從一道數(shù)學(xué)試題的命制過程分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查方法

王志剛+阮飛

[摘 要] 數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)必將從“能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”. 怎樣在試題命制過程中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，怎樣用核心素養(yǎng)的觀點(diǎn)分析評(píng)價(jià)試題是現(xiàn)代教學(xué)需要著重思考的問題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)；試題命制；能力立意；素養(yǎng)立意

引言

時(shí)代變化了，教育的要求變了，呼喚核心素養(yǎng)的出現(xiàn). “核心素養(yǎng)是新課標(biāo)的來源，也是確保課程改革萬變不離其宗的‘DNA，考試評(píng)價(jià)的方式和內(nèi)容正在悄然地改變，圍繞發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的教育評(píng)價(jià)體系正在逐步形成，未來三到五年的數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)必將從“能力立意”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八仞B(yǎng)立意”.

正文

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括三個(gè)方面，六個(gè)關(guān)鍵詞：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 核心素養(yǎng)很重要，這一點(diǎn)估計(jì)沒人會(huì)反對(duì). 但問題是，很多老師不知道如何去操作落實(shí)，這是擺在我們老師面前的現(xiàn)實(shí)問題. 林崇德教授給出這樣的指導(dǎo)意見：“核心素養(yǎng)具有可教、可學(xué)的外顯部分，同時(shí)也存在無聲、無形但可感、可知的內(nèi)隱部分. 前者能夠在特定的情境下通過一定的方式表現(xiàn)出來，因此能夠有效地對(duì)其進(jìn)行定量的測評(píng)……”基于此，筆者在試題的命制過程中進(jìn)行了一些嘗試.

一、題目名稱

導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)不等式證明問題.

二、題目分析

1. 試題的命制思路分析

此題是基于數(shù)學(xué)情境命制的試題，試題素材來源于教材中導(dǎo)數(shù)的幾何意義，背景是函數(shù)f（x）=ex在x=0處和u（x）=lnx在x=1處的泰勒展開式.

第（Ⅰ）問直接考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由于函數(shù)f（x）=ex和u（x）=lnx互為反函數(shù)，且f（x）在（0，1）處的切線m和u（x）在（1，0）處的切線n平行，把n和u（x）向左平移2個(gè)單位就得到m和g（x）=ln（x+2）. 因此引入?yún)?shù)a，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ln（x+a）.控制參數(shù)a的取值范圍可保證f（x）>g（x），于是抽象出第（Ⅱ）問. 通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)參數(shù)a有最大值，最大值是多少呢？（筆者注：我們猜想這個(gè)最大值與歐米伽常數(shù)有關(guān)）通過探索發(fā)現(xiàn)高中知識(shí)很難解決這個(gè)問題，于是給出相關(guān)數(shù)據(jù)，改為求參數(shù)a最大值的近似值.

2. 考查目標(biāo)分析

本題在較復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境下考查函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)最小值、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)的概念，考查考生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具借助已知數(shù)據(jù)去分析問題、解決問題的能力，綜合考查考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想.

3. 試題設(shè)問及解答過程中涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

（1）邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程，主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.

第（Ⅰ）問的設(shè)計(jì)面向全體考生，要解決這個(gè)問題，考生要具備畢業(yè)水平的邏輯推理素養(yǎng)：在對(duì)曲線切線的概念充分理解的基礎(chǔ)上，由分析法知，需要求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率；還要具備畢業(yè)水平的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)：準(zhǔn)確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算就可以求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，再寫出切線的點(diǎn)斜式方程.

（2）數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.筆者認(rèn)為也應(yīng)包括構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的過程. 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

解答（Ⅱ）問時(shí)要把f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為h（x）min>0，能測試學(xué)生高考水平的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)計(jì)算和邏輯推理素養(yǎng)：在求解過程在發(fā)現(xiàn)不易判斷h′（x）=ex-的正負(fù)號(hào)，得不到h（x）的單調(diào)性，但借助圖形可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a≤2，x∈（-a，+∞）時(shí)ex-ln（x+a）≥ex-ln（x+2），借助放縮法把問題轉(zhuǎn)化為證明ex-ln（x+2）>0. 這就考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng).

下同原題第（Ⅲ）問的解法.

從以上分析可以看出，在解答本題時(shí)起決定作用的是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析五大核心素養(yǎng). 在將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著重要的作用，而知識(shí)和技能只有在具體求解時(shí)才能發(fā)揮作用.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)雖劃分為三個(gè)方面，六個(gè)關(guān)鍵詞，但它們既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體. 用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即人從外界輸入信息；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，即人處理信息；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，即人輸出信息.