唐淦海

摘 要：文章基于重慶市排污權交易機制，將嵌入有限理性動態(tài)雙寡頭博弈行為引入斯坦科爾伯格動態(tài)雙寡頭博弈模型，構建了排污權交易機制下的博弈模型，證明了企業(yè)產量調整速度位于穩(wěn)定域內時，可實現(xiàn)斯坦科爾伯格均衡。采用數值仿真證明當企業(yè)產量調整速度和邊際初始排污權交易量增速過快時，經濟系統(tǒng)將會出現(xiàn)倍周期分岔或混沌等復雜動態(tài)。為防止價格增長過快，維持系統(tǒng)穩(wěn)定性，政府等監(jiān)管部門應合理制定排污權交易基準價格及企業(yè)初始排污權，提高企業(yè)污染治理積極性。

關鍵詞：有限理性 排污權交易 奇怪吸引子 分數維

中圖分類號：F127 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2017）01-186-06

一、引言

隨著全球環(huán)境的日益惡化，如何有效防治污染，實現(xiàn)經濟與環(huán)境協(xié)調發(fā)展日漸成為國內外學者普遍關注的話題。為了緩解環(huán)境壓力，環(huán)境保護部門提出了采用經濟手段控制污染物排放總量的管理思路，建立了排污權交易制度（Emission Permits Market Trading Institution）。該制度規(guī)定在區(qū)域污染物環(huán)境總量一定的條件下，賦予企業(yè)污染物排放權力，并允許企業(yè)通過污染治理等方式結余下的排污權可以在排污權交易市場上流通，以期通過市場機制來降低環(huán)境污染治理的社會總成本。

現(xiàn)有研究雖已將排污權嵌入模型，但將非線性動力系統(tǒng)中的混沌理論與動態(tài)寡頭博弈模型相結合，研究動態(tài)寡頭博弈的排污權交易模型的復雜性并不常見，而基于試點城市排污權交易機制的研究更是鮮見報道。本文將排污權價格、邊際初始排污權分配量等因素納入模型，構建延遲有限理性的動態(tài)產量決策斯坦科爾伯格模型，分析基于重慶市排污權交易機制條件下產量調整速度、邊際初始排污權分配量以及排污權價格對模型復雜性的影響。

二、考慮排污權交易機制下有限理性的斯坦科爾伯格雙寡頭動態(tài)模型

假設排污權交易市場上有兩家寡頭企業(yè)，分別為企業(yè)1和企業(yè)2。企業(yè)1處于優(yōu)勢地位。兩企業(yè)存在產量博弈，生產的產品具有差異性。qi（t）表示第i個企業(yè)在t時期內的產量，離散的時間周期用t表示，t時期內兩企業(yè)的總產量用Q（t）q1（t）+q2（t）表示，t=0，1，2…。

假設ei為單位產品污染物排放量，那么企業(yè)污染物排放量可以表示為Ei=eiqi。假設消費者的邊際損失用di表示，且di>0。那么消費者獲得效用函數可表示為：

U（q1，q2）=q0+a1q1+a2q2-■-d1e1q1-d2e2q2（1）

其中，q0表示價格為1的生產中不排放污染物的產品。參數ai>0，bi>0，di>0，ei>0，（i=1，2）。兩種產品的相關程度用γ∈[-1，1]度量。當γ=-1，可完全替代的產品；γ=1，表示完全互補的產品；當γ∈（-1，0），表示不完全替代的產品；當γ∈（0，1），表示不完全互補的產品；當γ=0，表示完全不相關的產品。

企業(yè)i的pi=■=ai-biqi-γqj-diei（i=1，2）。與不考慮污染對消費者的負外部性模型相比，逆需求函數中企業(yè)i的價格函數下降了diei，diei為企業(yè)i生產單位商品對消費者的損害。價格上限用ai-diei表示。產品i價格隨產量增加而下降的數額用bi=-■表示，產品j價格隨產品i產量增加下降的數額用γ=■表示。

假設企業(yè)i的生產成本為規(guī)模報酬遞減或規(guī)模不經濟的二次函數形式：Ci（qi）=ciqi2，污染治理成本為二次函數形式：Mi（qi）=miqi2。政府分配給企業(yè)的初始排污權是和企業(yè)的設計規(guī)模相關的正比例函數KiQi，初始排污權應按市場基準價格有償取得，市場上排污權交易基準價格為P，企業(yè)i考慮生產成本實際排污權交易量為kiqi，且qi

企業(yè)i的利潤函數為：

πi（qi，qj）=（ai-diei-biei-biqi-γqj）qi-ciqi2-miqi2-pkiqi（2）

企業(yè)2的邊際利潤函數為：

■=a2-d2e2-pk2-2（b2+c2+m2）q2-γq1（3）

利潤最大化是企業(yè)追求的目標，則滿足一階條件為零，即■=0?？傻玫狡髽I(yè)2的產量q2的反應函數為：

q2=s2（q1）=■，i，j=1，2，i≠j（4）

其中Ai=bi+ci+mi，i=1，2。

由于企業(yè)1具有先動優(yōu)勢，故企業(yè)1的利潤函數為：

π（q1，q2）=（a1-d1e1-pk1-b1q1-γq2）q1-c1q12-m1q12-pk1q1（5）

由于企業(yè)追求利潤最大化，邊際利潤函數為零可得：

■=a1-d1e1-pk1-γ■-（2AI-■）q1=0（6）

解得q1=■，代入企業(yè)2的反應函數S2（q1），斯坦科爾伯格均衡為E*=（q1*，q2*）：

q1*=■q2*=■（7）

參數需滿足以下條件：

2A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0

（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>0

2A1A2-γ2>0

因此，斯坦科爾伯格均衡E*=（q1*，q2*）具有唯一解。

兩個企業(yè)在產品市場中進行重復的動態(tài)博弈過程，企業(yè)依據歷史數據對其產量決策進行調整。假設兩個企業(yè)作出當期產量決策的依據為前T期邊際利潤，T=1，2，3，……，n，即企業(yè)均為延遲有限理性，可知斯坦科爾伯格有限理性產量決策方程在排污權交易機制下為：

q1（t+1）=■q2（t+1）=■（8）

其中qD=（q1D，q2D），qiD=■qi（t-1）？棕i，l，（i=1，2）。？棕i，l≥0，■？棕i，l=1。

取T=1，則有

q■（t+1）=q■（t）[1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1））-γ（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]（9）

方程組中u，v是企業(yè)1和企業(yè)2的產量調整速度，參數滿足u≥0，v≥0。

斯坦科爾伯格模型的動力系統(tǒng)方程為：

f■（t+1）=q■（t）f■（t+1）=q■（t）q■（t+1）=q■（t）[1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1））-γ（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]（10）

解得四個不動點為：

E■=（0，0，0，0），E■=（0，■，■，0，），

E■=（■，0，

■，0）

E*（q1*，q2*，q1*，q2*）

其中，

q■■=■

q■■=■

參數需要滿足：

4A1A2-2γ2>0，2A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0

（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>0

因此，斯坦科爾伯格均衡點為E*，邊界均衡點分別為E0，E1，E2。

模型的Jacabian矩陣為：

J=0 0 1 00 0 0 1-（2A■-■）（1-？棕■）q■u 0 a■ 0-γ（1-？棕■）q■v -2A■（1-？棕■）q■v -γ？棕■q■v a■（11）

其中：

a■=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（1+？棕■）q■），

a■=1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（1+？棕■）q■-γq■）。

系統(tǒng)不動點的穩(wěn)定性可利用Jacobian矩陣進行討論。

定理1斯坦科爾伯格模型動力系統(tǒng)的邊界均衡不穩(wěn)定。

證明：

J（E■）=0 0 1 00 0 0 10 0 1+u（a■-d■e■-pk■-γ■ 00 0 0 1+v（a■-d■e■-pk■）（12）

J（E■）的特征根為：

？姿1=？姿2=0，？姿3=1+u（a1-d1e1-pk1-γ■）>1

？姿4=1+v（a2-d2e2-pk2）>1。故E0不穩(wěn)定。

J（E1）=0 0 1 00 0 0 10 0 1+u（a■-d■e■-pk■-γ■ 0a■ a■ a■ 1-？棕■v（a■-d■e■-pk■）（13）

其中：

a■=-（1-？棕■）γv■，a■=-2A■（1-？棕■）v■，

a■=-γ？棕■v■

J（E1）的特征根為：

？姿1=0，？姿2=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■）>1，

？姿■=■，

？姿■=■<1

其中：

△1=[1-v？棕■（a■-d■e■-pk■）]2+4（1-？棕■）（a■-d■e■-pk■）≥0。

故E1為鞍點。

J（E■）=0 0 1 00 0 0 1a■ 0 a■ 00 0 0 a■（14）

其中：

a■=-（2A■-■）（1-？棕■）■

a■=1-？棕■u（a■-d■e■-pk■-■），

a■=1+v（（a■-d■e■-pk■）-γ■

J（E2）的特征根為：

？姿1=0

？姿■=1+v（（a■-d■e■-pk■）-■）

？姿■=■

？姿■=■

其中△2=a33+4a31≥0。故E2為鞍點。證明完畢。

討論斯坦科爾伯格模型均衡E*=（q1*，q2*，q1*，q2*）的穩(wěn)定性。

E*點的Jacobian矩陣為：

J（E■）=0 0 1 00 0 0 1-（2A■-■）（1-？棕■）q■■u 0 a■■ 0-γ（1-？棕1）q■■v -2A■（1-？棕■）q■■v -γ？棕■q■■v a■■（15）

其中：

a■=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（1+？棕■）q■■），

a■=1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（1+？棕■）q■■-γq■■）。

特征多項式為：

？姿4+？滋1？姿3+？滋2？姿2+？滋3？姿+？滋4=0

其中：

？滋■=-（a■■+a■■），？滋■=a■■a■■+（2A■-■）（1-？棕■）q■■u+2A■（1-？棕■）q■■v，

？滋■=-[2A■a■■（1-？棕■）q■■v+a■■（2A■-■）（1-？棕■）q■■u]，

？滋■=（1-？棕■）（1-？棕■）（4A■A■-2γ■）q■■q■■uv。

？姿i<1（i=1，2，3，4）的充要條件是如下Jury條件成立：

1+？滋■+？滋■+？滋■+？滋■>01-？滋■+？滋■-？滋■+？滋■>0？滋■<1？滋■-？滋■？滋■<1-？滋■■（1-？滋■■）（？滋■-？滋■？滋■）-（？滋■-？滋■？滋■）（？滋■-？滋■？滋■）<（1-？滋■■）■-（？滋■-？滋■？滋■）■（16）

定理2如果系統(tǒng)滿足：

u≥0，v≥02A1A2-γ2>02A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>01+？滋■+？滋■+？滋■+？滋■>01-？滋■+？滋■-？滋■+？滋■>0？滋■<1？滋■-？滋■？滋■<1-？滋■■（1-？滋■■）（？滋■-？滋■？滋■）-（？滋■-？滋■？滋■）（？滋■-？滋■？滋■）<（1-？滋■■）■-（？滋■-？滋■？滋■）■（17）

斯坦科爾伯格均衡E*的特征為局部范圍漸進穩(wěn)定。

三、數值模擬

為了說明產量調整速度、排污權交易量及其價格對模型穩(wěn)定性的影響，采用數值模擬的方法進行分析。

參數取值：a1=10.35，a2=8.14，b1=0.9，b2=0.8，c1=0.5，c2=0.7，m1=

0.6，m2=0.5，e1=0.3，e2=0.2，k1=0.2，k2=0.1，γ=0.8，p=1，d1=0.5，d2=0.2。得到斯坦科爾伯格均衡E*=（2.2826，1.5435）。

（一）企業(yè)產量調整速度對模型穩(wěn)定性的影響

無延遲（？棕1=？棕2=1）條件下，企業(yè)2的調整速度V=0.2，可得斯坦科爾伯格模型系統(tǒng)的動態(tài)方程為：

q■（t+1）=q■（t）[1+u（8.4-3.68q■（t））]q■（t+1）=q■（t）[1+0.2（8-4q■（t）-0.8q■（t））]（18）

圖1是v=0.2時斯坦科爾伯格產量分岔，圖2是關于u的最大Lyapunov指數圖。當u∈（0，0.2380），企業(yè)產量始終維持斯坦科爾伯格均衡。圖2中Lyapunov指數為0的點為A（0.2380，-0.0013），與圖1中第一次倍周期分岔點相對應。圖1中第二次周期分岔點與圖2中B（0.2910，-0.0053）點相對應，即最大Lyapunov指數第二次為0的點。當u∈（0.2380，0.3030），系統(tǒng)處于周期分岔狀態(tài)；當u>0.3030時，混沌現(xiàn)象出現(xiàn)。圖1中混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的臨界點與圖2中接近于零點的C（0.3030，-0.0029）相對應。當u∈（0.2380，0.3030），系統(tǒng)狀態(tài)為周期分岔；當u>0.3030時，系統(tǒng)狀態(tài)為混沌狀態(tài)。

當？棕1=？棕2=0.8時，斯坦科爾伯格模型動力系統(tǒng)為：

f■（t+1）=q■（t）f■（t+1）=q■（t）q■（t+1）=q■（t）[1+u（8.4-3.68（0.8q■（t）+0.2q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（8-4（0.8q■（t）+0.2q■（t-1））-0.8（0.8q■（t）+0.2q■（t）））]

企業(yè)u的產量（延遲）分岔圖和關于u的最大Lyapunov指數圖（延遲）分別為圖3和圖4。由圖可知，產量分叉圖和Lyapunov指數圖均表明系統(tǒng)未發(fā)生混沌現(xiàn)象。由此可知，延遲系數的引入增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)穩(wěn)定域擴大，阻止了系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。

（二）邊際初始排污權分配量對模型穩(wěn)定性的影響

圖5是u=0.15，v=0.2，其他參數不變的條件下，d1的產量分岔圖。如圖所示，q1*隨著d1的增加而增加，q2*隨著d1的增加而減小。當d1=3.9550時發(fā)生第一次分岔，斯坦科爾伯格均衡消失。

圖6是d1的最大Lyapunov指數圖。最大Lyapunov指數在D（3.9550，-0.0560）第一次接近零點，第二次與第三次接近于零的點分別為E（6.9890，-0.0117）和F（7.6230，-0.0364），故d1∈（0，3.9550）時，兩個企業(yè)產量處于均衡狀態(tài)；當d1∈（3.9550，6.9890）時，發(fā)生第一次分岔；當d1∈（6.9890，7.6230）時，發(fā)生第二次分岔；第三次分岔發(fā)生在d1∈（7.6230，7.8820）。當d1∈（7.8820，10）時，最大Lyapunov指數幾乎均處于零點以上，可知系統(tǒng)為混沌狀態(tài)。

圖7為產量調整速度分別取u=0.19，v=0.15，其他參數不變的條件下，d2的產量分岔圖。此時E*=（■，■），可知q1*隨著d2的增加而減小，q2*隨著d2的增加而增加。當d2=6.9940時，第一次分岔發(fā)生，斯坦科爾伯格均衡消失。

圖8是d2的最大Lyapunov指數圖。指數第一次接近于零的點為G（6.9940，-0.0607），H（9.9180，-0.0589）和I（10.5350，-0.0354）分別為第二次和第三次接近于零的點。因此，當d2∈（0，6.9440）時，兩個企業(yè)的產量處于斯坦科爾伯格均衡；當第一次分岔發(fā)生時，d2∈（6.9440，9.9180）；當第二次分岔發(fā)生時，d2∈（9.9180，10.5350）；當第三次分岔發(fā)生時，d2∈（10.5350，10.6700）。當d2∈（10.6700，12）區(qū)域時，指數處于零點以上，表明該模型此時狀態(tài)為混沌。

對邊際初始排污權分配量di（i=1，2）引入延遲系數，??？棕1=？棕2=0.8。d1產量分岔圖見圖9。由圖可知，延遲系數的引入使系統(tǒng)第一次分岔點d1=6.2890，并且無混沌現(xiàn)象出現(xiàn)。說明抑制甚至消除混沌的手段之一是延遲系數。企業(yè)2的邊際排污權分配量數值模擬同理可得。

政府環(huán)保部門對企業(yè)初始排污權的分配具有主動權。通過數值仿真可知，政府環(huán)保部門分配給企業(yè)的初始排污權過大，會導致企業(yè)結余排污權增加，從而使市場上可交易的排污權上升，企業(yè)通過出售結余排污權使其產品的成本下降，導致企業(yè)作出提高產量決策的可能性增加；初始排污權分配量過大，企業(yè)結余排污權過多，不僅可能使企業(yè)增大產量，還可能會降低企業(yè)投資新技術治理污染的積極性，導致降低環(huán)境污染治理社會總成本的目的無法達到。

（三）排污權價格對模型穩(wěn)定性的影響

圖10是在u=0.31，v=0.2，其他參數不變，p的產量分岔圖。圖像表明此條件下均衡價格是隨p的增加而減小。

關于排污權價格p的最大Lyapunov指數圖見圖11。從圖可知，J（2.5920，-0.0150）為最大Lyapunov指數第一次接近于零的點，與圖11中的第三次分岔點相對應；K（3.5640，-0.0367）是其第二次接近于零的點，對應圖11中第二次分岔點；圖10中第一次分岔點對應圖11最大Lyapunov指數最接近零的點L（7.2400，-0.0122）。當p∈（0，2.5920）時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當p∈（2.5920，7.2400）時，產量處于周期分岔狀態(tài)；當p>7.2400時，指數開始出現(xiàn)負值，納什均衡狀態(tài)出現(xiàn)。

（四）系統(tǒng)混沌吸引子和分數維

系統(tǒng)混沌狀態(tài)可采用混沌吸引子進行確定。圖12～15是v=0.2時，u分別取u=0.31，u=0.32，u=0.33，u=0.34時的混沌吸引子。由圖可知，隨著u的增大，圖像慢慢出現(xiàn)清晰完整的分形結構。圖12中圖形分為兩支，隨著u的增大，兩個分支逐漸相接，形成一個完整的圖像，說明u的增大使系統(tǒng)的混沌程度增加。

分數維是度量混沌吸引子的重要指標。Lyapunov維數定義為：

d■=j+■l■l■，l■，l■，…，l■是Lyapunov指數，j是最大整數且■l■>0，■l■<0。本文中的Lyapunov維數是dL=1+■，l■<0

表1是當v=0.2，u取不同賦值時的分數維結果表。由表可知，分數維dL∈（1，2）。證明此時斯坦科爾伯格模型處于混沌狀態(tài)。

計算可知，u=0.34時有最大值dL=1.4098，此時系統(tǒng)混沌狀態(tài)最劇烈。

表2是當d2=0.2，其他參數不變時，d1取不同賦值時的分數維結果表。結果顯示，分數維dL∈（1，2），說明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

計算結果表明，分數維d1=10時有最大dL=1.5016，說明dL=1.5016時，系統(tǒng)運動最劇烈，處于最強的混沌狀態(tài)。

表3是當d1=0.5，其他參數不變時，d2取不同賦值的分數維結果表，結果顯示不同的d2對應的分數維也不相同，且dL∈（1，2），說明此時模型處于混沌狀態(tài)。

由計算結果可知，當分數維d2=12時有最大dL=1.2149，說明當dL=1.2149時，系統(tǒng)運動處于最強的混沌狀態(tài)。

分數維結果表明，在其它參數滿足一定條件的情況下，以不同的參數為自變量，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。說明外界隨機因素對系統(tǒng)是否混沌不起決定作用，非線性系統(tǒng)的內生參數導致了經濟波動。

四、結論

寡頭廠商的產量調整速度是決定系統(tǒng)狀態(tài)的關鍵參數，當產量調整速度處于穩(wěn)定域內時，產量處于納什均衡；當產量調整速度處于穩(wěn)定域外時，系統(tǒng)逐漸進入混沌狀態(tài)。

延遲系數可抑制甚至消除混沌，是防止系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的手段之一。當寡頭企業(yè)為作出更理性的決策，更合理的預期，應將多個時期的邊際利潤作為參考對象。

政府應合理分配初始排污權。初始排污權的分配過大，會造成企業(yè)消極治污，增加企業(yè)加大污染物排放的可能性；初始排污權分配過小，增加了企業(yè)生產成本，降低企業(yè)市場活力，對形成利用經濟手段解決環(huán)境問題的局面具有消極的意義。

政府制定排污權基準價格時也應引入延遲系數，考慮當期及以前多期價格，這樣制定的基準價格可以使交易系統(tǒng)更加穩(wěn)定，有利于排污權交易市場的健康發(fā)展。

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（作者單位：重慶資源與環(huán)境交易所 重慶 400700）

（責編：賈偉）