正弦掃頻速率對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響分析

高 強(qiáng)，吳艷紅，欒金擇，李京霖

（航天科工空間工程發(fā)展有限公司，北京100854）

0 引言

在飛行器研制過程中，常通過正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)來考核飛行器結(jié)構(gòu)在低頻段的性能[1]，亦可根據(jù)振動(dòng)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)得到結(jié)構(gòu)主模態(tài)信息（共振頻率、放大系數(shù)等）[2-3]并進(jìn)行有限元模型修正。

在正弦掃頻振動(dòng)中，激勵(lì)頻率隨時(shí)間變化，因此正弦掃頻振動(dòng)為非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)間存在差異，具體表現(xiàn)為：峰值減小，正向掃頻激勵(lì)下峰值頻率右移（逆向掃頻激勵(lì)下峰值頻率左移）、共振峰形狀扭曲，且掃頻速率越高，上述特征越明顯[4-8]。因此直接使用正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元模型修正會(huì)引入新的誤差。文獻(xiàn)[4-8]對(duì)正弦掃頻激勵(lì)下的掃頻響應(yīng)特性進(jìn)行了分析，但未得出明確的掃頻響應(yīng)特性與掃頻速率間關(guān)系式，且未對(duì)多自由度系統(tǒng)的掃頻特性進(jìn)行研究。

本文使用數(shù)值積分方法研究單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)特性，推導(dǎo)了一個(gè)量綱為1的掃頻參數(shù)η，得到了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性與η的關(guān)系式；在掃頻參數(shù)η相同，其他參數(shù)不同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)特性一致。最后通過簡易衛(wèi)星模型證明，上述關(guān)系式亦可適用于多自由度系統(tǒng)在低階模態(tài)處的掃頻響應(yīng)分析。

1 正弦掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)求解

1.1 單自由度系統(tǒng)

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig.1 Single-DOFsystem

當(dāng)系統(tǒng)受到圓頻率為ω的位移激勵(lì)uj時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中ui為系統(tǒng)的絕對(duì)位移。ui與uj的關(guān)系為

1.2 線性掃頻激勵(lì)和對(duì)數(shù)掃頻激勵(lì)

線性掃頻和對(duì)數(shù)掃頻是實(shí)際應(yīng)用中常用的正弦掃頻方式。在線性掃頻中，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率變化率為Rlinear，Hz/m in；在對(duì)數(shù)掃頻中，基礎(chǔ)激勵(lì)的頻率變化率為Rexp，oct/m in。正向掃頻（由低到高掃頻，下同）時(shí)，頻率變化率為正數(shù)；逆向掃頻（由高到低掃頻，下同）時(shí)，頻率變化率為負(fù)數(shù)。設(shè)掃頻信號(hào)的初始頻率為fstart，則線性掃頻和對(duì)數(shù)掃頻的頻率分別為：

1.3 求解正弦掃頻激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)

將uj的表達(dá)式（式(7)或式(8)）代入系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程（式(1)），即可求解得到系統(tǒng)響應(yīng)ui。由于uj為非簡諧振動(dòng)，所以上述方程很難得到理論解。Cronin[9]使用泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉展開、固定相位法和“鞍點(diǎn)”法等多種方法，推導(dǎo)了正弦掃頻激勵(lì)下單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的近似公式。但該近似公式只適用于阻尼比很?。ㄐ∮?.01）、掃頻速率很慢的情況，不適合進(jìn)行系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性研究。

本文使用Duhamel 數(shù)值積分方法求解單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)。為消除初始狀態(tài)對(duì)共振峰處響應(yīng)的影響，仿真時(shí)定義掃頻初始頻率fstart=f0/4（正向掃頻）或fstart=4f0（逆向掃頻）。

針對(duì)f0=20 Hz、?0=0.02的單自由度系統(tǒng)，分別進(jìn)行正向（Rexp=2 oct/m in、4 oct/m in）、逆向（Rexp=-2 oct/min、-4 oct/m in）掃頻激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)計(jì)算，結(jié)果如圖2和圖3所示。圖2為正向掃頻（Rexp=4 oct/min）時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)頻率（頻率隨時(shí)間變化）的關(guān)系；圖3為不同掃頻速率下的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)（Rexp=0）下系統(tǒng)響應(yīng)的對(duì)比。

圖2 正向掃頻（R exp=4 oct/m in）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)與頻率關(guān)系Fig.2 Response of positive exponential sweep excitation(R exp=4 oct/min)

圖3 非穩(wěn)態(tài)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)下的系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)比Fig.3 The difference between transient response and steady response at several sweep rates

由圖3可知，在正向和逆向掃頻激勵(lì)下，系統(tǒng)響應(yīng)峰值減小，且共振峰形狀扭曲，半功率帶寬增大；正向掃頻下，峰值頻率增加（右移），大于共振頻率fmax；逆向掃頻下，峰值頻率減?。ㄗ笠疲∮诠舱耦l率fmax；掃頻速率越高，上述特征越明顯。另外，在圖2中，在響應(yīng)峰值之后，又出現(xiàn)了一個(gè)小的峰值，這是由“拍”振動(dòng)引起的。此處振動(dòng)由兩部分疊加而成，一部分是系統(tǒng)以共振峰處的振動(dòng)狀態(tài)為初始條件作有阻尼自由振動(dòng)，另一部分是系統(tǒng)在該“拍”振動(dòng)頻率處作受迫振動(dòng)，兩部分振動(dòng)的頻率相近，疊加形成了“拍”振動(dòng)現(xiàn)象。

2 掃頻速率對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響的定量分析

2.1 共振響應(yīng)特性

對(duì)于f0=20 Hz、?0=0.05的單自由度系統(tǒng)，其靜止初始條件下的共振響應(yīng)曲線如圖4(a)所示。由圖可知，系統(tǒng)的響應(yīng)Amp(t)是隨著時(shí)間逐漸增大的，經(jīng)過大約15個(gè)循環(huán)之后才達(dá)到穩(wěn)態(tài)最大值A(chǔ)mpmax（≈10）。若系統(tǒng)不是從靜止?fàn)顟B(tài)開始（不失一般性，可假定系統(tǒng)初始速度為0，但初始位移與激勵(lì)的位移幅值之比為αAmpmax，其中α∈(-1,1)），則系統(tǒng)的響應(yīng)為

令α=-0.8，系統(tǒng)的共振響應(yīng)曲線如圖4(b)所示。由圖可知，系統(tǒng)經(jīng)過大約9個(gè)循環(huán)之后即可達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[10]指出，系統(tǒng)阻尼比?0越小，則響應(yīng)趨于穩(wěn)定所需的循環(huán)周數(shù)就越多。因此在正弦掃頻振動(dòng)中，由于激勵(lì)頻率隨時(shí)間變化，掃頻激勵(lì)在系統(tǒng)共振頻率處停留的時(shí)間很短、循環(huán)次數(shù)較少，以致系統(tǒng)響應(yīng)峰值達(dá)不到穩(wěn)態(tài)最大值A(chǔ)mpmax。

圖4 靜止和非靜止初始條件下的系統(tǒng)共振響應(yīng)曲線Fig.4 Resonance response curve under static (a)and nonstatic(b)initial conditions

2.2 量綱為1的掃頻參數(shù)

由式(11)可知，當(dāng)激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)共振頻率時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)Amp(t)的值與?0ωt有關(guān)。將?0ωt改寫為

圖5 共振頻帶Fig.5 Resonance bandw idth

對(duì)于任何一種既定的正弦掃頻模式，β0是確定的，但式(13)中的Δf未定，因此Nr和η無法確定。為此，在系統(tǒng)阻尼比?0較小的情況下，可令圖5中的f1和f2分別為系統(tǒng)半功率帶寬的上、下限，則有：

式(15)適用的前提條件是系統(tǒng)阻尼?0較小、半功率帶寬Δf與品質(zhì)因子Q的關(guān)系式Δf=?0/Q成立、掃頻函數(shù)f(t)在半功率帶寬內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）且β0≠0。式(16)中的Nr為系統(tǒng)在半功率帶寬內(nèi)的循環(huán)次數(shù)。此時(shí)，對(duì)于既定的系統(tǒng)和掃頻模式，掃頻參數(shù)η便可確定。

線性掃頻和對(duì)數(shù)掃頻下，η的表達(dá)式分別為：

應(yīng)用MatLab軟件對(duì)線性和對(duì)數(shù)掃頻下系統(tǒng)的響應(yīng)特性進(jìn)行仿真計(jì)算。假定系統(tǒng)在掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)最大值為Alinear-max和Aexp-max；η相同但其他參數(shù)不同的情況下，Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax的對(duì)比結(jié)果詳見表1。由表1可知，在掃頻參數(shù)η相同、其他參數(shù)不同的情況下，線性和對(duì)數(shù)掃頻的響應(yīng)幅值（Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax）基本是一致的；正向掃頻和逆向掃頻的響應(yīng)幅值有微小差異，逆向掃頻的結(jié)果比正向掃頻的大1%～2%；對(duì)于正向?qū)?shù)掃頻，當(dāng)Q值（即Rexp/f0的值）相同時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)幅值完全一致；當(dāng)Q值較小、掃頻速率較大（Q=5、Rexp/f0=8）時(shí)，響應(yīng)幅值略有偏差，這是由于?0=0.1時(shí)式(4)的近似關(guān)系存在誤差，且掃頻速率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)頻率時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線較稀疏，曲線包絡(luò)不能準(zhǔn)確得到系統(tǒng)響應(yīng)的最大值，如圖6所示。

表1 掃頻參數(shù)η 相同時(shí)的線性掃頻和對(duì)數(shù)掃頻對(duì)比Table 1 Comparison of several responses for sameη(exponential and linear)

圖6 掃頻速率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)頻率時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve for very large sweep rate

2.3 掃頻參數(shù)η 對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響分析

由2.2節(jié)可知，在掃頻參數(shù)η相同的情況下系統(tǒng)的響應(yīng)特性基本一致，但當(dāng)Rlinear/f02 或Rexp/f0變化時(shí)結(jié)果略有差別，因此本文仿真計(jì)算了Rlinear/f02或Rexp/f0變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。Rlinear/f02（或Rexp/f0）取值為0.001～10時(shí)，Q分別取值5、10、25、50、100，且正向和逆向掃頻都進(jìn)行仿真；同時(shí)，計(jì)算了η在0.1～1000間變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[4]的研究中令η值在0.1～1000間變化，Rexp/f0恒定為0.1，只改變Q的值。這是不夠全面的，因?yàn)镽exp/f0的變化對(duì)結(jié)果有一定影響。因此本文分別將Rexp/f0的取值固定為0.05、0.1、0.5、1、2、5、10（Rlinear/f02 的取值固定為0.01、0.1、0.5、1、2、5、10），通過改變Q的值，使η取值在0.1～1000間變化，然后進(jìn)行正向和逆向掃頻仿真。

圖7、圖8為系統(tǒng)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的對(duì)比關(guān)系：圖7為響應(yīng)峰值與穩(wěn)態(tài)峰值之比；圖8為掃頻響應(yīng)的峰值頻率的誤差，該誤差用正則化誤差QΔf/fmax表示，其中Δf=|fexp-fmax|或|flinear-fmax|，fexp和flinear分別為對(duì)數(shù)掃頻和線性掃頻時(shí)的峰值對(duì)應(yīng)頻率。由圖7、圖8可知：隨著掃頻參數(shù)η增大，系統(tǒng)響應(yīng)峰值減小、峰值頻率偏差增大，且系統(tǒng)Q值越大，受影響越明顯；正向掃頻和逆向掃頻的結(jié)果差異可以忽略；當(dāng)引入掃頻參數(shù)η后，誤差曲線基本合為一條曲線；由圖7(b)可知，Rlinear/f02或Rexp/f0取不同值對(duì)結(jié)果的影響基本可忽略，4種掃頻類型共28條曲線幾乎重疊。

圖7 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數(shù)η對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)峰值的影響Fig.7 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the amplitude

圖8 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數(shù)η對(duì)共振頻率的影響Fig.8 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the resonance frequency

擬合曲線見圖7(b)。

圖8(b)中的28 條曲線基本一致，當(dāng)η超過100時(shí)，出現(xiàn)一定偏差，正則化頻率誤差QΔf/fmax與η的關(guān)系為

3 多自由度系統(tǒng)的掃頻響應(yīng)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[11]對(duì)受到線性掃頻激勵(lì)的兩自由度系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行了分析，得出“掃頻速率越慢，系統(tǒng)響應(yīng)越趨于穩(wěn)定響應(yīng)”的結(jié)論，但對(duì)響應(yīng)的誤差無定量估算。我們對(duì)如圖9所示的簡化衛(wèi)星模型進(jìn)行對(duì)數(shù)正弦掃頻激勵(lì)，討論掃頻速率對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。該簡化模型尺寸為1m×1m×2 m，橫向一階頻率16.4 Hz。在橫向1g的穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下，頂點(diǎn)最大響應(yīng)為18.5g（阻尼比取0.03）。對(duì)結(jié)構(gòu)底部施加1g的正弦掃頻激勵(lì)，掃頻速率分別為4 oct/min、8 oct/m in、16 oct/m in 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)峰值和峰值頻率如表2所示，表中單自由度模型結(jié)果是將掃頻參數(shù)η代入式(19)、式(20)計(jì)算得到的。由表2可知，隨掃頻速率增大，結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值降低，峰值頻率增大；當(dāng)掃頻速率為8 oct/m in 時(shí)，掃頻響應(yīng)峰值與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相差達(dá)11%；單自由度模型的計(jì)算結(jié)果與多自由度模型有微小差異，這是由于模態(tài)疊加時(shí)，高階模態(tài)對(duì)此處的響應(yīng)也有一定貢獻(xiàn)?？傮w來看，當(dāng)多自由度系統(tǒng)模態(tài)稀疏且相鄰模態(tài)之間影響較小時(shí)，擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8基本適用于多自由度系統(tǒng)低階模態(tài)處的掃頻響應(yīng)分析。

圖9 簡化衛(wèi)星模型Fig.9 Simplified FEM model of a satellite

表2 多自由度系統(tǒng)的掃頻響應(yīng)Table2 Responses of a multi-DOFsystem under sine-sweep excitations

4 結(jié)論

本文使用數(shù)值方法，研究了單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)特性；通過單自由度系統(tǒng)的共振響應(yīng)特性，推導(dǎo)了量綱為1的掃頻參數(shù)η；計(jì)算結(jié)果表明，參數(shù)η對(duì)單自由度系統(tǒng)的掃頻響應(yīng)起決定性影響；通過計(jì)算得到了掃頻響應(yīng)峰值、峰值頻率與參數(shù)η的關(guān)系曲線及擬合公式；最后使用簡化衛(wèi)星模型，驗(yàn)證了參數(shù)η基本適用于多自由度系統(tǒng)的掃頻響應(yīng)分析。

研究得出結(jié)論如下：

1）在正弦掃頻激勵(lì)下，系統(tǒng)最大響應(yīng)減小、正向掃頻峰值頻率增大（逆向掃頻峰值頻率減?。?，且掃頻速率越高，影響越明顯。

2）線性掃頻和對(duì)數(shù)掃頻激勵(lì)下，系統(tǒng)響應(yīng)基本一致；正向掃頻和逆向掃頻激勵(lì)下，系統(tǒng)響應(yīng)有微小差異，最大幅值相差1%～2%。

3）在掃頻參數(shù)η相同，其他參數(shù)不同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)特性基本一致。

4）對(duì)于復(fù)雜衛(wèi)星結(jié)構(gòu)（多自由度系統(tǒng)），在低階模態(tài)處、相鄰模態(tài)之間影響較小時(shí)，本文基于單自由度系統(tǒng)得到的擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8可用于預(yù)示其掃頻響應(yīng)特性。

另外，工程試驗(yàn)人員在正弦振動(dòng)試驗(yàn)前，可參考本文研究結(jié)果，根據(jù)試驗(yàn)要求或者需要特定考核的頻段，設(shè)置合理的掃頻速率，既保證掃頻時(shí)間不會(huì)太長，又可使試驗(yàn)結(jié)果達(dá)到預(yù)期的精度；亦可在正弦振動(dòng)試驗(yàn)后，根據(jù)上述公式或圖表，對(duì)試驗(yàn)得到的響應(yīng)特性數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的修正。對(duì)于頻帶較寬的掃頻試驗(yàn)，建議針對(duì)不同頻段分別設(shè)置不同的掃頻參數(shù)，在保證試驗(yàn)精度的同時(shí)節(jié)省試驗(yàn)時(shí)間。例如，對(duì)于Q=10、f0=30 Hz 的模態(tài)，Rexp/f0=0.1，即Rexp=3 oct/m in 時(shí)，掃頻響應(yīng)的誤差不足3%；對(duì)于Q=10、f0=200Hz 的模態(tài)，Rexp=20 oct/m in 時(shí)亦可達(dá)到相同的精度。