陳 飛，董萼良

（1.東南大學 工程力學系，南京 210096； 2.江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京 210096）

點導納法的模態(tài)密度測試試驗

陳 飛1,2，董萼良1,2

（1.東南大學 工程力學系，南京 210096； 2.江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京 210096）

模態(tài)密度能反映結構系統(tǒng)振動能量的存儲能力，是應用統(tǒng)計能量分析法研究中高頻動響應問題的重要參數(shù)。模態(tài)密度的實驗獲取常采用激勵點導納法?；邳c導納法原理，分別采用脈沖錘擊和正弦掃頻兩種激勵形式，測試一矩形鋁合金板的模態(tài)密度，考慮傳感器的附加質量，對測試結果進行修正。結果表明，激勵形式對矩形鋁合金板的模態(tài)密度的測試精度有較大影響；傳感器的附加質量在不同激勵形式下，相同頻段內，對識別結果影響的差異明顯；經過附加質量修正后，正弦掃頻激勵測試結果與理論值吻合性較好。

振動與波；模態(tài)密度；點導納法；試驗研究；激勵形式；附加質量修正

統(tǒng)計能量分析(SEA)是R.H.Lyon在19世紀60年代初提出來的解決中高頻聲振問題的一種有效方法[1]。SEA把研究對象從隨機參數(shù)描述的總體中抽取出來，將振動能量作為基本參數(shù)，建立功率流平衡方程，求解每個耦合子系統(tǒng)的振動能量，進而描述耦合子系統(tǒng)間的相互作用關系[2–4]。近年來該方法不僅在宇航領域，而且在諸如艦船、汽車、高速列車等領域也得到越來越廣泛的應用[5–7]。統(tǒng)計能量方程中的三個基本參數(shù)：子系統(tǒng)模態(tài)密度、子系統(tǒng)內損耗因子以及子系統(tǒng)間的耦合損耗因子，對統(tǒng)計能量分析結果影響很大。如何準確獲取這三個統(tǒng)計能量參數(shù)一直是研究人員關心的熱點問題[8]。

模態(tài)密度是指結構某一頻段內單位頻率的模態(tài)數(shù)，是一個表明結構對于外界激勵產生共振響應能力的重要參數(shù)。模態(tài)密度越大，結構從寬帶激勵中吸取能量的能力就越強[9]。其準確與否對確定子系統(tǒng)的響應能量及功率流大小非常重要，一般可通過解析方法或試驗測試獲取模態(tài)密度。一些簡單結構（如桿、梁、板等）的模態(tài)密度可以通過頻率方程來計算求解。R.H.Lyon和姚德源提出了一系列用于估算常用規(guī)則結構，如梁、板、殼等模態(tài)密度的簡單公式[1，10]。但對于一些復雜不規(guī)則結構的模態(tài)密度，很難通過解析方法求得，試驗測試成為主要的確定方法[11–14]。目前，Clarkson提出的基于結構激勵點導納實部平均值計算模態(tài)密度（即點導納法)為主要實驗方法，但是此方法容易受到試驗中諸如激勵形式、傳感器附加質量等因素的影響，需要進一步開展研究[15]。

本文選取鋁合金板為實驗對象，開展模態(tài)密度測試的試驗研究，以理論解析方法求得模態(tài)密度作為參考值，研究脈沖錘擊和正弦掃頻兩種激勵形式對模態(tài)密度測試結果在不同頻段的影響，為消除傳感器附加質量對識別結果的影響，同時開展考慮附加質量情況下對識別結果修正的討論。

1 理論依據

測試板結構模態(tài)密度的點導納法測試原理如下[16]：

根據模態(tài)理論，結構上(x0,y0)為激勵點，則點(x,y)處的速度導納Hv(f)為

式中φr(x,y)為結構的第r階模態(tài)向量；fr為結構的第r階固有頻率；f為激振頻率；ηr為第r階模態(tài)阻尼，m為結構的質量。

若在激勵點(x0,y0)處拾振，則點(x0,y0)處的速度導納為

其中A表示板的面積。

由于頻率分析帶寬Δf遠大于噪聲有效帶寬于是式可表示為

由式可知，通過試驗測試得到速度導納后，即可求得分析帶寬內的平均模態(tài)密度。

2 試驗測試系統(tǒng)

由于只有規(guī)則結構可通過理論解析方法求得模態(tài)密度，為了使試驗結果與參考值進行比較，因此本試驗以矩形鋁合金板為測試對象，其尺寸為500 mm×300 mm×2.5 mm，彈性模量為62.9GPa，質量密度為2 876kg/m3，泊松比為0.33。

為研究激勵形式對模態(tài)密度的影響，基于點導納法測試原理，分別采用脈沖錘擊激勵和正弦掃頻激勵布置試驗系統(tǒng)并進行測試，分析頻率為20 Hz～5 000 Hz。試驗過程中試驗件采用剛度小的橡皮繩垂直懸吊，以滿足其自由狀態(tài)的要求。

針對脈沖錘擊激勵測試系統(tǒng)，為滿足高頻段的能量輸入，測試中采用硬度較大的鋼錘頭作為激勵形式；并且實驗過程中采用多次平均法。針對正弦掃頻激勵系統(tǒng)，由于正弦掃頻試驗時激振力的附加剛度往往會帶來一定的誤差，因此當懸掛被測對象時，應固定激振器，則激振器的頻率比被測對象高出一個數(shù)量級，即可忽略附加剛度的影響[18]。

為提高測試結果的準確度和可靠性，在鋁合金板上布置大量激振點，激振點的選擇要滿足空間均勻分布原則。采用脈沖錘擊激勵時，對所有激振點進行逐個敲擊后進行數(shù)據平均；采用正弦掃頻激勵時，通過激振器多次移位施加激勵后進行數(shù)據平均。同時考慮加速度傳感器所帶來的附加質量影響，每次試驗應選擇少量測點進行數(shù)據采集，并且測點進行多次輪換以提高測試精確度。采用脈沖錘擊激勵的測試系統(tǒng)和采用正弦掃頻激勵的測試系統(tǒng)簡圖分別如圖1和圖2所示。

3 試驗結果及分析

3.1 試驗測試初始結果分析

對于一些規(guī)則結構，其模態(tài)密度可以通過理論公式計算得到，對于試驗采用的鋁合金板，可以通過式計算得到其模態(tài)密度的理論值[10]。

圖1 采用脈沖錘擊激勵的測試系統(tǒng)

圖2 采用正弦掃頻激勵的測試系統(tǒng)

式中Ap為平板面積，R為平板回轉半徑，Cl為板的縱向波速為板的質量密度，E為板的彈性模量，μ為板的泊松比。

由式(7)可見，平板的模態(tài)密度與結構角頻率ω以及激勵頻率f沒有關系，是一個定值。

圖3給出了鋁合金板在脈沖錘擊和正弦掃頻兩種激勵形式下的模態(tài)密度試驗測試初始值，并將二者與理論值進行對比。

圖3 兩種激勵形式下測試初始值

由圖3分析可知：

1）激勵形式對模態(tài)密度的測試結果有較大影響，并且在高頻段誤差尤其明顯；

2）正弦掃頻激勵測試初始值在小于1 000 Hz的低頻段與理論值較吻合。

由于試驗鋁合金板很薄，為高導納試件，主要受高導納的彎曲波控制，故可忽略激振力附加剛度引起的誤差[10]，而附加質量成為主要的誤差源，因此需要對測試結果進行附加質量修正以提高測試精度。

3.2 附加質量對模態(tài)密度影響分析

對于脈沖錘擊激勵測試系統(tǒng)和正弦掃頻激勵測試系統(tǒng)，由于在試件的測量點與測量傳感器之間（如脈沖錘擊激勵測試系統(tǒng)的錘頭自身結構、力傳感器等；正弦掃頻激勵測試系統(tǒng)的力傳感器、加速度傳感器及阻抗頭本身結構等）形成了附加質量Δm，圖4給出了考慮激勵力附加質量時結構受力示意圖，可知測得的激勵力FM(t)不能準確地等于施加在試件上的激勵F(t)，還受慣性力Δmx?(t)等的影響，因此需要進行附加質量修正才能提高模態(tài)密度測試的精度。

圖4 考慮激勵力附加質量時結構受力

由圖4可知，實際激勵力為

式(8)在頻域內的表達式為

由式(9)可得修正的阻抗Z(f)為

則由式(10)可得校正后的加速度導納虛部為

同時可由式(10)得到校正后的速度導納實部為

基于式(11)和式(12)，即可對模態(tài)密度的試驗測試結果進行附加質量修正。

圖5和圖6分別給出了脈沖錘擊和正弦掃頻兩種激勵形式下模態(tài)密度附加質量修正值與試驗測試初始值對比圖。

由圖5分析可知：針對脈沖錘擊激勵，經過修正后的模態(tài)密度在整體上誤差減?。辉谛∮? 000 Hz的低頻段內，修正效果尤為顯著，修正值與理論值較好地得到了吻合；在大于1 000 Hz的高頻段內，其修正值與初始值差別不大，說明在此頻段內附加質量不是引起誤差的主要原因。

圖5 脈沖錘擊激勵下修正值與初始值比較

圖6 正弦掃頻激勵下修正值與初始值比較

由圖6分析可知：針對正弦掃頻激勵，經過修正后的模態(tài)密度在整體上誤差明顯減??；在小于1 000 Hz的低頻段內，修正前誤差較小，因而修正效果不明顯；而在大于1 000 Hz的高頻段內，附加質量修正效果顯著，修正值明顯降低，并且其修正值在理論值附近振蕩，和理論值大致可以吻合。

由圖5和圖6對比分析可知：附加質量是造成兩種不同激勵形式測試結果產生誤差的主要原因之一；附加質量在相同頻段針對不同激勵形式作用效果有較大差異，對于脈沖錘擊激勵，附加質量修正在低頻段效果明顯，而對于正弦掃頻激勵，附加質量修正在高頻段影響較大。

3.3 綜合對比分析

圖7給出了經過附加質量修正后的脈沖錘擊修正值和正弦掃頻修正值以及與理論值的綜合對比圖。

從圖7可以得出：

1）經過附加質量修正后，正弦掃頻激勵測試結果在分析頻段內更好地體現(xiàn)了與理論值的一致性，與理論計算結果呈現(xiàn)了較好的吻合性，充分說明了采用正弦掃頻激勵測試可得到較為良好的模態(tài)密度辨識精度。

圖7 兩種激勵形式下的修正值對比

2）經過附加質量修正后，脈沖錘擊激勵測試結果在低頻段與正弦掃頻激勵測試結果吻合較好，并且穩(wěn)定在理論值附近；在高頻段，脈沖錘擊激勵測試值遠小于理論計算值，這主要是因為脈沖錘擊是一種寬頻激勵，在其激振頻率范圍內，能一次激出系統(tǒng)的各階模態(tài)，但卻無法保證滿足高頻段的能量輸入，因此造成在1 000 Hz以上的頻段內，脈沖錘擊測試得到的模態(tài)密度值明顯低于理論值。而正弦掃頻激勵能將能量集中于單一頻率上，激振能量大，信噪比高，因而能得到較高的測試精度。

3）綜合上面兩條所述，針對適用于高頻段的統(tǒng)計能量分析法，相對于脈沖錘擊激勵，采用正弦掃頻激勵測試模態(tài)密度可得到更高的辨識精度。

4 結語

本文基于點導納法原理分別采用脈沖錘擊激勵和正弦掃頻激勵測試了鋁合金板的模態(tài)密度，又對兩種激勵測試結果進行了附加質量修正分析，研究得到以下結論：

（1）激勵形式對模態(tài)密度的測試結果有一定的影響，且在高頻段產生的誤差較大；

（2）附加質量是模態(tài)密度測試結果主要誤差源之一；附加質量在相同頻段針對不同激勵形式作用效果差異較大，對于脈沖錘擊激勵，附加質量修正在低頻段效果明顯，而對于正弦掃頻激勵，附加質量修正在高頻段影響較大；

（3）經過附加質量修正后，脈沖錘擊激勵在低頻段可得到較好的辨識精度，但由于脈沖錘擊無法保證高頻段能量輸入，在高頻段誤差明顯；與之相比，經過附加質量修正后，正弦掃頻激勵基于可將能量集中于單一頻率上的優(yōu)勢，在整個分析頻段內與理論值呈現(xiàn)了更好的吻合性，為統(tǒng)計能量分析法預測動力響應提供了較高精度的模態(tài)密度值。

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圖18 Z方向各方案減振效果圖

（2）試驗發(fā)現(xiàn)調頻動力吸振器能夠在降低管道強迫振動的同時，在較小范圍內改變管道固有頻率，避免其與基礎激勵產生的共振；并通過試驗方法簡單討論了吸振器安裝位置對管道減振效果的影響；

（3）試驗驗證了調頻動力吸振器在地面設施液壓管道振動抑制方面的工程應用價值，并闡述了其在飛機液壓管道上應用的前景。

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Modal Density Measurement Test Based on PointAdmittance Method

CHENFei1,2,DONG E-liang1,2
(1.Department of Engineering Mechanics,Southeast University,Nanjing 210096,China; 2.Key Laboratory of Engineering Mechanics of Jiangsu Province,Nanjing 210096,China)

Modal density is an important parameter in statistical energy analysis method when analyzing dynamic response in medium and high frequency bands.It can indicate the storage capacity of vibration energy of structural systems. Modal density can be obtained experimentally using point admittance method.In this paper,the point admittance method is used to test the modal density of a rectangle aluminum alloy plate.Impulse hammer excitation and sinusoidal sweeping excitation are used respectively to get the results.The test results are modified by considering the additive masses of the sensors.Experimental results show that different excitations have different influences on the accuracy of test results;the influences of the additive masses on the corrected results are different under different excitations but the same frequency. The test result under the sinusoidal sweeping excitation agrees well with theoretical value after the additive mass correction.

vibration and wave;modal density;point admittance method;experimental study;incentive form;additive mass correction

TB532

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.039

1006-1355(2017)01-0183-05

2016-03-01

教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助項目（NCET-11-0086）；國家自然科學基金資助項目（10902024）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目（CXZZ13_0084）；航空科學基金資助項目（20090869009）

陳飛（1990－），男，山東省臨沂市人，碩士生，主要研究方向為典型結構動力學。E-mail:chenfeiseu@163.com