王媛

扎根課本借題發(fā)揮

王媛

判定一條直線是圓的切線主要有以下兩種方法：與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

解題時，要根據(jù)已知條件的特征，選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?當(dāng)已知直線過圓上某一點時，則作出過這點的半徑，說明直線垂直于這條半徑，即“作半徑，證垂直”；當(dāng)直線與圓的公共點沒有確定時，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，說明圓心到直線的距離等于半徑，即“作垂直，證半徑”.

（蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第67頁例2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1

【分析】根據(jù)圖形我們可猜測直線AD與⊙O相切，證明直線與圓相切，已知半徑證垂直即可.

【解答】直線AD與⊙O相切.

理由：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°.

又∵∠CAD=∠ABC，∴∠CAD+∠BAC=90°，

即AD⊥AB，

∴直線AD與⊙O相切.

【變式一】（2015·武威）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作直線EF.

（1）如圖2所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件（要求寫出兩種情況）：____________或者____________.

圖2

（2）如圖3所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎?試證明你的判斷.

圖3

【分析】第一問是例題的逆命題.要使EF成為⊙O的切線，已知半徑，添加的條件能使得半徑與EF垂直即可.第二問，將例題的條件“直徑”弱化成“弦”，如果我們將“弦”重新轉(zhuǎn)換成直徑，利用“同弧所對的圓周角相等”，就可以將這道題轉(zhuǎn)化為例題解決.

【解答】（1）∠BAE=90°；∠CAE=∠B.

（2）EF是⊙O的切線.

證明：作直徑AM，連接CM，

圖4

則∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.

∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，

∴EF⊥AM，

∵AM為直徑，

∴EF是⊙O的切線.

【變式二】（2016·宿遷）如圖5，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圓.

圖5

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當(dāng)BD是⊙O的直徑時（如圖6），求∠CAD的度數(shù).

圖6

【分析】看到要證明切線，可以“做半徑，證垂直”，或者“作垂直，證半徑”.此題通過外角性質(zhì)，可將題目條件：“∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3”轉(zhuǎn)化為“∠ABC=∠CAD”，這樣第一問就轉(zhuǎn)化成變式一的第二小問，按同樣的方法可解決問題.第二問利用“直徑所對的圓周角是直角”即可解決問題.

【解答】（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖7所示.

圖7

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°-∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°-∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線.

（2）∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°.

教材中的例題是把我們所學(xué)的知識技能和思想方法聯(lián)系起來的一條紐帶.對一道題目進行條件變換、結(jié)論探索、逆向思考等多角度、多方位的探討，將一個題變?yōu)橐活愵}，可以達到舉一反三、觸類旁通的目的，有利于培養(yǎng)同學(xué)們良好的思維品質(zhì)及探索、創(chuàng)新的能力.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學(xué)）