張麗華

頑癥還需下良藥

張麗華

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識，它既是重點又是難點，更是中考熱點之一，解題時稍有疏忽就會出現(xiàn)錯誤.下面我們來對典型“頑癥”加以剖析，找到“對癥”的“良藥”，讓我們走出“屢做屢錯”的困境.

頑癥一：忽略二次項系數(shù)a≠0，導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴大

例1（2016·宜興二模）如果方程（m-3）xm2-7-x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么m的值為（）.

A.±3B.3C.-3D.都不對

【病癥】令m2-7=2得m=±3，選A.

【病因】做題時只關(guān)注了“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”，忘了一元二次方程的定義要求二次項系數(shù)不為0.應(yīng)選C.

例2（2017·寧夏）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2+3x-2=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是_______.

【病癥】a≥-

【病因】仍是只考慮了“判別式Δ≥0時有實數(shù)根”，忽略了一元二次方程的定義要求“a-1≠0”，即a≥-且a≠1.

【良藥】這類“頑癥”都需充分理解一元二次方程的定義，如果給出的方程二次項系數(shù)含有字母，切記“二次項系數(shù)不能為0”這一條件.

頑癥二：對基本解法一知半解，導(dǎo)致錯解

例3（2017·德州）方程3x（x-1）=2（x-1）的解為________.

【病癥】將方程的兩邊同時除以（x-1）得x=

【病因】在解一元二次方程時，不能在方程的兩邊同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，否則會出現(xiàn)漏根現(xiàn)象.

【良藥】按照解一元二次方程步驟：先移項，后分解因式，得到（x-1）（3x-2）=0，推出方程x-1=0或3x-2=0，求出方程的解x1=1，x2=

例4（2015·遼陽期中）一元二次方程4x2-x=1的解為_______.

【病癥】運用公式法，因為Δ=（-1）2-4× 4×1＜0，所以原方程無解.

【病因】用公式法解一元二次方程，必須先把方程化為一般式ax2+bx+c=0（a≠0），如果沒有理解這一點胡亂套用公式，解方程時就會造成錯誤.

【良藥】重視用公式法解方程的前提，先將方程化成一般式4x2-x-1=0，由Δ=（-1）2-4×4×（-1）=17，得方程特別要關(guān)注方程的形式特征，才能正確求解. .解一元二次

頑癥三：未挖掘題目中的隱含條件，導(dǎo)致思考有疏漏

例5（2016·吳江）若（x2+y2）2-4（x2+ y2）-5=0，則x2+y2=_______.

【病癥】令x2+y2=t，用換元法解得t=-1或t=5.

【病因】忽略了x2+y2的非負(fù)性，應(yīng)舍去x2+y2=-1.

【良藥】在用換元法解一元二次方程時，特別要關(guān)注換元整體隱含的取值范圍，初中階段常常涉及“||a≥0，a2≥0，a≥0”的非負(fù)性問題.

例6（2017·呼和浩特）關(guān)于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為（）.

A.2B.0C.1D.2或0

【病癥】由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2==-（a2-2a）=0解得a=0或a=2，選D.

【病因】當(dāng)a=2時，原方程化為x2+1=0，Δ=-4＜0，方程無實數(shù)根.做題時忽略了隱含條件“Δ≥0”這一重要前提.因此選B.

【良藥】在運用根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）解答與一元二次方程的根有關(guān)的問題時，必須挖掘兩大隱含條件：（1）方程必須是一元二次方程，即a≠0；（2）方程必須有實數(shù)根，即Δ≥0.

頑癥四：混淆二次三項式與一元二次方程的配方，導(dǎo)致錯誤

例7（2016·東城一模）用配方法求2a2-4a-1的最小值是_______.

【病癥】2a2-4a-1=a2-2a-=（a2-2a+1）-1-.當(dāng)a=1時，原多項式的最小值是

【病因】一元二次方程配方時，二次項系數(shù)化為1，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；而二次三項式的配方不能除以二次項系數(shù)，而應(yīng)提取二次項系數(shù).

【良藥】2a2-4a-1=2（a2-2a）-1=2（a2-2a+1）-2-1=2（a-1）2-3，當(dāng)a=1時，原多項式的最小值是-3.要注意等式變形與代數(shù)式變形的區(qū)別.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學(xué)校）