體的角度思考，得到3x2-4x=3，從而x2-x=1，把這個式子整體代入x2-x+6，求出代數(shù)式x2-x+6的值為7.

例4 關(guān)于x的多項(xiàng)式（m-2）x4-xn+x-1是二次三項(xiàng)式，求m，n的值.

【分析】這里是關(guān)于x的代數(shù)式，所以，應(yīng)該把m、n作為待定字母.由多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)的定義可知，m-2=0，并且n=2，此處根據(jù)定義得出m-2=0就體現(xiàn)了方程思想，所以m=2，n=2.

三、掌握解題策略是保障

本章中的題目類型主要有如下幾類.

第一類是列代數(shù)式.此類問題本質(zhì)上是把通用的文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)獨(dú)有的符號語言，在列代數(shù)式的過程中，要遵循先讀先寫的原則，并且嚴(yán)格按照代數(shù)式的書寫規(guī)定進(jìn)行，此處不再舉例.

第二類是關(guān)于單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、代數(shù)式等相關(guān)概念的認(rèn)識.

例5 如果關(guān)于x，y的單項(xiàng)式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項(xiàng)式.

（1）求（7a-22）2017的值；（2）若 2mxay-5nx2a-3y=0，求（2m-5n）2018的值.

【分析】關(guān)于x，y的單項(xiàng)式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項(xiàng)式，說明這兩個單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，可以合并進(jìn)行整式減法運(yùn)算.根據(jù)同類項(xiàng)的定義，得2a-3=a，所以a=3.（1）由a=3，知（7a-22）2017=（-1）2017=-1；（2）因?yàn)?mxay-5nx2a-3y=0，說明這兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，可以合并進(jìn)行減法運(yùn)算，所以2m-5n=0，故（2m-5n）2018=0.

第三類是利用直接代入法或間接代入法（整體）求代數(shù)式的值.此類問題只要嚴(yán)格按照解題步驟，特別需要注意把哪個式子作為一個整體，如上面的例3.

第四類是根據(jù)同類項(xiàng)的概念，利用去括號等步驟合并同類項(xiàng)，進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.這類問題是程序性操作問題，課本上都有規(guī)范的解決問題的例子，只要嚴(yán)格按照先去括號、再根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則合并同類項(xiàng)，直到整式中沒有同類項(xiàng)可以合并就可以了.

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