葛姝翌 曹 毅 周 睿 朱景原 丁澤華

1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,無(wú)錫,2141222.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海,2002403.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海,2002404.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,無(wú)錫,214122

三平移混聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

葛姝翌1,4曹 毅1,2,3,4周 睿1,4朱景原1,4丁澤華1,4

1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,無(wú)錫,2141222.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海,2002403.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海,2002404.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,無(wú)錫,214122

針對(duì)三平移三自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，提出了一種有效的型綜合與分析方法。首先，介紹了機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和分形理論的概念及聯(lián)系；其次，敘述了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征和運(yùn)算法則；再次，建立了混聯(lián)機(jī)構(gòu)與分形的關(guān)系模型，從而歸納出混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的具體步驟，并綜合出具有三平移運(yùn)動(dòng)特征的混聯(lián)機(jī)構(gòu)；最后，提出了混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征的分析方法，并按該方法分析了所綜合出的三平移混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端運(yùn)動(dòng)特征，從而驗(yàn)證了該構(gòu)型的正確性，證實(shí)了所提出方法的可行性。

混聯(lián)機(jī)構(gòu)；構(gòu)型綜合；分形理論；三平移

0 引言

串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有控制靈活、工作空間較大的優(yōu)點(diǎn)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高速度、高精度的優(yōu)點(diǎn)。但是，隨著機(jī)構(gòu)學(xué)研究的不斷延伸，人們對(duì)于機(jī)構(gòu)的輸出提出了更高的要求。近年來(lái)，一些學(xué)者將研究視角對(duì)準(zhǔn)了混聯(lián)機(jī)構(gòu)，混聯(lián)機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)又能避免單純串聯(lián)或并聯(lián)機(jī)器人所帶來(lái)的問(wèn)題，在現(xiàn)代制造業(yè)中更具有實(shí)用性，是今后機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一個(gè)重要發(fā)展方向。國(guó)內(nèi)外制造業(yè)中，混聯(lián)機(jī)構(gòu)已被設(shè)計(jì)并成功應(yīng)用于多種混聯(lián)機(jī)器人，如瑞典NeosRobotic公司生產(chǎn)的Tricept系列機(jī)器人、德國(guó)DS-Technology公司生產(chǎn)的Exechon機(jī)器人、AdeptTechnology公司生產(chǎn)的AdeptQuattro機(jī)器人[1-4]、吳孟麗等[5]發(fā)明的TriVariant系列機(jī)器。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合的設(shè)計(jì)理論與方法已有一些成果：國(guó)內(nèi)，李秦川等[6]根據(jù)約束螺旋特性和幾何條件,建立了少自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)型綜合理論；郭盛等[7]結(jié)合運(yùn)動(dòng)子群和螺旋理論的概念，提出了非過(guò)約束對(duì)稱四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和綜合方法；楊廷力等[8-9]提出了以單開(kāi)鏈支路為單元的三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)型綜合方法；沈惠平等[10-11]提出了基于方位特征集和自由度分配的混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法；劉海濤等[12]基于單調(diào)性分析實(shí)現(xiàn)了對(duì)少自由度機(jī)器人的尺寸綜合；GAO等[13-14]基于單開(kāi)鏈和復(fù)合運(yùn)動(dòng)副綜合出少自由度機(jī)器人機(jī)構(gòu)。國(guó)外，文獻(xiàn)[15-18]基于螺旋理論并依據(jù)幾何描述法綜合2-4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型；HERVé[19]在李群及其子群數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成了全新的構(gòu)型綜合理論；GOGU[20]針對(duì)各向同性的特征對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行綜合；相關(guān)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)綜合方法還包括其他不同的混聯(lián)綜合方法[21-22]。

綜上所述，不難發(fā)現(xiàn)上述混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)可劃分為以下三種形式：①并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)其他機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成；②并聯(lián)機(jī)構(gòu)直接串聯(lián)在一起；③在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈中采用不同的結(jié)構(gòu)?；炻?lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的型綜合主要關(guān)注支鏈的設(shè)計(jì)方法，其支鏈的布局較為單一。因此，以上理論不適用于具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)。

基于分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，本文提出了一種簡(jiǎn)單有效的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合理論和設(shè)計(jì)方法，通過(guò)建立混聯(lián)機(jī)構(gòu)與分形的關(guān)系模型和歸納出混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的具體步驟，綜合出具有三移動(dòng)(3T)運(yùn)動(dòng)特征的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證其可行性。

1 分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

1.1 分形理論的基本概念

數(shù)學(xué)家MANDELBROT首次提出了分形幾何理論的概念[23]。其中，分形的兩個(gè)定義如下[24]：①如果一個(gè)集合在歐氏空間中的豪斯多夫維數(shù)D嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)DT，則該集合為分形集，簡(jiǎn)稱為分形；②組成部分以某種方式與整體相似的形體稱為分形。

分形理論定義中的兩個(gè)變量D和DT，其含義為它們都對(duì)Euclidean空間中的每一個(gè)集合R賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，且將此實(shí)數(shù)定義為該集合的維數(shù)。其中，DT是其中較為直觀的拓?fù)渚S，另一個(gè)就是由Hausdorff提出分形維數(shù)的D。兩個(gè)維數(shù)無(wú)需相等，其中，DT必須是整數(shù)，它們需要滿足Szpilrajn不等式：

D≥DT

(1)

1.2 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和支鏈構(gòu)成了機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D。靜平臺(tái)為固定平臺(tái)，動(dòng)平臺(tái)為機(jī)構(gòu)末端輸出，支鏈用于連接靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)。

機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D是混聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，其重要內(nèi)容如下：首先將混聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為連桿機(jī)構(gòu)，其次確定機(jī)構(gòu)構(gòu)型拓?fù)洳季?，再次展開(kāi)路徑與支鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，最后實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體構(gòu)型設(shè)計(jì)。將分形理論引入到機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中，衍生出三種分形方式：鏈分形、平臺(tái)分形、鏈臺(tái)分形[25-27]，如圖1所示。

Ⅰ.鏈分形 Ⅱ.平臺(tái)分形 Ⅲ.鏈臺(tái)分形圖1 機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D分形途徑Fig.1 Fractalform of topological graph

1.3 分形方式的具體分析

1.3.1 鏈分形的定義

通過(guò)一個(gè)或多個(gè)運(yùn)動(dòng)副連接兩個(gè)平臺(tái)，則稱該運(yùn)動(dòng)副的組合為支鏈。鏈分形是對(duì)支鏈進(jìn)行的分形(圖1中Ⅰ所示)，可以細(xì)分為縱向鏈分形和橫向鏈分形。

1.3.2 平臺(tái)分形的定義

平臺(tái)分形(圖1中Ⅱ所示)是指把已存在的支鏈打開(kāi)，加入新的過(guò)渡平臺(tái)，再連接新平臺(tái)兩端的支鏈。值得注意的是，拓?fù)錂C(jī)構(gòu)只能在已有支鏈的位置進(jìn)行平臺(tái)分形。

1.3.3 鏈臺(tái)分形的定義

鏈臺(tái)分形(圖1中Ⅲ所示)是指在任意平臺(tái)上分形出一個(gè)支鏈和一個(gè)平臺(tái)的分形方式，且新生成的平臺(tái)為獨(dú)立輸出，不與機(jī)構(gòu)的輸出動(dòng)平臺(tái)有任何聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即得到多輸出動(dòng)平臺(tái)的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)。

必須指出的是，鏈分形和平臺(tái)分形輸出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為閉環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即輸出平臺(tái)有且僅有一個(gè)。鏈臺(tái)分形輸出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為開(kāi)環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即輸出動(dòng)平臺(tái)不止一個(gè)，適用于多點(diǎn)工作平臺(tái)環(huán)境。由于開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)一般較為簡(jiǎn)單，本文主要考慮閉環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，故鏈臺(tái)分形在本文中未予考慮。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特征和運(yùn)算法則的描述

轉(zhuǎn)變由機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D到混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型，需要經(jīng)歷從機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D生成拓?fù)渎窂剑赏負(fù)渎窂蕉x機(jī)構(gòu)支鏈，再由支鏈適配具有給定末端輸出特征的運(yùn)動(dòng)副，共三個(gè)階段。

2.1 路徑及路徑法則

2.1.1 路徑的概念

由設(shè)計(jì)的三個(gè)階段不難發(fā)現(xiàn)，路徑是混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的核心元素，故路徑的設(shè)計(jì)及運(yùn)算法則具有重要意義。

由連接末端動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和中間過(guò)渡平臺(tái)的支鏈按照一定方式組合而成路徑，路徑始于靜平臺(tái)，終于動(dòng)平臺(tái)，與過(guò)渡平臺(tái)無(wú)關(guān)。其中，規(guī)定每條路徑所含支鏈為串聯(lián)關(guān)系，規(guī)定各路徑之間為并聯(lián)關(guān)系。根據(jù)以上規(guī)定，即可通過(guò)各支鏈進(jìn)行交集和并集的計(jì)算結(jié)果得到動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集：

(2)

其中，Bij表示第j條路徑的第i個(gè)支鏈末端輸出位移子集；Rj表示路徑輸出位移子集；P表示機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)輸出位移子集；I表示第j條路徑的支鏈總數(shù)；J表示路徑總數(shù)。當(dāng)存在橫向支鏈時(shí)，不同路徑會(huì)發(fā)生共用同一支鏈的現(xiàn)象。#代表串聯(lián)運(yùn)算符，&代表并聯(lián)運(yùn)算符。

2.1.2 路徑法則

路徑法則即基于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，對(duì)于給定的機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端輸出位移子集，找出所有滿足條件的路徑及其支鏈配置。由于機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D圖形復(fù)雜，將其分為以下兩種情況分別進(jìn)行分析：

(1)一般機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D——機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在公用平臺(tái)。那么路徑可以由同一支鏈串聯(lián)不同支鏈即同一支鏈重復(fù)利用而得，如圖2所示。

圖2 一般機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱DFig.2 A normal topological graph

通用路徑數(shù)目計(jì)算公式為

(3)

式中，J為路徑數(shù)量；n為公共平臺(tái)數(shù)目；ai1為在第i公共平臺(tái)中位于下位的支鏈數(shù)量；ai1為在第i公共平臺(tái)中位于上位的支鏈數(shù)量。

(2) 存在橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，示例如圖3所示。不難發(fā)現(xiàn)該機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D路徑分配狀況復(fù)雜，且存在共用支鏈的狀況。

圖3 存在橫向支鏈的拓?fù)鋱DFig.3 Topological graph with horizontal branches

由圖3可知，靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)之間的路徑組成情況為：B1B2、B1B5B3、B3B4、B4B5B2。那么，通過(guò)支鏈情況計(jì)算路徑的數(shù)目為

J=a11a12+a11a22+a12a21+a12a22

(4)

圖3是分類(2)中最簡(jiǎn)易的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，只存在一個(gè)橫向鏈分形。機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D多次橫向鏈分形，且每?jī)蓚€(gè)過(guò)渡平臺(tái)都通過(guò)橫向支鏈兩兩連接，不僅是橫向鏈分形最復(fù)雜的情況，而且是路徑法則分析最復(fù)雜的情況。因此，通過(guò)表1分階段對(duì)每種機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行分析，并從表1中歸納出路徑計(jì)算公式。

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的路徑數(shù)目，是指由某一過(guò)渡平臺(tái)出發(fā)，到達(dá)另一過(guò)渡平臺(tái)所經(jīng)過(guò)的路徑的數(shù)目，由表1可以得出an：

(5)

(2)累計(jì)增加路徑數(shù)目，是指與去除橫向支鏈后的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D相比，該機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D所增加的路徑數(shù)目cn：

cn=n(n+1)an

(6)

經(jīng)分析可得復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑法則的兩個(gè)重要模塊：①去除橫向支鏈?zhǔn)Ｏ碌囊话銠C(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D；②與一般拓?fù)鋱D對(duì)比增加的路徑數(shù)量。機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的路徑數(shù)量就是兩者的和。

2.2 支鏈及串并聯(lián)計(jì)算法則

2.2.1 支鏈與分形的關(guān)聯(lián)

支鏈作為機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的重要組成部分，也是分形過(guò)程中最重要的組成結(jié)構(gòu)。因此，分形和支鏈間存在密不可分的關(guān)系，具體如圖4所示。

圖4 平臺(tái)分形與支鏈的關(guān)系Fig.4 Relationship between platform fractal and branches

序號(hào)1234三維拓?fù)鋱D橫向支鏈俯視結(jié)構(gòu)圖路徑分析an12516cn21260320

鏈分形可以分為橫向鏈分形和縱向鏈分形，其與支鏈及路徑的關(guān)系歸納為圖5。

圖5 鏈分形與支鏈的關(guān)系Fig.5 Relationship between branch fractal and branches

2.2.2 串并聯(lián)計(jì)算法則

從構(gòu)型的角度看，機(jī)構(gòu)由路徑并聯(lián)而成，路徑由支鏈串聯(lián)而成；從數(shù)理邏輯的角度看，各路徑輸出位移子集求交集生成機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集，各支鏈的輸出位移子集求并集生成對(duì)應(yīng)支鏈的輸出位移子集。

由于非正則關(guān)系的原因，故在計(jì)算中不引入方位關(guān)系。串并聯(lián)計(jì)算法則定義為

(7)

式中，A、B為輸出位移子集；∪為求并運(yùn)算符；∩為求交運(yùn)算符。

2.3 運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)

運(yùn)動(dòng)副是組成支鏈的基本元素，因此，運(yùn)動(dòng)副的描述對(duì)于混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。為使運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)更加簡(jiǎn)潔明了，本文提出了8位二進(jìn)制碼的表達(dá)方式，其不僅能清楚地闡述運(yùn)動(dòng)副的種類、與基坐標(biāo)軸的位置關(guān)系、相鄰運(yùn)動(dòng)副軸線的方位關(guān)系及平臺(tái)和支鏈間的連接關(guān)系，而且應(yīng)當(dāng)指出的是，二進(jìn)制代碼的表達(dá)方式還有利于后續(xù)的數(shù)字化設(shè)計(jì)。

2.3.1 運(yùn)動(dòng)副的表達(dá)形式

首先，依據(jù)運(yùn)動(dòng)副的類別和位置關(guān)系，單一運(yùn)動(dòng)副選用5位二進(jìn)制碼的表示方式，具體見(jiàn)表2。

表2 單一運(yùn)動(dòng)副二進(jìn)制表示方法

單一運(yùn)動(dòng)副可細(xì)分為六種情況，如圖6所示。

圖6 運(yùn)動(dòng)副的描述Fig.6 Description of kinematic pair

表1可劃分為前后兩部分，表征不同的含義：

(1) P0.4和P0.3為運(yùn)動(dòng)副類別位R、T，若P0.3=1，則表示運(yùn)動(dòng)副為移動(dòng)副；若P0.4=1，則表示運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副，且兩者不能同時(shí)為1。

(2) P0.2、P0.1和P0.0為運(yùn)動(dòng)副軸線方向位X、Y、Z，此方向位的矢量方向與基坐標(biāo)軸方向一致，若P0.0=1，則表示運(yùn)動(dòng)副的軸線與基坐標(biāo)軸的Z軸平行；同理可得P0.1、P0.2，且方向位最多只能有一位為1。

2.3.2 相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的方位關(guān)系

由于單一運(yùn)動(dòng)副中的方向位只能表示相鄰運(yùn)動(dòng)副間軸線的部分方位關(guān)系，為全面表征各運(yùn)動(dòng)副之間的方位關(guān)系，需使用3位二進(jìn)制碼進(jìn)一步描述相鄰運(yùn)動(dòng)副間的方位關(guān)系，見(jiàn)表3。

表3 運(yùn)動(dòng)副的方位關(guān)系的表達(dá)方法Tab.3 Expression of position relationship of adjacent kinematic pair

應(yīng)當(dāng)指出的是，大多數(shù)方位關(guān)系均具有傳遞性，例如平行、同軸等。具有傳遞性的方位關(guān)系為正則方位關(guān)系，其余為非正則關(guān)系[28]。

由于三維空間的一個(gè)直線矢量在三個(gè)方向需要三個(gè)以上的相對(duì)位姿關(guān)系才能完全約束其方向，單一采取一組相鄰的運(yùn)動(dòng)副軸線的相對(duì)位置關(guān)系是不充分的，因此，在相鄰運(yùn)動(dòng)副的基礎(chǔ)上需要再添加一組運(yùn)動(dòng)副軸線的位置關(guān)系作為輔助元素，即一個(gè)運(yùn)動(dòng)副的軸線方向由相鄰的運(yùn)動(dòng)副和相隔的運(yùn)動(dòng)副所決定。

3 3T混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

3.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合依據(jù)

混聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型設(shè)計(jì)是基于機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)適配相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副，并判定適配運(yùn)動(dòng)副的布局是否符合設(shè)計(jì)的過(guò)程。基于分形類別，混聯(lián)機(jī)器人被分成兩類：第一類，具有橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，且可通過(guò)后續(xù)分形得到三維分形的混聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖7所示；第二類，不具備橫向支鏈的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，即不存在橫向鏈分形的可能，如圖8所示。

圖7 第一類混聯(lián)機(jī)器人Fig.7 First class of hybrid robot

圖8 第二類混聯(lián)機(jī)器人Fig.8 Second class of hybrid robot

從集合的角度，路徑首先按照一定的準(zhǔn)則并聯(lián)組成混聯(lián)機(jī)構(gòu)；然后，支鏈通過(guò)串聯(lián)的方式組成路徑；最后，運(yùn)動(dòng)副通過(guò)自由度分配合成支鏈。式(2)是其組成關(guān)系依據(jù)，式(7)是其運(yùn)算法則依據(jù)。

式(2)表明，混聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合的中心內(nèi)容是：在選定的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)和計(jì)算法則的基礎(chǔ)上，第一步確定路徑，第二步確定支鏈，最后選取運(yùn)動(dòng)副，并判定其正確性。

由上文可知，混聯(lián)機(jī)構(gòu)是以機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D為基礎(chǔ)的，而機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D又是建立在分形的基礎(chǔ)上的。則確定機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D之后，隨之確定路徑、支鏈，再依據(jù)機(jī)構(gòu)輸出位移子集對(duì)運(yùn)動(dòng)副的自由度進(jìn)行分配。因此，有必要建立分形與混聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)系模型：

(8)

式中，F(xiàn)dof為機(jī)構(gòu)自由度數(shù)；Ri為第i個(gè)支鏈上的驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副數(shù)(i=1,2,…,n)；N為分形次數(shù)；b為被動(dòng)支鏈數(shù)；n為主動(dòng)支鏈數(shù)；L為鏈分形次數(shù)；P為平臺(tái)分形次數(shù)；Pmin為最短支鏈的平臺(tái)分形次數(shù)。

基于分形理論的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型的特點(diǎn)如下：

(1) 該構(gòu)型方法的主要思想是以最短路徑為中心對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D進(jìn)行擴(kuò)展，其他路徑是最短路徑輸出位移子集的父集，因此，不存在瞬時(shí)性。

(2)由于混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)為機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，而分形理論可以實(shí)現(xiàn)其變化的多樣性，因此，該設(shè)計(jì)方法可以實(shí)現(xiàn)混聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的多樣化。

(3)采用單元代換原理用于實(shí)現(xiàn)支鏈的替代化設(shè)計(jì)。將滿足條件的機(jī)構(gòu)或者運(yùn)動(dòng)副等代入支鏈中，完成該支鏈的期望末端運(yùn)動(dòng)特征。需注意的是所代入的機(jī)構(gòu)所包含的支鏈數(shù)小于所設(shè)計(jì)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈數(shù)。

3.2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合步驟

根據(jù)上述設(shè)計(jì)方法，得到構(gòu)型綜合步驟如下：

(1) 根據(jù)給定的機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集，確定最簡(jiǎn)拓?fù)鋱D的鏈分形、平臺(tái)分形的次數(shù)，并繪制機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D。

(2) 運(yùn)用路徑法則分析該機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的輸出位移子集計(jì)算公式和路徑數(shù)目，并確定最短路徑所在位置。

(3) 根據(jù)步驟(2)中的計(jì)算公式，并參考各支鏈的串并聯(lián)關(guān)系，采用MATLAB編程或者列舉的方式獲得滿足條件的路徑自由度和支鏈的輸出位移子集，完成適配運(yùn)動(dòng)副的過(guò)程。

(4) 通過(guò)式(7)計(jì)算上述支鏈、路徑的輸出位移子集，并得出機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集，與預(yù)計(jì)輸出位移子集進(jìn)行對(duì)比，若一致，則證明了該設(shè)計(jì)方法的可行性。

(5) 獲得混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型，繪制三維圖像。

為了更加清楚表現(xiàn)具體設(shè)計(jì)步驟，用流程圖(圖9)來(lái)反映設(shè)計(jì)流程。

圖9 混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合流程圖Fig.9 A design flowchart of hybrid robot

3.3 3T類混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

由于分形使得機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D具有多樣性，故本文所涉及的構(gòu)型綜合，是在已選定的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，對(duì)此類型的混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合，如圖10所示。

圖10 選定機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱DFig.10 A selected topological graph

運(yùn)用3.1節(jié)和3.2節(jié)中的綜合方法和步驟對(duì)3T混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合。通過(guò)路徑法則(式(2))的分析可知，路徑共有以下2條：

{B1B2，B3B4}

(9)

取B1B2為最短路徑，其中，B1支鏈的輸出位移子集為T(U)T(V)，B2支鏈的輸出位移子集為T(W)。與此同時(shí)，對(duì)其他路徑的自由度進(jìn)行分析，前提條件是具有3T特征或者3T父集的特征集合：

{1R3T, 2R3T, 3R3T}

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行排列組合，并挑選符合構(gòu)型條件的組合，可得到除最短路徑之外所有路徑的組成形式。當(dāng)路徑B3B4的輸出位移子集滿足式(10)的所有解集，則可作為支鏈設(shè)計(jì)所選擇的支鏈的位移子集。

一般地，選取最短路徑上的支鏈作為安裝驅(qū)動(dòng)的位置，即B1B2為主動(dòng)支鏈，剩余支鏈為被動(dòng)支鏈。為簡(jiǎn)化表達(dá)，路徑B1B2為E，路徑B3B4為F，要求各支鏈滿足下式：

(11)

依據(jù)式(11)求解支鏈B3B4的輸出位移子集，并歸納出其構(gòu)型類別，見(jiàn)表4。

表4 混聯(lián)機(jī)構(gòu)B3B4輸出位移子集類型Tab.4 Type of displacement set of B3B4 in the hybrid mechanism

從表4中選取一組數(shù)據(jù)作為所有支鏈的輸出位移子集，按照?qǐng)D10的機(jī)構(gòu)拓?fù)浜?jiǎn)圖構(gòu)造出輸出為3T的混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型。

4 機(jī)構(gòu)構(gòu)型驗(yàn)證及分析

4.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)特征分析

本文提出了混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)特征分析方法，用于驗(yàn)證上文綜合出的3T三自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正確性。其分析方法的基本思路如下。

(1) 對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行分析，將其分割為機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和支鏈這兩部分。

(2) 基于2.3節(jié)中的內(nèi)容，將運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制代碼的表現(xiàn)形式。

(3) 運(yùn)用式(7)將支鏈中的運(yùn)動(dòng)副以串聯(lián)運(yùn)算方式推導(dǎo)出各支鏈的輸出位移子集。

(4) 運(yùn)用路徑法則分析步驟(2)中所得的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D得到各路徑分支，在步驟(2)的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)理邏輯關(guān)系得到各路徑的輸出位移子集。

(5) 通過(guò)路徑的并聯(lián)運(yùn)算方式得到混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集，即混聯(lián)機(jī)構(gòu)整體的末端運(yùn)動(dòng)特征。

4.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

以表4中選取一組數(shù)據(jù)舉例說(shuō)明，該混聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的輸出位移子集見(jiàn)表5。

表5 支鏈適配運(yùn)動(dòng)副

根據(jù)選擇的機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D和適配的運(yùn)動(dòng)副繪制混聯(lián)機(jī)器人，如圖11所示。

圖11 輸出3T的混聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.11 A 3D model of 3T hybrid mechanism

為確保所綜合出的機(jī)構(gòu)構(gòu)型的正確性，核算各支鏈的輸出位移子集，并求取機(jī)構(gòu)末端輸出位移子集與預(yù)期對(duì)比，計(jì)算過(guò)程如下：

(12)

B2=TZ(〗WTBX〗(W)=[06 09 04]TH

(13)

(14)

其中，下標(biāo)H表示矩陣中的元素為十六進(jìn)制數(shù)。結(jié)合式(7)和式(12)～式(14)可推導(dǎo)出各路徑的輸出位移子集：

(15)

(16)

由式(15)～式(16)可得機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集：

綜上所述，動(dòng)平臺(tái)的輸出位移子集與B1B2路徑的輸出位移子集相同，且和已知輸出相同，證明結(jié)果正確，從而驗(yàn)證了上述混聯(lián)機(jī)構(gòu)型設(shè)計(jì)方法的正確性。

5 結(jié)論

(1) 本文根據(jù)分形理論建立了對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的有序分形，并通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)副的分配及輸出位移子集的排列組合，實(shí)現(xiàn)了混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型的多樣化。

(2) 提出的路徑法則可用于求解復(fù)雜機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的多路徑輸出，同時(shí)規(guī)定了運(yùn)動(dòng)副推導(dǎo)的串并聯(lián)計(jì)算方法，并揭示了串并聯(lián)計(jì)算法則與分析方式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3) 將混聯(lián)機(jī)構(gòu)分為兩類，建立了分形與混聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)系模型，實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)與分形理論在數(shù)理邏輯關(guān)系上的統(tǒng)一。

(4) 采用MATLAB編程的形式綜合出3T三自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)其中一個(gè)混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計(jì)并驗(yàn)證了構(gòu)型設(shè)法方法的正確性。

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(編輯 陳 勇)

Type Synthesis of Three-translational Hybrid Mechanisms

GE Shuyi1,4CAO Yi1,2,3,4ZHOU Rui1,4ZHU Jingyuan1,4DING Zehua1,4

1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu,214122 2. Key Laboratory of System Control and Information Processing, Shanghai, 200240 3. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai, 200240 4. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi, Jiangsu,214122

For a three translational hybrid mechanism with three degrees of freedom, an efficient synthesis methodology and a novel analysis approach were proposed from the view of fractal theory and topological graph. Firstly, the basic concept of the topology graph and the fractal theory were introduced. Secondly, the kinematic characteristics and algorithm were expounded. Thirdly, the model between the hybrid mechanism and fractal theory was established. And the procedure of methodology of type synthesis was concluded in detail, meanwhile, the three translational hybrid mechanism was synthesized. Finally, a method for analyzing the kinematic characteristics of hybrid mechanisms was proposed and applied to the synthesized structure by which the validity of the methodology proposed herein was demonstrated.

hybrid mechanism; type synthesis; fractal theory; 3 translation(3T)

2016-03-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075, 51505190)；江蘇省“六大人才高峰”高層次人才項(xiàng)目(ZBZZ-012)；系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(scip201506)；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(MSV201407)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.002

葛姝翌，女，1992年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)榛炻?lián)機(jī)構(gòu)學(xué)理論及機(jī)器人技術(shù)。曹 毅(通信作者)，男，1974年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士，上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室和上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室訪問(wèn)學(xué)者。E-mail:caoyi@jiangnan.edu.cn。周 睿，女，1993年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。朱景原，男，1991年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。丁澤華，男，1993年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。