李明明， 黃春蓉， 方 勃， 段 磊

(1.北京機械設備研究所，北京 100854；2.中國人民解放軍駐航天二院二O六所軍事代表室，北京 100854；3.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001)

主被動混合壓電網(wǎng)絡懸臂梁結構的建模與比較

李明明1， 黃春蓉2， 方 勃3， 段 磊1

(1.北京機械設備研究所，北京 100854；2.中國人民解放軍駐航天二院二O六所軍事代表室，北京 100854；3.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001)

以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對象，對主被動混合壓電網(wǎng)絡(Active-Passive Hybrid Piezoelectric Network, APPN)進行分析與優(yōu)化。利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法建立集成式和分離式APPN懸臂梁結構的動力學模型，并對APPN中的電阻和電感進行參數(shù)優(yōu)化。在此基礎上，利用速度反饋控制設計主動控制器，分別對集成式和分離式APPN懸臂梁結構的開環(huán)和閉環(huán)特性進行數(shù)值仿真分析。仿真結果表明，兩種結構形式的APPN均能夠有效地抑制結構振動，集成式APPN在窄頻帶的振動控制性能優(yōu)于純主動控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動控制更好的振動控制性能。

主被動混合壓電網(wǎng)絡；Euler-Bernoulli懸臂梁；Hamilton原理；Rayleigh-Ritz法；速度反饋控制

壓電材料具有正、逆壓電效應，它既能將機械能轉化為電能，又能將電能轉化為機械能。由壓電材料制成的作動器、傳感器和換能器已經(jīng)廣泛應用于結構主動振動控制和被動振動控制中[1-5]。在壓電主動控制系統(tǒng)中，粘貼于結構表面或嵌入結構內部的壓電作動器與反饋控制系統(tǒng)相連，結構振動時，傳感器檢測到的振動信號通過反饋控制系統(tǒng)后輸出控制電壓，驅動壓電作動器對結構振動進行實時控制；在壓電被動控制系統(tǒng)中，壓電材料與外部分流電路相連，結構振動時，部分機械能由于壓電材料的正壓電效應轉化為電能，并通過分流電路中的阻抗轉化為焦耳熱，從而達到耗散系統(tǒng)總能量、抑制結構振動的目的。

由于壓電主動控制和壓電被動控制的作用機理不同，因此兩種振動控制方法的特點也不同。與壓電被動控制相比，壓電主動控制具有更好的控制性能、更寬的控制頻帶和更強的環(huán)境適應性，但是壓電主動控制需要外界能源、結構較復雜、可靠性和穩(wěn)定性較差；而壓電被動控制則具有不需要外界能源、結構簡單、易于實現(xiàn)、可靠性高等優(yōu)點，盡管壓電被動控制的環(huán)境適應性較差。AGNES[6]結合壓電主動控制和壓電被動控制各自的特點，提出一種主被動混合壓電網(wǎng)絡(Active-Passive Hybrid Piezoelectric Network, APPN)用于結構振動控制，如圖1所示。在APPN中，壓電層既能夠通過反饋控制電壓主動地控制結構振動，又能夠通過分流電路被動地耗散結構振動的能量，使得APPN兼具主動控制和被動控制兩方面的優(yōu)點，因而得到了國內外學者的廣泛關注[7-13]。

TSAI等[8]利用APPN對環(huán)形結構進行了振動控制，研究表明，APPN能夠有效地抑制結構振動與噪聲。與純主動控制相比，APPN只需要較小的控制電壓，即可獲得更好的振動控制性能。隨后ZHAO[9]和GODOY等[10]利用APPN對四邊形板和復合材料層合板進行了振動控制。TANG等[11]在研究APPN時，考慮到壓電材料具有高階非線性和遲滯特性，采用滑?？刂评碚撛O計了魯棒控制器，以補償系統(tǒng)的非線性和不確定性。在上述研究中，APPN的結構形式均為集成式，TSAI等[12]還提出一種分離式APPN(如圖2所示)，并且對兩種APPN進行了比較。通過比較兩種APPN在第一階主模態(tài)的主動控制權益，TSAI等發(fā)現(xiàn)集成式APPN比分離式APPN具有更好的振動控制性能。

本文以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對象，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法分別建立集成式和分離式APPN懸臂梁結構的動力學模型，并對APPN中的電阻和電感進行參數(shù)優(yōu)化。通過在寬頻帶內對APPN懸臂梁結構進行開環(huán)和閉環(huán)特性分析，更全面地考查集成式APPN和分離式APPN所具有的振動控制性能，得到一些新的結論。

1 結構形式與基本假設

1.1 結構形式

集成式和分離式APPN懸臂梁結構如圖1和圖2所示，其中RL電路為分流電路。為了使兩種APPN懸臂梁在結構上保持一致，本文在集成式APPN懸臂梁結構中增加了配重壓電層。

圖1 集成式APPN懸臂梁Fig.1 Cantilever beam with integrated APPN treatment

圖2 分離式APPN懸臂梁Fig.2 Cantilever beam with separated APPN treatment

1.2 基本假設

在建立APPN懸臂梁結構的動力學模型之前，首先進行如下處理和假設：

(1)假設懸臂梁為Euler-Bernoulli懸臂梁，由此可知懸臂梁及其上的壓電層在電場強度為零時的正應力和正應變分別為

σb=Ebεb

(1)

σp=Epεp

(2)

(3)

式中:Eb和Ep分別為懸臂梁和壓電層的彈性模量。

(2)假設壓電層的極化方向沿其厚度方向向上(即沿z軸正方向)，且壓電層的電場強度e(t)表示為[14]

(4)

式中:va(t)和vs(t)分別為懸臂梁上、下壓電層表面上的電壓；hb和hp分別為懸臂梁和壓電層的厚度。

(3)利用Rayleigh-Ritz法，將懸臂梁的橫向位移w(x,t)表示為

(5)

式中:φi(x)為假設的模態(tài)函數(shù)，ri(t)為相應的廣義坐標，上角標T為矩陣或向量的轉置。由振動力學可知，

(sinhλix-sinλix) (i=1,2,…,n)

(6)

式中:lb為懸臂梁的長度，λi則由下式確定

cosλilbcoshλilb=-1

(7)

2 動力學建模

下面利用Hamilton原理建立APPN懸臂梁結構的動力學模型。從分析力學中知道，Hamilton原理的廣義形式為[15]

(8)

式中:Tk為動能，U為勢能，We為電能，δW為外力所作的虛功。

2.1 集成式APPN懸臂梁結構建模

集成式APPN懸臂梁結構的動能表示為

(9)

式中:Vb和Vp分別為懸臂梁和壓電層的體積；ρb和ρp分別為懸臂梁和壓電層的密度。將式(5)代入式(9)，整理得

(10)

式中各質量陣的表達式為

式中:l1和l2為壓電層左、右兩端到懸臂梁固定端的距離；b為懸臂梁和壓電層的厚度。

集成式APPN懸臂梁結構的勢能表示為

(11)

式中第二項為懸臂梁上表面壓電層的勢能，第三項為下表面配重壓電層的勢能。

對于一維結構來說，壓電材料的本構方程為[16]

(12)

(13)

(14)

將式(5)代入式(14)，整理得

(15)

式中各剛度陣的表達式為

集成式APPN懸臂梁結構的電能表示為

(16)

將式(13)、式(3)、式(4)代入式(16)得

(17)

將式(5)代入式(17)，整理得

(18)

式中:Cp=bξε(l2-l1)/hp。

從圖1中可以看到，集中力f(t)作用于x=lb處，并且考慮懸臂梁為有阻尼梁，則外力所作的虛功表示為

q(t)δva(t)

(19)

式中:δ*(x)為Dirac delta函數(shù)，cb為阻尼系數(shù)，q(t)為壓電層上的電荷量。將式(5)代入式(19)，整理得

(20)

其中載荷系數(shù)矩陣和阻尼陣的表達式為

將式(10)、式(15)、式(18)和式(20)代入式(8)，整理得

(21)

ΘTr(t)+Cpva(t)=q(t)

(22)

式中:M=Mb+Mp，K=Kb+Kp。

由于壓電層、RL電路和控制器串聯(lián)(如圖1所示)，因此該串聯(lián)電路的電壓關系為[11]

(23)

式中:vin(t)為控制電壓，R和L分別為電阻和電感。將式(22)分別代入式(21)和式(23)，得集成式APPN懸臂梁結構的動力學模型為

(24)

(25)

2.2 分離式APPN懸臂梁結構建模

對比圖1和圖2可以看出，集成式和分離式APPN懸臂梁結構的最大區(qū)別在于兩個壓電層的作用不同。

在集成式APPN懸臂梁結構中，上表面壓電層既要作為作動器對結構振動進行實時控制，又要作為換能器將結構振動的能量轉化為電能并通過RL電路耗散掉；而在分離式APPN懸臂梁結構中，上表面壓電層作為作動器，下表面壓電層作為換能器。

因此，分離式APPN懸臂梁結構的動能和外力所作的虛功與集成式相同，僅需要對勢能和電能的表達式進行適當修改。

對式(14)進行適當修改，得分離式APPN懸臂梁結構的勢能表達式為

(26)

將式(5)代入式(26)，整理得

(27)

而分離式APPN懸臂梁結構的電能表示為

(28)

式中:第一項為懸臂梁上表面壓電層的電能，第二項為下表面壓電層的電能。將式(13)、式(3)、式(4)代入式(28)得

(29)

將式(5)代入式(29)，整理得

(30)

將式(10)、式(27)、式(30)和式(20)代入式(8)，整理得

Θva(t)-Θvs(t)=Ff(t)

(31)

ΘTr(t)+Cpvs(t)=q(t)

(32)

考慮到下表面壓電層與RL電路相連，因此該串聯(lián)電路的電壓關系為

(33)

將式(32)分別代入式(31)和式(33)，并已知va(t)=vin(t)，得分離式APPN懸臂梁結構的動力學模型為

(34)

(35)

3 參數(shù)優(yōu)化

研究表明，RL電路的減振機理與有阻尼動力吸振器相同，電阻R和電感L只對結構的某一階主模態(tài)具有最優(yōu)值。因此，當vin(t)=0時，集成式和分離式APPN懸臂梁結構的動力學模型簡化為

(36)

(37)

采用與有阻尼動力吸振器相同的優(yōu)化方法對RL電路進行參數(shù)優(yōu)化[7]，可得電阻和電感的最優(yōu)值分別為

(38)

4 開環(huán)和閉環(huán)特性分析

已知位移傳感器位于x=l3處，用于測量懸臂梁的位移響應，所以APPN懸臂梁結構的傳感方程可表示為

(39)

另外假設集中力f(t)為簡諧激振力

f(t)=f0sinωt

(40)

式中:f0為激振力幅值，ω為激振力角頻率。

4.1 開環(huán)特性分析

定義w1(l3,t)/f(t)為激振力與位移響應之間的傳遞函數(shù)，w2(l3,t)/vin(t)為控制電壓與位移響應之間的傳遞函數(shù)，其中w1(l3,t)、w2(l3,t)分別為激振力和控制電壓單獨作用時引起的位移響應。再定義T1和T2為w1(l3,t)/f(t)和w2(l3,t)/vin(t)的幅值，由此可知，T1表示被動阻尼性能，其越小越好；T2表示主動控制權益，其越大越好。

對于集成式APPN懸臂梁結構，T1和T2的表達式為

(41)

(42)

其中

對于分離式APPN懸臂梁結構，T1和T2的表達式為

(43)

(44)

比較式(41)、式(42)與式(43)、式(44)可以看出，集成式和分離式APPN懸臂梁結構具有相同的被動阻尼性能表達式，不同的主動控制權益表達式。這是由于，當忽略主動控制時，二者的結構形式完全相同，因而具有相同的被動阻尼性能；當考慮主動控制時，集成式APPN懸臂梁結構的控制電壓通過RL電路輸入到壓電層上，分離式APPN懸臂梁結構的控制電壓就是壓電層上的電壓，因而具有不同的主動控制權益。

下面對APPN懸臂梁結構進行數(shù)值仿真分析。由于懸臂梁作為連續(xù)體具有無窮多個主模態(tài)，為了研究方便，本文選取前二階主模態(tài)對APPN懸臂梁結構的開環(huán)和閉環(huán)特性進行分析。APPN懸臂梁結構的具體參數(shù)如表1所示。根據(jù)上述參數(shù)求得，控制第一階主模態(tài)振動的最優(yōu)電阻和電感值分別為R1=16.98 kΩ，L1=214.15 H；而控制第二階主模態(tài)振動的最優(yōu)電阻和電感值分別為R2=1.55 kΩ，L2=8.41 H。

當選擇R1和L1對懸臂梁第一階主模態(tài)進行振動控制時，從圖3中可以看出，APPN能夠有效控制第一階主模態(tài)的振動，但是無法控制第二階主模態(tài)的振動。

當選擇R2和L2對懸臂梁第二階主模態(tài)進行振動控制時，從圖4中可以看出，APPN能夠有效控制第二階主模態(tài)的振動，但是對第一階主模態(tài)的振動控制效果并不顯著。

從圖3和圖4中可以看出，由于選擇最優(yōu)的電阻和電感對懸臂梁第一階主模態(tài)或第二階主模態(tài)進行振動控制，導致APPN只對懸臂梁第一階主模態(tài)或第二階主模態(tài)具有顯著的振動控制作用，而對其它階主模態(tài)無法實施有效的控制。但是APPN并非只能控制懸臂梁某一階主模態(tài)的振動，如圖5所示，當選擇R=25 kΩ、L=1 H時，APPN能夠同時控制懸臂梁前二階主模態(tài)的振動。但無論選擇怎樣的電阻和電感值，無非是將APPN的振動控制性能進行了折中，卻無法使APPN的振動控制性能在前二階主模態(tài)同時達到最優(yōu)。

圖3 被動阻尼性能(R1L1電路)Fig.3 Passive damping performance with R1L1 circuit

圖4 被動阻尼性能(R2L2電路)Fig.4 Passive damping performance with R2L2 circuit

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值l1/mm10l2/mm50l3/mm180lb/mm200hb/mm2hp/mm0．8b/mm30c/(N·s·m-2)0．13ρb/(kg·m-3)7850ρp/(kg·m-3)7500Eb/GPa210Ep/GPa60．6d31/(pm·V-1)-274ξε/(nF·m-1)25．55

TANG等[17]亦對RL電路進行了參數(shù)優(yōu)化，得到最優(yōu)電阻和電感值的表達式為

(45)

利用式(45)求得控制第一階主模態(tài)振動的最優(yōu)電阻和電感值分別為R1=19.61 kΩ，L1=214.15 H；而控制第二階主模態(tài)振動的最優(yōu)電阻和電感值分別為R2=1.55 kΩ，L2=8.41 H。通過對兩種優(yōu)化方法進行數(shù)值比較可以看出(如圖6所示)，利用式(38)求得的最優(yōu)電阻和電感值可以使APPN具有更好的被動阻尼性能。

圖5 被動阻尼性能(R=25 kΩ，L=1 H)Fig.5 Passive damping performance with R=25 kΩ, L=1 H

圖6 優(yōu)化方法比較Fig. 6 Comparison of optimization methods

圖7對兩種APPN的主動控制權益進行了比較。從圖中可以看出，當選擇R1和L1對懸臂梁第一階主模態(tài)進行振動控制時，在一階共振頻率附近，分離式APPN的主動控制權益小于集成式APPN和純主動控制的主動控制權益(這一結論與TSAI等[12]得出的結論是相同的)；但是在二階共振頻率附近，分離式APPN的主動控制權益與純主動控制幾乎是相同的，二者均明顯優(yōu)于集成式APPN的主動控制權益。

4.2 閉環(huán)特性分析

為了研究方便，本文采用速度反饋控制設計主動控制器，因此控制電壓表示為

(46)

式中:Kc=1 500為反饋控制增益。將式(39)代入式(46)得

(47)

定義w(l3,t)/f(t)為激振力與位移響應之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并令T3為w(l3,t)/f(t)的幅值，由此可知，T3表示系統(tǒng)的閉環(huán)控制性能，其越小越好。

圖7 主動控制權益Fig.7 Active control authority

對于集成式APPN懸臂梁結構，T3的表達式為

(48)

對于分離式APPN懸臂梁結構，T3的表達式為

T3=

(49)

當選擇R1和L1對懸臂梁第一階主模態(tài)進行振動控制時，從圖8中可以看出，在一階共振頻率附近，集成式APPN的振動控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動控制；但是在二階共振頻率附近，集成式APPN的振動控制性能遠不及分離式APPN和純主動控制。

下面結合圖3和圖7對這一結果進行闡釋。從圖3中可以看出，通過R1L1電路對懸臂梁施加的被動控制，已經(jīng)使APPN為懸臂梁第一階主模態(tài)提供了很大的被動阻尼，因此，盡管集成式和分離式APPN在一階共振頻率附近的主動控制權益遠小于純主動控制(如圖7所示)，還是使集成式和分離式APPN具有比純主動控制更好的閉環(huán)控制性能(如圖8所示)。但是對于第二階主模態(tài)，R1L1電路未提供被動阻尼，而且集成式APPN的主動控制權益也遠不及分離式APPN和純主動控制，因此，集成式APPN在二階共振頻率附近的振動控制性能亦遠不及分離式APPN和純主動控制。另一方面，由于分離式APPN在二階共振頻率附近的主動控制權益與純主動控制相當，使得二者的閉環(huán)控制性能亦相同。

圖8 閉環(huán)控制性能(R1L1電路)Fig.8 Closed-loop control performance with R1L1 circuit

4.3 純主動控制、集成式APPN和分離式APPN的比較

利用上述分析結果，可以對純主動控制、集成式APPN和分離式APPN進行如下比較：

首先，純主動控制不具有被動阻尼性能，若反饋控制系統(tǒng)出現(xiàn)故障可能會造成系統(tǒng)失穩(wěn)；而集成式和分離式APPN均具有很好的被動阻尼性能(且二者的被動阻尼性能完全相同)，這在一定程度上增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

其次，當選擇R1和L1對懸臂梁第一階主模態(tài)進行振動控制時，集成式APPN的閉環(huán)控制性能在一階共振頻率附近優(yōu)于分離式APPN和純主動控制，在二階共振頻率附近則遠不及分離式APPN和純主動控制；而分離式APPN在一階和二階共振頻率附近均具有良好的閉環(huán)控制性能(如圖8所示)。

由此可知，集成式APPN在窄頻帶的振動控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動控制更好的振動控制性能。

事實上，即使未對APPN中的RL電路進行參數(shù)優(yōu)化，分離式APPN依然具有比純主動控制更好的振動控制性能。例如，當選擇R=25 kΩ、L=1H對懸臂梁進行振動控制時，從圖5和圖9中可以看出，分離式APPN不僅具有與純主動控制相當?shù)拈]環(huán)控制性能，還具有純主動控制所沒有的良好的被動阻尼性能。也就是說，即使分離式APPN的主動控制部分出現(xiàn)故障，其被動控制部分依然能夠起到很好的抑制振動的作用。

圖9 閉環(huán)控制性能(R=25 kΩ，L=1 H)Fig.9 Closed-loop control performance with R=25 kΩ, L=1 H

5 結 論

本文以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對象，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法建立集成式和分離式APPN懸臂梁結構的動力學模型，通過對APPN懸臂梁的開環(huán)和閉環(huán)特性進行深入研究，得到了如下結論：

(1)集成式APPN和分離式APPN具有相同的被動阻尼性能、不同的主動控制權益，從而導致二者具有不同的閉環(huán)控制性能。

(2)采用與有阻尼動力吸振器相同的優(yōu)化方法可以對APPN中的RL電路進行參數(shù)優(yōu)化，但是利用這種方法得到的最優(yōu)電阻和電感值只能使APPN在某一階主模態(tài)具有最優(yōu)的被動阻尼性能，而無法使APPN的被動阻尼性能在各階主模態(tài)同時達到最優(yōu)。

(3)由數(shù)值仿真結果可知，集成式APPN在窄頻帶的振動控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動控制更好的振動控制性能。

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Modelling and comparison of cantilever beams withan active-passive hybrid piezoelectric network

LI Mingming1, HUANG Chunrong2, FANG Bo3, DUAN Lei1

(1. Beijing Mechanical Equipment Institute, Beijing 100854, China；2.Military Representative Office at No. 206 Institute of the Aerospace Second Academy, Beijing 100854, China；3.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Taking an Euler-Bernoulli cantilever beam as the study object, active-passive hybrid piezoelectric network (APPN) was analyzed and optimized. Hamilton’s principle and Rayleigh-Ritz method were used to build the dynamic models of the cantilever beam with integrated and separated APPNs, respectively. Parametric optimization was performed for resistance and inductance in the APPN. Furthermore, the velocity feedback control was employed to design the active controller and the open-loop and closed-loop characteristics of the cantilever beams with integrated and separated APPNs, respectively were simulated andn analyzed. The numerical results showed that both integrated and separated APPNs can suppress the structures’ vibrations effectively; compared with the pure active control, the integrated APPN has a better vibration control performance in narrow frequency bands, while the separated APPN has a better vibration control performance in broader frequency bands than both the integrated APPN and the pure active control do.

active-passive hybrid piezoelectric network; Euler-Bernoulli cantilever beam; Hamilton’s principle; Rayleigh-Ritz method; velocity feedback control

國家自然科學基金(11402087)

2015-11-03 修改稿收到日期：2016-01-18

李明明 男，博士，工程師，1982年10月生

方勃 男，博士，教授，1964年8月生

O328

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.016