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      從一道數(shù)學(xué)試題的命制過程分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查方法

      2017-03-09 20:35:58王志剛阮飛
      關(guān)鍵詞:試題命制數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

      王志剛+阮飛

      [摘 要] 數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)必將從“能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”. 怎樣在試題命制過程中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),怎樣用核心素養(yǎng)的觀點(diǎn)分析評(píng)價(jià)試題是現(xiàn)代教學(xué)需要著重思考的問題.

      [關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)評(píng)價(jià);試題命制;能力立意;素養(yǎng)立意

      引言

      時(shí)代變化了,教育的要求變了,呼喚核心素養(yǎng)的出現(xiàn). “核心素養(yǎng)是新課標(biāo)的來源,也是確保課程改革萬變不離其宗的‘DNA,考試評(píng)價(jià)的方式和內(nèi)容正在悄然地改變,圍繞發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的教育評(píng)價(jià)體系正在逐步形成,未來三到五年的數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)必將從“能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”.

      正文

      數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括三個(gè)方面,六個(gè)關(guān)鍵詞:用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的思維分析世界,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 核心素養(yǎng)很重要,這一點(diǎn)估計(jì)沒人會(huì)反對(duì). 但問題是,很多老師不知道如何去操作落實(shí),這是擺在我們老師面前的現(xiàn)實(shí)問題. 林崇德教授給出這樣的指導(dǎo)意見:“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分,同時(shí)也存在無聲、無形但可感、可知的內(nèi)隱部分. 前者能夠在特定的情境下通過一定的方式表現(xiàn)出來,因此能夠有效地對(duì)其進(jìn)行定量的測評(píng)……”基于此,筆者在試題的命制過程中進(jìn)行了一些嘗試.

      一、題目名稱

      導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)不等式證明問題.

      二、題目分析

      1. 試題的命制思路分析

      此題是基于數(shù)學(xué)情境命制的試題,試題素材來源于教材中導(dǎo)數(shù)的幾何意義,背景是函數(shù)f(x)=ex在x=0處和u(x)=lnx在x=1處的泰勒展開式.

      第(Ⅰ)問直接考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由于函數(shù)f(x)=ex和u(x)=lnx互為反函數(shù),且f(x)在(0,1)處的切線m和u(x)在(1,0)處的切線n平行,把n和u(x)向左平移2個(gè)單位就得到m和g(x)=ln(x+2). 因此引入?yún)?shù)a,構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ln(x+a).控制參數(shù)a的取值范圍可保證f(x)>g(x),于是抽象出第(Ⅱ)問. 通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)參數(shù)a有最大值,最大值是多少呢?(筆者注:我們猜想這個(gè)最大值與歐米伽常數(shù)有關(guān))通過探索發(fā)現(xiàn)高中知識(shí)很難解決這個(gè)問題,于是給出相關(guān)數(shù)據(jù),改為求參數(shù)a最大值的近似值.

      2. 考查目標(biāo)分析

      本題在較復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境下考查函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,即導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)最小值、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)的概念,考查考生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具借助已知數(shù)據(jù)去分析問題、解決問題的能力,綜合考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想.

      3. 試題設(shè)問及解答過程中涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

      (1)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

      邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程,主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程,主要包括:理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算方向,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等.

      第(Ⅰ)問的設(shè)計(jì)面向全體考生,要解決這個(gè)問題,考生要具備畢業(yè)水平的邏輯推理素養(yǎng):在對(duì)曲線切線的概念充分理解的基礎(chǔ)上,由分析法知,需要求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率;還要具備畢業(yè)水平的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng):準(zhǔn)確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算就可以求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率,再寫出切線的點(diǎn)斜式方程.

      (2)數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)

      數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程,主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.筆者認(rèn)為也應(yīng)包括構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的過程. 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程,主要包括:借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.

      解答(Ⅱ)問時(shí)要把f(x)>g(x)轉(zhuǎn)化為h(x)min>0,能測試學(xué)生高考水平的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)計(jì)算和邏輯推理素養(yǎng):在求解過程在發(fā)現(xiàn)不易判斷h′(x)=ex-的正負(fù)號(hào),得不到h(x)的單調(diào)性,但借助圖形可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a≤2,x∈(-a,+∞)時(shí)ex-ln(x+a)≥ex-ln(x+2),借助放縮法把問題轉(zhuǎn)化為證明ex-ln(x+2)>0. 這就考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng).

      下同原題第(Ⅲ)問的解法.

      從以上分析可以看出,在解答本題時(shí)起決定作用的是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五大核心素養(yǎng). 在將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題,復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程中,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著重要的作用,而知識(shí)和技能只有在具體求解時(shí)才能發(fā)揮作用.

      數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)雖劃分為三個(gè)方面,六個(gè)關(guān)鍵詞,但它們既有獨(dú)立性,又相互交融,形成一個(gè)有機(jī)整體. 用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,即人從外界輸入信息;用數(shù)學(xué)的思維分析世界,即人處理信息;用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,即人輸出信息.

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