鄭國鵬

摘 要：排列組合是高考的重要內(nèi)容，它是概率與統(tǒng)計的基礎，廣泛運用于概率統(tǒng)計的計算當中，且在日常生活中也有重要的實際意義。在近些年的高考數(shù)學試卷中，考查比例越來越高，所以掌握排列的常用方法十分必要。主要講述有關(guān)排列組合的常用方法。

關(guān)鍵詞：排列；組合；方法

一、特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮法

例如：1名教師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法多少種？

解：法1：先考慮特殊元素“老師”有A1

3種排法，再把4名學生排在余下4個位置有A4

4種，共有A1

3·A4

4=72種

法2：先考慮特殊位置“兩端”，即從4名學生中選2人排在兩端有A2

4種，再把剩下兩名學生和老師排在其他3個位置有A3

3種，共有A2

4·A3

3=72種

二、相鄰問題用捆綁法

例如：5人排成一排，其中甲乙必須排在一起，有幾種排法？

解：把甲乙兩人捆綁看成一個大元素，與其他三人組成4個元素全排列有A4

4種，其中甲乙兩人內(nèi)部排列有A2

2種，共A4

4·A2

2種。

三、不相鄰問題用插空法

例如：5人排成一排，其中甲乙不排在一起，有幾種排法？

解：要求不相鄰的甲乙兩人先不排，其他3人先排有A3

3種，再把甲乙兩人插在3人組成的4個空檔中有A2

4種，共有A3

3·A2

4種。

四、定序問題用除法

例如：5人排成一排，其中甲、乙、丙三人排序一定，有幾種排法？

解：如果沒有要求排序一定，則有A5

5種，其中包含有甲、乙、丙三人的全排列A3

3種，而甲、乙、丙三人一定的排序只是A3

3其中的一種，即只占，所以共有A5

5·=種

（此種問題歸結(jié)為用沒要求時的全排列種數(shù)除以要求定序的個數(shù)的全排列種數(shù)。）

五、正難則反法（也叫間接法、排除法）

例如：5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要排成一個節(jié)目單，要求前四個節(jié)目中要有舞蹈，有幾種排法？

解：本題若直接考慮則情況比較多，可從反面考慮，即先求出前四個節(jié)目中沒有舞蹈的排法種數(shù)有A4

5·A4

4種，而沒任何要求的排法種數(shù)有A8

8種，所以共有A8

8-A4

5A4

4種。

六、組合中的平均分組問題

1.全部平均分組問題

例如：6個人分成3組，每組2人有幾種分法？

解：=15種。若改為分成2組，每組3人，則有種，應多體會。

2.部分平均分組問題

例如：6名運動員分配到4所學校擔任教練，每校至少一人，則分配方法有幾種？

解：6名運動員分到4所學校去做教練，每校至少一人，有以下兩類情形：

第一類：4所學校分到的運動員各有3、1、1、1人，這樣的分法一共有：（C3

6·）·A4

4=480種；

第二類：4所學校分到的運動員各有2、2、1、1人，這樣的分法一共有：（·）·A4

4=1080種；

根據(jù)分類計數(shù)原理可得：6名運動員分到4所學校去做教練，每校至少一人，有480+1080=1560種分法。

（以上兩類情形中均采用“先分組后排列”的思想方法，即6個人先分成4組再把這4組分到學校，其中分組時出現(xiàn)了部分平均分組，處理方法跟全部平均分組類似。）

七、組合中的隔板法（此法適用于沒有區(qū)別的元素的分配問題，常見的有名額分配、相同小球的分配等）

例1.20個相同的小球放入4個不同的盒子，每盒至少一球，有幾種放法？

解：先把20個小球排成一排，由于球都是相同的，所以只有一種排法；再在20個小球之間的19個空檔中插入3個隔板，有C3

19種不同插法。所以共有C3

19種放法。

例2.20個相同小球放入4個不同的盒子，有幾種放法？

解：本題與上題的區(qū)別是每個盒子不一定都放球，此時也可以用隔板法。將20個小球與將要插入的3個隔板看成23個元素，放在23個位置上。問題簡化為在23個位置上選出3個位置放隔板，其他20個位置都放球，有C3

23種不同放法。

例3.20個相同小球放入4個編號分別為1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球數(shù)要大于其編號數(shù)，有幾種放法？

解：先在4個盒子中放入與其編號相同數(shù)目的小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下10個小球，此時再利用隔板法將剩下的10個小球放入4個盒子中（此時要求每個盒子都要再放球）有C3

9種，所以共有C3

9種。

例4.20個相同小球放入4個編號分別為1、2、3、4的盒子，要求每盒中的球數(shù)不小于其編號數(shù)，有幾種放法？

解法1：先在4個盒子中放入與其編號相同數(shù)目的小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下10個小球，此時再利用隔板法將剩下的10個小球放入4個盒子中（此時沒有要求每個盒子都要再放球）有C3

13種，所以共有C3

13種。

解法2：先在編號為1、2、3、4的四個盒子中分別放入0個、1個、2個、3個小球，因為小球都相同，所以只有一種放法，還剩下14個小球，此時再利用隔板法將剩下的14個小球放入4個盒子中（此時要求每個盒子都要再放球）有C3

13種，所以共有C3

13種。

編輯 張珍珍