陸劍鋼

[摘 要] 為探索普通高中基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)發(fā)展的途徑，開展教學(xué)微實(shí)驗(yàn)研究.研究表明幫助學(xué)生獲得以歸納活動經(jīng)驗(yàn)和演繹活動經(jīng)驗(yàn)為主體的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，能使學(xué)生掌握歸納和演繹的思維方法，能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源動力，幫助其進(jìn)入學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的良性循環(huán)，是促進(jìn)學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展的有效途徑.

[關(guān)鍵詞] 基本數(shù)學(xué)活動；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)的背景和意義

1. 數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

史寧中先生在2015年全國優(yōu)秀教師培訓(xùn)技能提升研修班上題為“為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——兼論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的講座中提到了數(shù)學(xué)“四基”，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本技能、數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上，史先生提出數(shù)學(xué)“四基”可以追溯到2006年，當(dāng)時(shí)便引起了張奠宙先生、王新民先生等有識之士的共鳴.

王新民先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識.而最基本、最主要的數(shù)學(xué)活動是以邏輯為特征的演繹論證活動和以經(jīng)驗(yàn)為特征的歸納發(fā)現(xiàn)活動，其他的數(shù)學(xué)活動都是圍繞這兩種活動而展開的.因此可以把歸納活動經(jīng)驗(yàn)和演繹活動經(jīng)驗(yàn)稱為數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).

2. 實(shí)驗(yàn)的背景

筆者任教的高一班級數(shù)學(xué)中考平均分為95分，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相對較為薄弱，以下一組通過考試測得的數(shù)據(jù)可以管窺一二.

（1）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像上相鄰的最高點(diǎn)（x1，y1）和最低點(diǎn)（x2，y2）之間的距離d，83.7%的學(xué)生認(rèn)為兩點(diǎn)間的距離d=x1-x2，說明學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識不清晰.

（2）證明函數(shù)y=的單調(diào)性，93.0%的學(xué)生無法完成作差變形，說明學(xué)生欠缺數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.

顯然，這些學(xué)生的“雙基”是薄弱的.調(diào)查顯示他們在初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，幾乎不主動參與歸納活動和演繹活動，且在活動中很少自主收獲成果，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)非常缺乏.在此學(xué)情下，若繼續(xù)墨守成規(guī)，只會使得情況更糟.

3. 實(shí)驗(yàn)的意義

史寧中先生認(rèn)為“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”與數(shù)學(xué)“雙基”和“數(shù)學(xué)基本思想”是相互依存的，共同構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)可以鞏固學(xué)生的“雙基”，可以直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成，對數(shù)學(xué)教學(xué)有著潛移默化的作用.本實(shí)驗(yàn)旨在幫助教師革新教學(xué)模式，探索基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新的助力點(diǎn)，研究幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的模式，幫助學(xué)生體悟數(shù)學(xué)方法和思維在現(xiàn)實(shí)問題解決過程中的意義和作用，幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和使用數(shù)學(xué)，以此促進(jìn)學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展.

實(shí)驗(yàn)假設(shè)

參與基本數(shù)學(xué)活動的學(xué)生，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，即歸納和演繹活動經(jīng)驗(yàn)會得到提高，數(shù)學(xué)思維的寬度、力度會有所發(fā)展，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，學(xué)業(yè)發(fā)展能優(yōu)于其他學(xué)生.同時(shí)，他們能更好地體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，具備一定的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，為終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).

實(shí)驗(yàn)方法

1. 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)采用等組前后測的設(shè)計(jì)，前測為中考數(shù)學(xué)成績，實(shí)驗(yàn)時(shí)間為一個學(xué)期. 自變量為課外輔導(dǎo)方法，有兩個取值，分別是開展基本數(shù)學(xué)活動和無措施. 后測（因變量）為高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績.

對實(shí)驗(yàn)組組織基于第二課堂的，有步驟、有計(jì)劃、連貫性的基本數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生在活動中解決問題，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維對個人生涯發(fā)展的影響.控制組不進(jìn)行任何課外輔導(dǎo).

2. 被試

采用系統(tǒng)抽樣構(gòu)成樣本，將班級學(xué)生按中考數(shù)學(xué)成績，用Excel從高到低排序，同分?jǐn)?shù)的學(xué)生因excel自動排序故名次均不同，選取第5、10、15、20、25、30、35、40名的8位學(xué)生組成實(shí)驗(yàn)組，將第4、9、14、19、24、29、34、39名的8位學(xué)生組成控制組.

3. 效度

被試均為高一學(xué)生，年齡、能力、智商無顯著差異. 實(shí)驗(yàn)環(huán)境為自然學(xué)習(xí)環(huán)境，被試不知道本身正處于實(shí)驗(yàn)階段.系統(tǒng)抽樣可減少統(tǒng)計(jì)誤差，即各組平均分的差異不會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生干擾.數(shù)學(xué)教學(xué)均由筆者擔(dān)任，教學(xué)時(shí)間和方法、作業(yè)量均統(tǒng)一，努力控制無關(guān)變量.

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

通過觀察被試學(xué)業(yè)成績的變化，對比分析數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，探索適合普通高中基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展模式，并由此調(diào)整教師的教學(xué)思路和方法，形成學(xué)生想學(xué)能學(xué)、教師輕負(fù)的師生雙贏的教學(xué)模式.

實(shí)施階段

1. 通過概率實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

組織實(shí)驗(yàn)組分析和解決三扇門問題、蒲豐投針實(shí)驗(yàn)等. 在教師的引導(dǎo)下，通過概率實(shí)驗(yàn)分析數(shù)據(jù)，歸納規(guī)律，尋找破題路徑或發(fā)現(xiàn)問題，嘗試解釋原因，并形成研究報(bào)告，著重讓學(xué)生在活動中主動獲得歸納和演繹的經(jīng)驗(yàn).

例1（三扇門問題）：競猜者會看見三扇關(guān)閉的門，有且僅有一扇門后有禮物，選對門就可以贏得禮物. 當(dāng)競猜者選定一扇門后，裁判不打開門，而是打開剩下兩扇門中沒有禮物的一扇門，讓競猜者看到. 這時(shí)，裁判會給競猜者一次重新選擇的機(jī)會，競猜者應(yīng)該堅(jiān)持原來的選擇還是要改變原來的決定選擇另一扇關(guān)上的門呢？（注：裁判知道禮物放在哪扇門后）

由此學(xué)生能直觀得出結(jié)論“應(yīng)該改變原來的決定選擇另一扇關(guān)上的門”，并大膽猜測其概率為，再演繹問題本質(zhì)，給出解釋：事件“改變原來的決定并選中禮物”相當(dāng)于“最初從三扇門中選擇一扇沒有禮物的門”.

在類似的實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生能清晰地體會到歸納和演繹經(jīng)驗(yàn)所發(fā)揮的作用，能認(rèn)識到歸納為演繹提供線索，而演繹為歸納正名.

2. 通過試題研究幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

組織實(shí)驗(yàn)組從定性和定量的角度開展試題研究活動.通過運(yùn)用直覺、猜想、悖向探索、特例驗(yàn)算等定性分析的思維形式，給出問題研究可能的方向，再通過演繹推理，給出問題的定量分析，力爭讓學(xué)生在活動中主動獲得歸納和演繹的經(jīng)驗(yàn).

例2：如圖1，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則∠A′DB和α能否比較大??？

教師介紹相關(guān)數(shù)學(xué)概念后，學(xué)生通過自制模型，歸納出一種翻折現(xiàn)象：如圖2，紙面內(nèi)有兩相交直線l和m，以直線m為棱折成二面角后，直線l在兩個半平面內(nèi)的射線所構(gòu)成的角不小于二面角.經(jīng)過合作討論，在兩個模型中給出了問題的解答.

模型1：如圖3，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是所在邊的中點(diǎn)，AC和EF相交于點(diǎn)O，以EF為棱折成二面角. 如圖4，連接A′C，G′H，A′C和G′H交于點(diǎn)P. 在Rt△G′OP中，tan∠G′OP=；在Rt△A′OP中，tan∠A′OP=. 因?yàn)镚′P

模型2：如圖5，在單位圓O中，EF，GH是互相垂直的直徑，AC是異于EF和GH的任一直徑，以EF為棱折成二面角G′-EF-H. 如圖6，當(dāng)二面角G′-EF-H變化時(shí)，G′H的球面距離小于A′C的球面距離（學(xué)生描述為“弧”），所以∠G′OH<∠A′OC.

最后，學(xué)生在教師的啟發(fā)下，從定量的角度思考，得出角變化的數(shù)量關(guān)系，給出嚴(yán)格的證明，使學(xué)生深刻理解用數(shù)量來刻畫事物變化的邏輯結(jié)構(gòu)的重要性和必要性，進(jìn)一步認(rèn)識到歸納和演繹經(jīng)驗(yàn)在探索世界、追求真理的過程中所起的重要作用.

3. 通過實(shí)踐調(diào)查幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

組織實(shí)驗(yàn)組開展實(shí)踐調(diào)查，研究生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，通過走訪調(diào)查獲取第一手的數(shù)據(jù)資料，并進(jìn)行分析研究，歸納數(shù)據(jù)特征，提出結(jié)論，嘗試給出建議，形成調(diào)查報(bào)告，并交流和展示，培養(yǎng)學(xué)生獲取歸納和演繹經(jīng)驗(yàn)的行為習(xí)慣.

例3：為了研究人群手勢密碼習(xí)慣的差異，實(shí)驗(yàn)組設(shè)計(jì)了《手勢密碼設(shè)置差異》的調(diào)查活動，在人流密集的區(qū)域進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)，歸納得出結(jié)論：

（1）使用頻率最多的鍵為⑤，頻率最少的鍵為④⑥.

（2）男性大多愛使用①②⑤⑧，女性則集中在①②⑤⑨.

（3）單用左手的人更喜歡用①②③⑤⑧⑨，單用右手的人更喜歡用①②⑤；單用左手的人用⑤比單用右手的人少許多.

（4）左手托、右手點(diǎn)的人更喜歡使用②⑤⑧；右手托、左手點(diǎn)的人則喜歡使用①②③⑤⑦.

（5）大部分人的手勢密碼可以大致歸類為Z，N，L，G等字形.

……

實(shí)驗(yàn)組嘗試推理和分析這些結(jié)果的成因，并且根據(jù)調(diào)查結(jié)論，成功破解了多部手機(jī)的手勢密碼，最后給出手勢密碼設(shè)置的若干建議.

目前，實(shí)驗(yàn)組針對一些生活現(xiàn)象，已經(jīng)非常善于用數(shù)據(jù)來尋找和刻畫規(guī)律，并且養(yǎng)成了能演繹推理這些規(guī)律成因的思維習(xí)慣. 雖然有些結(jié)論和論據(jù)還略顯稚嫩，但數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)無疑已經(jīng)得到一定的積累.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

一學(xué)期后，被試的后測信息如下：

將前測和后測均換算為百分制后，對兩組樣本進(jìn)行配對樣本t檢驗(yàn)分析，所得結(jié)果見表5和表6.

表5中的pre_t是前測，post_t是后測，可以看到，Mean均值之間的差值為3.917；Std.Deviation差值的標(biāo)準(zhǔn)差為8.120；Std.Error Mean差值的標(biāo)準(zhǔn)誤為2.871；95% Confidence Interval of the Difference均值差值的95%置信區(qū)間為（-2.872，10.705），包含0；t檢驗(yàn)的t值為1.364，自由度df為7，雙尾t檢驗(yàn)顯著性概率p=0.215>0.05. 可以認(rèn)為開展基本數(shù)學(xué)活動后，學(xué)生的前測和后測沒有顯著差異.

表6顯示95% Confidence Interval of the Difference均值差值的95%置信區(qū)間為（8.391，20.442），不包含0；雙尾t檢驗(yàn)顯著性概率p=0.001<0.05. 可以認(rèn)為無措施對學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展也有顯著的影響. 但因?yàn)镸ean均值之間的差值為14.417>0，說明后測顯著低于前測，所以這種影響是消極的.

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，實(shí)驗(yàn)組前后測沒有顯著差異；控制組前后測差異明顯，且后測顯著低于前測. 因此從維持學(xué)生成績的角度看，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)優(yōu)于無措施.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析和討論

為什么實(shí)驗(yàn)組前后測沒有顯著差異，成績僅僅維持原來水平呢？這是由初、高中數(shù)學(xué)學(xué)科固有的差異造成的，在高中考試中維持中考分?jǐn)?shù)的水平是很困難的. 如中考考115分的學(xué)生要維持原有水平，在高中就要考到143.75分，這顯然是有一定難度的.

從表7看到，實(shí)驗(yàn)組后測的平均分明顯高于控制組，說明整體存在較大的進(jìn)步. （相對）優(yōu)等生依然保持名列前茅，沒有出現(xiàn)均分回歸現(xiàn)象，其余學(xué)生進(jìn)步明顯.

經(jīng)觀察和試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生相對控制組的學(xué)生表現(xiàn)出了以下差異：

（1）對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)出興趣，有主動獲取數(shù)學(xué)知識的意愿.

（2）課堂學(xué)習(xí)中更注重知識產(chǎn)生的過程.

（3）在研究問題時(shí)更重視歸納和演繹思想的運(yùn)用.

（4）能用歸納和演繹思想來解釋現(xiàn)實(shí)問題.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

（1）數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累對普通高中基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展有很大的促進(jìn)作用. 一方面，能幫助學(xué)生掌握歸納和演繹的思維方法，能促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更為有序和合理，能使學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學(xué)基本技能，提高解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的能力. 另一方面，能幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)探究現(xiàn)象的科學(xué)態(tài)度，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源動力，促使其進(jìn)入“學(xué)數(shù)學(xué)——用數(shù)學(xué)——學(xué)數(shù)學(xué)”的良性循環(huán)，為今后持續(xù)的學(xué)業(yè)發(fā)展乃至生涯發(fā)展奠定基礎(chǔ).

（2）基于第二課堂的小課題研究有利于幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn). 本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)包含概率實(shí)驗(yàn)、試題研究和實(shí)踐調(diào)查三種方式，均采取第二課堂下的小團(tuán)體自主選擇開展小課題研究的形式，這有利于激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，有利于學(xué)生發(fā)揮自身的能力優(yōu)勢、環(huán)境優(yōu)勢. 有著問題導(dǎo)向的小課題合作研究，能讓學(xué)生在問題情境中親歷歸納和演繹經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生及發(fā)展的過程，獲得解決問題的成功體驗(yàn)，因而有助于學(xué)生自主地內(nèi)化和提升數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，能促使學(xué)生主動地從現(xiàn)實(shí)的“經(jīng)歷”走向抽象概括的“經(jīng)驗(yàn)”.

對實(shí)驗(yàn)的思考

1. 要重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)

隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和我國教育改革的深入，國家對人才的現(xiàn)實(shí)需求和學(xué)生個體發(fā)展的客觀需要都要求教師要將眼光放得更遠(yuǎn)，要形成正確的教學(xué)價(jià)值觀，要重視數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累在學(xué)生生涯發(fā)展中的作用.無論是第一課堂還是第二課堂，教師都要創(chuàng)造幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會.尤其是基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的限制，一般地，練習(xí)講評會占據(jù)著更多的課堂教學(xué)時(shí)間，針對這種情況，教師更應(yīng)在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生參與歸納和演繹活動，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn).

2. 要研究基本數(shù)學(xué)活動的有效性

基本數(shù)學(xué)活動是學(xué)生生成、拓展和交流數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的過程，同時(shí)也是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想的過程.為了幫助學(xué)生獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，教師要研究基本數(shù)學(xué)活動的有效性，避免出現(xiàn)活動熱鬧、收效甚微的結(jié)果.基本數(shù)學(xué)活動需要精心設(shè)計(jì)的問題情境，需要知識產(chǎn)生或運(yùn)用的過程，需要高效暢通的交流平臺，以激活學(xué)生的歸納和演繹思維，使學(xué)生掌握思維的策略和方法，使自身的思維更具批判性和深刻性.

同時(shí)，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入思考基本數(shù)學(xué)活動的意義，完成經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)造、領(lǐng)悟、反思、內(nèi)化、檢驗(yàn)和重新創(chuàng)造.幫助學(xué)生形成自主獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的意識和能力，助力學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.