劉熙娟，劉 云

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院，新疆阿拉爾 843300)

一類非對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為分析

劉熙娟，劉 云

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院，新疆阿拉爾 843300)

研究了一類非對稱性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振情形下的全局動力學(xué)行為．采用多尺度法和范式理論研究了系統(tǒng)的1∶2內(nèi)共振，得到系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振的分岔方程，根據(jù)分岔方程得到了內(nèi)共振非零解存在的條件．利用全局分析法研究了系統(tǒng)的Silnikov型同宿軌道及其存在性，獲得了該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為．分析結(jié)果對抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的內(nèi)共振運動有一定的工程意義．

多尺度法；同宿軌道；非對稱性轉(zhuǎn)子；范式理論

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在汽輪發(fā)電機中有著重要作用，這類機械系統(tǒng)一旦受到外部干擾，其速度就會發(fā)生很大變化，若要改變這種動力學(xué)行為，就要避免系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象．兩個截面主慣矩不相等的轉(zhuǎn)子稱為非對稱轉(zhuǎn)子，非對稱轉(zhuǎn)子在工程中應(yīng)用廣泛．這類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大特點是轉(zhuǎn)軸在兩個主方向上的剛度不同，因而這類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性與對稱轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性有很大差別．同時，為了適應(yīng)旋轉(zhuǎn)機械高速、高效的需求，轉(zhuǎn)子與定子間的間隙越來越小，導(dǎo)致碰摩故障不斷發(fā)生．在工程實際中，航空發(fā)動機、汽輪機等旋轉(zhuǎn)機械存在許多原因造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有非對稱支撐的特點，容易導(dǎo)致整個機器較大振動，因而研究非對稱轉(zhuǎn)子的碰摩特性是非常重要和必要的．前人已做了大量工作[1-5]．肖錫武等[1]研究了具有非軸對稱剛度轉(zhuǎn)軸的分岔；王培杰等[2]利用有限元分析了非對稱轉(zhuǎn)子的動力學(xué)行為；Kwanka[3]研究了轉(zhuǎn)子的動態(tài)系數(shù)；韓清凱、肖錫武等[4-5]分別研究了故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動分析與診斷方法和不對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參激強迫振動．本文主要研究了一類非對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1∶2內(nèi)共振情形下的全局動力學(xué)行為．

1 數(shù)學(xué)模型

在圖1所示的外部支撐轉(zhuǎn)子中，僅考慮圓柱形模型時，轉(zhuǎn)子的位置就由兩自由度ux,uy唯一來決定．

非對稱剛度支撐的轉(zhuǎn)子[6]可用下式表示：

圖1 非對稱剛性支撐的轉(zhuǎn)子模型

其中m是轉(zhuǎn)子質(zhì)量，c是黏帶阻尼系數(shù)，kij是剛度系數(shù)，ε是無量綱偏心距．轉(zhuǎn)子被間隙δ限制在一個固定空間，δ為靜止時轉(zhuǎn)子與定子之間初始間隙．當(dāng)轉(zhuǎn)子的徑向位移超過該間隙時，轉(zhuǎn)子就會和定子接觸．為便于數(shù)值模擬，令τ=nt，則系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為：

2 多尺度法獲得規(guī)范型

對于系統(tǒng)無量綱方程（2），為了方便多尺度法研究，不對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)冪級數(shù)模型可表示為：

其中σ1,σ2為調(diào)諧參數(shù)．

方程（6）的通解可表示為：

式（9）中的首項是對時間T1的微分，令：

把式（10）代入式（9），并將所得結(jié)果的實部和虛部分離，可得直角坐標(biāo)形式的平均方程：

獻[8]中范式理論和Maple程序可得到系統(tǒng)（12）的范式為：

3 未擾動系統(tǒng)的全局分岔分析

令ρ=0，得到系統(tǒng)（15）的未擾動方程如下：

顯然系統(tǒng)的前三個方程與φ無關(guān)，I是個常數(shù)．這樣的話(u,v)平面的動力學(xué)行為與(I,)φ平面的行為是互相解耦的．(u,v)相空間中的所有的平衡點描述如下：

是一個兩維不變流形．由參考文獻[9]可知這個二維不變流形是正規(guī)雙曲的．這個二維正規(guī)雙曲不變流形有三維穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形，分別用表示．系統(tǒng)（18）中，連接奇點的異宿軌道的存在表明沿三維異宿流形非橫截相交，此流形Γ定義如下：

詳實的解釋匯報得到了甲方專家的一致肯定，李淑榮為履約踐諾而表現(xiàn)出來的敬業(yè)精神更是得到了甲方的高度贊賞！

為了分析系統(tǒng)（18）的異宿分岔，得到未擾動系統(tǒng)的異宿軌線的分析表達式：

此外，常規(guī)雙曲流形M0由下面的方程決定：

4 擾動系統(tǒng)的全局分岔分析

由公式（20）知M0是正規(guī)雙曲不變流形，在充分可微的小擾動下，M與它的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形是不變的，因此有，可得：

這樣限制在Mρ上的（18）的擾動方程描述如下：

將以上變換代入（24），可得

當(dāng)ρ→0，系統(tǒng)（26）就變?yōu)椋?/p>

未擾系統(tǒng)（27）是帶有Hamilton函數(shù)的Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton函數(shù)為：

系統(tǒng)（27）的不動點為：

對不動點（28）對應(yīng)的雅可比矩陣研究可知P是鞍點，q是中心．這樣存在一個同宿軌道連接p和它本身．根據(jù)Kovacic[9]分析，對于充分小的參數(shù)ρ，q會成為匯qρ，p依然是鞍點pρ．此時中心q周圍的周期軌道消失，連接p和p自身的同宿軌道也會消失，并有不穩(wěn)定流形慢慢靠近qρ．

接下來，考慮Ir鄰域上的Mρ動力學(xué)行為．此環(huán)形鄰域定義如下：

對于不動點的鞍-焦點類型的同宿軌道的存在會導(dǎo)致混沌的發(fā)生，這種同宿軌道類型稱為Silnikov同宿環(huán)[10]．由文獻[10]可知系統(tǒng)最后產(chǎn)生了Silnikov型同宿環(huán)，如圖2所示．

圖2 Silnikov型鞍焦點同宿軌道

根據(jù)前面的分析以及參考文獻[9]的結(jié)論，式（30）可以表示成下面的形式：

對式（31）的首項，第二、三項可以進一步簡化，最后可得Silnikov函數(shù)（31）的表達式：

為了確定Silnikov型同宿軌道的存在性，首先要求Melnikov函數(shù)有一個簡單零點．也就是說

5 結(jié) 論

研究了一類非對稱轉(zhuǎn)子在 1∶2共振情形下的全局分岔和混沌等動力學(xué)行為，運用多尺度法和范式理論獲得了標(biāo)準(zhǔn)型，借助高維系統(tǒng) Melnikov理論以及其共振情況的延伸，分析了系統(tǒng)的全局分岔行為，最后探究了Silnikov同宿軌道的存在性，它是系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的主要原因．

[1] 肖錫武，徐鑒，李譽，等．具有非軸對稱剛度轉(zhuǎn)軸的分叉[J]．力學(xué)學(xué)報，2000，32（3）：360-366.

[2] 王培杰，滕弘飛，劉篤金，等．非對稱復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元動力分析[J]．固體力學(xué)學(xué)報，1991，12（4）：370-375.

[3] Kwanka K. Dynamic coeffieients of stepped labyrinth gas seals [J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power,2000,122(3): 473-477.

[4] 韓清凱，于濤，王德友，等．故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動分析與診斷方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2010：89-103.

[5] 肖錫武，肖光華，楊叔子．不對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參激強迫振動[J]．振動工程學(xué)報，2002，15(3)：315-318.

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[8] Zhang W. Global and chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate [J]. Journal of Sound and Vibration,2001,239(5): 1013-1036.

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Behavioral Analysis on Global Dynamics of an Asymmetric Rotor System

LIU Xijuan,LIU Yun
(College of Information Engineering,Tarim University,Aral,China 843300)

The global dynamic behavior based on 1: 2 internal resonances is studied by adopting the methods of multiple scales and the normal form theories,from which the bifurcation equation of the system is obtained. According to the bifurcation equation,the existence condition of untrivial solutions of the internal resonance is secured. The extension of Silnikov homoclinic orbit is studied via the global perturbation method,thus the global dynamical behavior of the rotor system is received. The result of such analysis has some engineering significance towards the internal resonance motion to restrain the rotor system.

Multiscale Method; Homoclinic Orbit; Asymmetric Rotor; Paradigm (Normal Form) Theory

O193

：A

：1674-3563(2017)01-0020-10

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.01.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2015-07-13

甘肅省國際科技合作計劃項目(1104WCGA195)；甘肅省自然科學(xué)基金資助項目(1208RJZA111)；甘肅省教育廳碩導(dǎo)基金項目(212104)

劉熙娟(1988- )，女，甘肅會寧人，講師，碩士，研究方向：非線性動力學(xué)