鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 何尚文

鄭州工商學(xué)院建筑工程學(xué)院 唐華瑞 苗同臣

理論力學(xué)教學(xué)中平面力系平衡的深入探討

鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 何尚文

鄭州工商學(xué)院建筑工程學(xué)院 唐華瑞 苗同臣

總結(jié)平面力系平衡教學(xué)中的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合具體實(shí)例深入分析平面匯交力系、平面平行力系、平面力偶系及平面任意力系平衡的聯(lián)系與區(qū)別，總結(jié)出解決平面力系平衡問(wèn)題的一般規(guī)律，揭示平面力系平衡的本質(zhì)，使學(xué)生為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

理論力學(xué)教學(xué)；平面力系；平衡方程；平衡

在理論力學(xué)教學(xué)中，力系平衡問(wèn)題是非常重要的內(nèi)容，它是后續(xù)相關(guān)力學(xué)課程學(xué)習(xí)的關(guān)鍵基礎(chǔ)。使學(xué)生熟練掌握應(yīng)用力系平衡方程解決各類(lèi)工程問(wèn)題的一般規(guī)律，深入透徹地理解力系平衡的本質(zhì)，理清力系平衡涉及的關(guān)鍵觀(guān)念，建立完整的知識(shí)體系是我們教學(xué)的核心目標(biāo)。

1 平面力系的平衡方程

平面力系平衡問(wèn)題是平面力系簡(jiǎn)化的深化和延續(xù)。根據(jù)平面力系簡(jiǎn)化的結(jié)論，力系平衡的充要條件為主矢和主矩同時(shí)為0。要區(qū)分力系平衡和系統(tǒng)平衡兩個(gè)概念，系統(tǒng)平衡必有所受力系平衡，反之不一定成立。

平面任意力系的平衡方程，主矢、主矩同時(shí)為0，表達(dá)式如下（n為力系中力的個(gè)數(shù)）[1][2]：

方程第一式為矢量方程；由于平面力系的矩可理解為標(biāo)量，第二式為標(biāo)量方程。

1.1 平面任意力系的獨(dú)立平衡方程

對(duì)于平面任意力系，是平面上任意一點(diǎn)，將矢量方程描述為代數(shù)方程，則（1）式可寫(xiě)為式（2）[3]，即為平面任意力系的平衡方程，顯然這3個(gè)代數(shù)方程是相互獨(dú)立的。

1.2 平面匯交力系的獨(dú)立平衡方程

對(duì)于特殊的平面匯交力系，是平面上任意一點(diǎn)，是力系匯交點(diǎn)。其合力為通過(guò)匯交點(diǎn)的主矢，若此主矢為0，則對(duì)任意一點(diǎn)主矩自然為0，即平衡方程（2）中的第三式由前兩式線(xiàn)性組合，同理第一式或第二式是也可由其他兩式線(xiàn)性組合，相應(yīng)平衡方程可寫(xiě)為式（3）或（4）[4]。

式（3）、（4）為平面匯交力系平衡方程的幾種形式，兩個(gè)獨(dú)立方程，與式（2）比較可知平面匯交力系與平面任意力系平衡方程的區(qū)別與聯(lián)系。

1.3 平面平行力系的獨(dú)立平衡方程

對(duì)于特殊的平面平行力系，O是平面上任意一點(diǎn)。則平衡方程（2）中的前兩式線(xiàn)性相關(guān)，平面平行力系的平衡方程可表達(dá)為式（5）[4]。

式（5）為平面平行力系2個(gè)獨(dú)立的平衡方程。與式（4）比較可知，平面匯交力系與平面平行力系具有相同形式的平衡方程，可理解為平面平行力系是匯交點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的特殊平面匯交力系。

1.4 平面力偶系的獨(dú)立平衡方程

對(duì)于特殊的平面力偶系，其主矢自然為零，O是平面上任意一點(diǎn)。平衡方程（2）中前兩式自動(dòng)為零，則平衡方程形式轉(zhuǎn)化為式（6）[5]，只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程。

2 平面力系平衡方程典型例題分析

例：梯子上端B靠在鉛垂墻壁上，下端A擱置在水平地面上，與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束。梯子與地面間的摩擦因數(shù)為fs，梯子重力為W，長(zhǎng)為l。設(shè)梯子在傾角1位置保持平衡，求A、B處約束力FNA、和摩擦力FA。

圖1

圖2

解一：按平面任意力系的平衡方程求解，3個(gè)平衡方程求解3個(gè)未知量。

解二：按平面力偶系平衡方程求解，認(rèn)為圖中兩個(gè)水平力與兩個(gè)豎直力分別組成一個(gè)力偶，一個(gè)平衡方程，補(bǔ)充兩個(gè)組成力偶的條件。

解三：如圖2按平面匯交力系平衡方程求解。FNB與W匯交于P點(diǎn)，則全約束力必通過(guò)點(diǎn)，補(bǔ)充一個(gè)幾何條件。設(shè)FRA與X軸負(fù)方向夾角為，則

比較解一、解二與解三可知：式（8）中組成力偶的條件與式（7）中前兩個(gè)平衡方程等價(jià)；式（9）與式（7）的3個(gè)方程（條件）完全等價(jià)，即式（7）、（8）、（9）完全等價(jià)，3種解法完全等價(jià)。

綜上，平衡前提下平面力系可以看成平面任意力系、平面匯交力系、平面力偶系或平面平行力系；對(duì)一個(gè)研究對(duì)象其解決平衡問(wèn)題的獨(dú)立方程（條件）總是可以列出3個(gè)，要么是3個(gè)平衡方程，要么是1個(gè)或2個(gè)平衡方程加上其他方程（條件）；解決問(wèn)題的方法取決于將該平面力系看成那種力系，n個(gè)構(gòu)件組成的平衡系統(tǒng)總可列3n個(gè)獨(dú)立方程（條件）。該結(jié)論可推廣至空間力系平衡問(wèn)題，也是文獻(xiàn)[6][7]分析的進(jìn)一步深化。

3 平面力系平衡的本質(zhì)

理解力系平衡是從二力平衡的概念出發(fā)的，到三力匯交平衡，再到任意力組成的復(fù)雜力系的平衡。那么對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，其所受力系為任意的平面力系，其平衡的本質(zhì)是什么呢？圖1：看作平面任意力系，F(xiàn)NB與W匯交于p點(diǎn)，則其可合成為一個(gè)過(guò)p點(diǎn)的力FP，F(xiàn)A與FNA合成為通過(guò)A點(diǎn)的FRA，則該力系平衡可理解為FP與FRA二力平衡；若看作平面力偶系，與前分析相同，該平面任意力系依然可理解為FP與FRA二力平衡；圖2：看作平面匯交力系，F(xiàn)NB與P匯交于點(diǎn)合成為力FP，則該力系平衡也可理解為FP與FRA二力平衡。

綜上：任意一個(gè)平面力系的平衡均可理解為二力平衡，即從平衡的平面力系中任意選擇一個(gè)力，則平衡一定可以看作力系中其余力的合力與該力的二力平衡；或者從平衡的平面力系中任意選擇幾個(gè)力，則平衡一定可以看作這幾個(gè)力的合力與力系中其余力的合力組成的二力平衡。該結(jié)論可推至任意的空間力系平衡，將平衡的本質(zhì)歸結(jié)為二力平衡對(duì)于學(xué)生理解平衡問(wèn)題有重要意義。

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（第7版）.北京:高等教育出版社,2009.

[2]洪嘉振,劉鑄永,楊長(zhǎng)俊.理論力學(xué)（第四版）.北京:高等教育出版社,2015.

[3]謝傳鋒,王琪.理論力學(xué).北京:高等教育出版社,2009. [4]周又和.理論力學(xué).北京:高等教育出版社,2015.

[5]劉延柱,楊海興,朱本華.理論力學(xué)（第二版）.北京:高等教育出版社,2000.

[6]汪思偉.平面靜力方程的獨(dú)立性問(wèn)題.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào),1982，3（3）：106-112.

[7]李豐良.平面任意力系平衡方程的獨(dú)立性.力學(xué)與實(shí)踐,2001，3（23）：62-64.

0312.2

A

2017-01-05）

國(guó)家自然科學(xué)基金(51405452)、河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A130002)資助.