文︳童增祥

在美國推動教育數(shù)學（下）

文︳童增祥

第一次講教育數(shù)學

2008至2009年間，我系回顧評估并調整數(shù)學的專業(yè)設置。我提議把數(shù)學教育的專業(yè)改名為教育數(shù)學，并增設教育數(shù)學碩士專業(yè)。我作了一個報告，介紹張院士關于教育數(shù)學的理念，論述了下列幾點。

1.教育數(shù)學的概念是中國數(shù)學家張景中院士在上世紀80年代提出來的。教育數(shù)學是與教學有關，以教育為目的的數(shù)學，或如張院士所說，其任務是為了數(shù)學教育的需要，對數(shù)學成果進行再創(chuàng)造。

2.就內容和功能來看，全部數(shù)學可分為三大領域：純粹數(shù)學、應用數(shù)學和教育數(shù)學。純粹數(shù)學是數(shù)學的數(shù)學，旨在完善和深化數(shù)學內在的邏輯結構，探索和創(chuàng)造更新穎、更普適、更深刻、更重要的定理和結構。應用數(shù)學是天地宇宙人文社會的數(shù)學，旨在以數(shù)學的眼光理解客觀世界，以數(shù)學的手段改造客觀世界，也以客觀世界為動力、為養(yǎng)料滋潤數(shù)學、深化數(shù)學。教育數(shù)學是人的數(shù)學，傳承的數(shù)學，旨在將數(shù)學成果概括、提煉、改造，將最基本、最核心、最重要的數(shù)學知識和技巧，以深入淺出、嚴謹而又生動活潑的形式表達出來，使別人，特別是年輕一代，學之易懂，懂而能用，用而后能創(chuàng)新。

3.這三大領域是互不相同，互相聯(lián)系，互相滲透，互相促進的。自誕生之日起，數(shù)學就有這三大領域，數(shù)學家們就從事這三大領域里的探索和研究。在19世紀，數(shù)學家們意識到數(shù)學應分成純粹數(shù)學和應用數(shù)學。在20世紀四五十年代，美國出現(xiàn)第一個應用數(shù)學教授的稱號。這種自覺的意識，從一個側面反映了數(shù)學的蓬勃發(fā)展。張景中院士于1980年代提出教育數(shù)學的理念，獲得中國數(shù)學家的贊同，前幾年成立了中國教育數(shù)學學會，這種數(shù)學家群體的自覺意識又體現(xiàn)了數(shù)學的蓬勃發(fā)展。

4.教育數(shù)學與數(shù)學教育不同，它是數(shù)學教育中最核心、最重要的內容。教育數(shù)學是數(shù)學，又是一門邊緣科學，與教育學、心理學有著密切的聯(lián)系。美國現(xiàn)行的數(shù)學教育專業(yè)有很大的弊病。它基本上是普通教育學和普通數(shù)學的機械混合體。學生學的數(shù)學不與他們未來要教授的數(shù)學有緊密深刻的聯(lián)系，他們學的教育學更是泛泛而談，不論及數(shù)學學習中的教育學。

5.我提議的教育數(shù)學碩士專業(yè)是以數(shù)學，特別是以學生對將來要教授的數(shù)學的深刻的、高層次的、現(xiàn)代化的認識和理解為重心。其教育理論既要有一般的通論，又特別需要有與學數(shù)學的過程密切相關的教育理論，需要研讀數(shù)學家和數(shù)學教育工作者寫的關于他們學數(shù)學、研究數(shù)學、理解數(shù)學的精妙言論和著作。在設置課程的時候，先想一想，我們心目中的優(yōu)秀的高中數(shù)學教師是怎樣的形象，他具備怎樣的知識結構、怎樣的人文素質。我們的課程設置就以造就這樣的教師為指南。

成立教育數(shù)學碩士專業(yè)

系里大多數(shù)教授認為教育數(shù)學的觀念新奇，確實言之成理，并同意成立教育數(shù)學碩士專業(yè)。中年教授杰夫史密斯（數(shù)學教育博士）挑起重擔，愿任這個碩士專業(yè)的負責人。我們的課程是為造就優(yōu)秀的高中數(shù)學教師而設計的。其中心是從現(xiàn)代數(shù)學的觀點和歷史發(fā)展的觀點認識初等數(shù)學的內容，熟悉各科內在的邏輯結構和各科之間的邏輯關系，善于解AMC10，AMC11和AMC12（美國高中12年級數(shù)學競賽）題目，力求能解AIME（American Invitational Mathematics Examination，美國高中數(shù)學邀請賽）甚至USAMO（United States of America Mathematics Olympiad，美國數(shù)學奧林匹克競賽）的部分題目，以及具備教育數(shù)學的研究能力。經過幾年的努力，我們的建議經過校研究生院、校參議院、校長、校董事會的評審支持，又經過了州教育部和高校學術評審委員會的最后批準。州評審委員會認為這是近十年來最富有創(chuàng)意的研究生專業(yè)。2012年秋和2013年春，首期研究生班開學，有8位學員，都是高中或社區(qū)大學的現(xiàn)職數(shù)學教師。我任教兩門數(shù)學課：高等歐幾里得幾何和概率論?，F(xiàn)在，我們的教育數(shù)學碩士專業(yè)已有21位學員。

教育數(shù)學約翰佩頓講座教授

有一位校友捐贈了一筆錢，與校長商定，用以支持教育數(shù)學碩士專業(yè)，設立一個教育數(shù)學講座教授的榮銜，以領導這個專業(yè)。2011年，教務長和系主任找我商談，屬意授予我這個榮銜。我當即謝絕，說我老而有病，年近退休，而且已辭去系主任職務，自知不喜也不諳行政事務，只愿思考數(shù)學，推動教育數(shù)學的研究。于是，學校發(fā)出廣告，在全國征選講座教授。應聘者雖多，真正優(yōu)秀者，特別是既有深厚的數(shù)學功底，又有數(shù)學教育方面的獨特見解，還有教育數(shù)學或近于教育數(shù)學思想的優(yōu)秀人才，兩年搜尋，竟無一人！2013年春，在系務會議上，教務長到會，突然宣布，經與系內教授們討論，校長批準，決定授予我約翰佩頓講座教授榮銜。我又羞赧，又感動。羞赧，是中華文化在我內心的沉淀，我們低調、謙遜，無功不受祿，功也不喜獎。司馬光在《訓儉示康》中說，“吾性不喜華靡，自為乳兒，長者加以金銀華美之服，輒羞赧棄去之。二十忝科名，聞喜宴獨不戴花。同年曰：‘君賜不可違也?！唆⒁换ā?。感動，是我從來不搞關系，不走邪路，而且早已婉言謝絕，系里的同事和學校領導卻依然授予我一個教授在大學里能獲得的最高榮譽職稱，可見人性總是向善，社會終究公道。

在美國數(shù)學學會東部分會上推動教育數(shù)學

今年3月底，我去巴爾的摩，在美國數(shù)學學會東部分會的年會上，作了一個30分鐘的報告，題為“推動教育數(shù)學的研究”（Promoting Research in Educational Mathematics）。我原計劃講三點，但因為時間不夠，只概述了兩點：什么是教育數(shù)學（What Is Educational Mathematics）和為什么我們迫切需要教育數(shù)學（Why It Is Important and Imperative to Promote Research in Educational Mathematics）。第三點“怎樣開展教育數(shù)學的研究”（How to do Research in Educational Mathematics）無法論及。

我以張院士的照片開場，介紹他的簡歷，介紹他在動力系統(tǒng)和幾何定理機器可讀性證明中的成就，特別介紹他何時提出教育數(shù)學的觀念，以及在教育數(shù)學方面的主要研究工作。在談及什么是教育數(shù)學時，我主要論述了四點：一是定義，教育數(shù)學是與教學有關，以教育為目的的數(shù)學，其任務是為了數(shù)學教育的需要，對數(shù)學成果進行再創(chuàng)造。二是全部數(shù)學可分為三大領域：純粹數(shù)學、應用數(shù)學和教育數(shù)學。三是三大領域之間的關系。這三大領域是互不相同，互相聯(lián)系，互相滲透，互相促進的。多數(shù)數(shù)學家不重視為教育的數(shù)學。所以，我特別以范德瓦爾登的代數(shù)學為例。我說，范氏的代數(shù)學是一部教科書，更是一部有新意的教科書，所以，它是教育數(shù)學的一個成果。范德瓦爾登的代數(shù)學成了布爾巴基年輕數(shù)學家們心中的理想典范。布爾巴基的發(fā)韌就是要寫一部像范氏代數(shù)學而不是古沙的分析學那樣的教材。這就是在我們所定義的教育數(shù)學領域里的工作。眾所周知，布爾巴基的公理方法和結構理念造成了20世紀下半葉純粹數(shù)學研究中的半壁江山。四是教育數(shù)學和數(shù)學教育的關系。教育數(shù)學不是數(shù)學教育，而應是數(shù)學教育事業(yè)中最關鍵、最核心、最重要的部分。教育數(shù)學更不是現(xiàn)代的流行意義上的數(shù)學教育，現(xiàn)行的數(shù)學教育其主要部分已被理解為教學法的研究。

在談及為什么教育數(shù)學的研究在今天特別重要和急迫時，我概要地論述了五點：一是對美國數(shù)學教育現(xiàn)狀的評估，博士生教育A，但不是十全十美，中小學教育D，至多是C-。這種A和D并存的現(xiàn)象，普天之下，唯美國所有。二是美國的有識之士，包括近20年來的總統(tǒng)，都意識到美國的中小學數(shù)學教育已在世界范圍內淪為二流、三流，甚至陷入危機，也都想方設法扭轉頹勢，但都不著要點，都沒開出對癥的“藥方”。三是回顧100年來美國中小學數(shù)學教育指導思想的論爭和主流實踐的演變，實在是成功者少、失敗者多，正確者少、謬誤者多。而且，就整體而言，可謂是百年折騰，百年戰(zhàn)爭。四是分析各派的理論，包括近20年的改革派和傳統(tǒng)派之爭，其根本謬誤都是缺少教育數(shù)學的理念和意識。樹立了教育數(shù)學的觀點，就容易看出百年戰(zhàn)爭的荒唐，就容易理解為什么美國的中小學數(shù)學教育會落后于世界，特別是亞洲各國。五是樹立教育數(shù)學的理念，推廣教育數(shù)學的研究，鼓勵數(shù)學家、數(shù)學教授和數(shù)學教師思考并研究教育數(shù)學，可以真正有效地提高美國數(shù)學教育的質量，是美國的數(shù)學教育走向輝煌的唯一途徑。

與一位美國數(shù)學家的簡短談話

作完報告之后，有幾位與會者興猶未減，與我繼續(xù)交談。下午1點多，我在主會廳聽一位女數(shù)學家作的隨機分析和幾何函數(shù)不等式的報告。報告結束后，兩位參會者又來與我聊談。一位聽過我的報告，很感興趣。另一位名叫史蒂文魏斯特洛，是賓州一所大學的教授，也是美國數(shù)學學會的一名干部，沒聽過我的報告。他和我有一段有趣的對話。

W：什么是教育數(shù)學？

T：與教育有關，以教育為目的的數(shù)學。

W：能舉例說明嗎？

T：你出版過兩本書，伽羅華理論，高等線性代數(shù)。是嗎？

W：是。

T：書里有沒有新的重要定理？

W：沒有，或者說基本沒有。

T：你為什么寫這兩本書？

W：我喜歡伽羅華理論，喜歡線性代數(shù)。我希望人人能學好它們。而且，我認為我找到了一種方式，可以把它們組織得更合理，證明更簡單，更便于學習。

T：那就是教育數(shù)學方面的工作。任何人，只要試圖簡化一個定理的證明，或者給出一個定理的新證明，或者著書以新方式、新結構論述一個專題，他就在某種程度上從事著教育數(shù)學的研究。

W：hmm。（他顯得有點興趣，而且在思考）

T：你寫那兩本書所花掉的時間、精力和思考，比寫兩篇代數(shù)學論文還多吧？

W：那當然！

T：哪一種能為你贏得你的同事及同行更多的贊賞和尊敬呢？

W：（他停頓，思考了一下）還是論文更受人尊重。寫書常被人看作不務正業(yè)。

T：這是一個問題。如果把純粹數(shù)學家和應用數(shù)學家比作宙斯和奧林匹斯山上的其他諸神，那么教育數(shù)學家就是普魯美修斯（Prometheus）。普魯美修斯創(chuàng)造了人類，愛人類，送給人類智慧之火，卻因此受到宙斯的歧視、仇視和懲罰。

W：很有趣。不過，許多教科書確實是粗制濫造。數(shù)學界以前有一種說法，寫一部粗鄙的微積分教科書會毀壞千萬個學生，卻會造就一個百萬富翁。

T：正因為如此，嚴肅的數(shù)學家應該關心教育數(shù)學，而且有很多方式關心教育數(shù)學。例如你寫的伽羅華理論。你寫的時候，一定有假想的讀者在心里。你知道他的數(shù)學基礎，了解他的數(shù)學能力和思維特點。你的書是為他而寫的。你一定對伽羅華理論有一種獨到的體會，有一種特別的組織鋪墊進行構造論述。你相信，你論述伽羅華理論的方式一定能幫助你的讀者學得更容易、更快、更好、更扎實、更深刻。你的著作伽羅華理論的內容未必人人能懂，人人能讀，但是你在寫作該書時的思維原則卻有普遍的意義，體現(xiàn)了教育數(shù)學研究工作的一種良好模式。你把你的思維及其哲學內涵抒寫出來，將有助于教育數(shù)學的良性發(fā)展，有助于提高數(shù)學教育的質量。當然，研究教育數(shù)學方法眾多，絕不僅限于此。

W：（微笑）你的說法確實有道理。

敗而又未必失敗的建議書——路漫漫其修遠兮

當然，從認為教育數(shù)學確實有道理，到熱情支持和從事教育數(shù)學的研究，可能有一段相當長的路程。美國數(shù)學學會和美國數(shù)學會每年1月上旬開一次聯(lián)合大會。這是數(shù)學工作者的盛會，每次有四五千人與會。與會者不僅有美國的數(shù)學工作者，也有來自世界其他國家的數(shù)學工作者。為了推動教育數(shù)學，我寫了一份建議書，建議在大會中設一個專題會議，題為“教育數(shù)學”（Educational Mathematics）或者“開展教育數(shù)學的研究”（Promoting Research in Educational Mathematics），希望找到一個國際平臺，讓世界各國的數(shù)學工作者聽到張景中院士、林群院士、李尚志教授、張肇熾教授和在座的各位教育數(shù)學大德高士的聲音。附上的是建議書原稿。美國數(shù)學學會的負責人都是純粹數(shù)學家，比較保守，青睞這份建議書的概率很小。果不其然，魏斯特洛教授讀到了建議書。他說，經過討論，因為申請要設的專題會議實在太多，只好割愛。他又說，我可以以教育數(shù)學為題，投一組稿子，在數(shù)學教育的專題會議上或在Contributed Papers的會議上作報告。在一個會議上，有四五篇總題目為教育數(shù)學的論文報告，一定會引人注意的。這樣，雖不是名義上，卻是實際上的教育數(shù)學專題會議。我接受了他的建議，準備以教育數(shù)學為總題，在2015年1月AMS-MAA的聯(lián)合年會上作四五篇報告。除了從哲學和教育上論述教育數(shù)學外，我還希望展示一些數(shù)學成果。

如蒙張院士允準，我將介紹他的新幾何系統(tǒng)。初等數(shù)學的研究創(chuàng)新，其難度往往不亞于現(xiàn)代數(shù)學的研究?，F(xiàn)代數(shù)學的研究是在青藏高原上跳高，初等數(shù)學的研究是在長江三角洲跳高。海拔的高低不同，跳高的難度則相當。我非常欽佩他對傳統(tǒng)幾何的新的觀點，新的處理方法。那絕對是大家的手筆。韓非子曾說，“畫犬、馬最難，畫鬼魅最易。夫犬馬，人所知也，旦暮罄于前，不可類之，故難；鬼魅無形者，不罄于前，故易之也”。同樣，創(chuàng)立初等數(shù)學的新理論是最難的。每一位數(shù)學家都懂得初等數(shù)學，都思考過、探究過、研究過初等數(shù)學，都會由衷地欣賞這個領域中建立的令人耳目一新的新理論，都會高山仰止，“噫吁嚱，危乎高哉，蜀道之難難于上青天”。

我也會報告一些短文，對美國流行的微積分和概率論教材提出一點改良意見。附上其中一篇的中文稿“牛頓—萊布尼茲公式再議”。張院士曾說，在教育數(shù)學中，可以研究如何講微分流形，也可以研究怎樣教幼兒讀數(shù)。教育數(shù)學中，有革命性的大手筆，有改良性的小文章，可以群賢畢至，少長咸集，天縱之才和勤勉之士都有用武之地，都能品味創(chuàng)造的快樂。

各位師長和賢才，我熱誠地希望你們，如有可能，都到美國數(shù)學會的年會上，傳布教育數(shù)學的思想，展示你們教育數(shù)學的成果。中國需要向美國學習，美國也需要向中國學習。教育數(shù)學的理念是中國數(shù)學界近30年來最偉大的創(chuàng)造之一，是極大地提高數(shù)學教育的質量，特別是美國的數(shù)學教育質量的根本途徑。

景中院士門下學生

鄭板橋有一方自用印章，曰“青藤門下走狗”，我心中的印章則是“景中院士門下學生”。我不但仰慕景中院士的學術成就，更仰慕景中院士的仁人志士的浩然之氣。景中院士人生中經歷過苦難，遭受過不公正的待遇。但是，苦難沒有磨滅他，而是磨礪了他。不公正的待遇沒有逼得他怨恨人生，反而孕育了他對人生，對學生，對社會，對祖國的深沉浩大的愛。

我雖有病，但不能言老。我雖缺乏在座諸位師長賢士的才智，但也要搖旗吶喊，在美國傳布教育數(shù)學的理念，希望美國在向中國學習的過程中真正提高中小學數(shù)學教育的質量。