例談圓錐曲線問題的解題策略

☉江蘇省灌云高級中學(xué) 孫紅

縱觀近幾年全國各省市高考數(shù)學(xué)試題不難看出，圓錐曲線綜合問題占有一定的比例，而且穩(wěn)中有變.由于這類問題表現(xiàn)為已知條件較多、題干較長，通常要涉及到幾種曲線的組合，有時(shí)還要與平面向量、函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識交匯，因此，不少學(xué)生感到難以下手.鑒于此，筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，特別將個人的一些想法整理成文，供大家參考.

一、設(shè)而不求

設(shè)而不求是解析幾何的最常用的技巧之一，其重要性不言而喻.設(shè)而不求作為一種有效的解題手段，有時(shí)會達(dá)到意想不到的效果.

例1設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于N，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（1）證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解：（1）證明：因?yàn)閨AD|=|AC|，EB//AC，所以∠ACD=∠ADC，

從而|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=|AD|=4.

故|EA|+|EB|為定值4.

由題意可知，A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，

（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為

y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

從而當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍是（12，8）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|= 8，四邊形MPNQ的面積為12.

點(diǎn)評：本題第（1）問依據(jù)圓的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，證明|EA|+|EB|為定值.解決本題第（2）問的關(guān)鍵是確立目標(biāo)函數(shù)即四邊形MPNQ的面積，進(jìn)而求其取值范圍.在解決直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，通常應(yīng)考慮到運(yùn)用韋達(dá)定理，這樣可簡化運(yùn)算過程.本題主要考查定值問題、軌跡方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、四邊形面積的取值范圍等基礎(chǔ)知識.同時(shí)也考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化以及分類討論等重要數(shù)學(xué)思想.

二、向量法

圓錐曲線最值或取值范圍問題的求解策略是，首先應(yīng)依據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，再利用換元法、配方法、均值法、向量法、導(dǎo)數(shù)法等有關(guān)方法，進(jìn)而確定目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍.下面以向量法為例說明.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B（點(diǎn)B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍.

（2）設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），直線l的方程為y= k（x-2），設(shè)B（x0，y0），

由（1）可知，F(xiàn)（1，0），設(shè)H（0，yH），

設(shè)M（xM，yM），由

在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，

即（xM-2），整理可得xM≥1，即≥1，解之，得

點(diǎn)評：本題第（2）問將幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而得出關(guān)于直線l的斜率的不等式，問題即可獲解.同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

三、“設(shè)直線”解決

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，k表示）；

（2）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

解：（1）設(shè)直線y=kx+1被橢圓C截得的線段為AP，

（2）假設(shè)以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓C有4個公共點(diǎn)，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|=|AQ|，設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2，

由k1＞0，k2＞0，k1≠k2，可得

由于（*）式關(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1+ a2（a2-2）＞1，

所以a2＞2，即a＞.

從而任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)的充要條件是1＜a≤

點(diǎn)評：解決本題第（2）問的關(guān)鍵就在于求解a的取值范圍.首先假設(shè)圓與橢圓有四個公共點(diǎn)，然后利用|AP|= |AQ|將幾何問題代數(shù)化，求出a的取值范圍，進(jìn)而求得橢圓離心率的取值范圍.本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的求解方法、橢圓離心率的定義等基礎(chǔ)知識，同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

四、極限思想

點(diǎn)差法特別適合圓錐曲線中涉及的弦中點(diǎn)問題，但若認(rèn)為點(diǎn)差法只能解決此類問題，則是定式思維帶來的束縛，實(shí)際上，點(diǎn)差法還可以利用創(chuàng)新的思維，利用極限思想解決圓錐曲線中的切線問題.

圖1

（1）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.

解：（1）設(shè)直線m∥l，且與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，M（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，P（xP，yP），則km=k.因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以兩式相減得如圖2，當(dāng)直線m與直線l無限接近時(shí)，直線m的極限狀態(tài)即為切線l，此時(shí)，中點(diǎn)M演變?yōu)榍悬c(diǎn)P，所以

圖2

（2）略.

點(diǎn)評：此題涉及圓錐曲線的切線問題.高中階段的傳統(tǒng)做法是聯(lián)立方程組利用判別式等于零，通過極為復(fù)雜的運(yùn)算后得到答案.若能意識到切線是割線的極限位置，通過極限思想，可應(yīng)用點(diǎn)差法使問題得到圓滿的解決.

五、零點(diǎn)式解決

二次函數(shù)有三種形式，分別是一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式，其中零點(diǎn)式可以把一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）表示為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2為方程ax2+bx+c=0的兩根.零點(diǎn)式在優(yōu)化解析幾何運(yùn)算方面有重要的應(yīng)用.

例5如圖3所示，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程.

圖3

（2）由（1）知，B1（-2，0），B2（2，0）.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然不成立.

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)其方程為y=k（x+2）. P（x1，y1），Q（x2，y2）.

故（1+5k2）x2+20k2x+20k2-20=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在直線y=k（x+2）上，所以y1=k（x1+2），y2= k（x2+2）.

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0.

因?yàn)閤1，x2是方程x2+5k2（x+2）2-20=0的兩根，所以x2+ 5k2（x+2）2-20=（1+5k2）（x-x1）（x-x2），①

①式中令x=2，得22+5k2（2+2）2-20=（1+5k2）（2-x1）·（2-x2），

①式中令x=-2，得（-2）2+5k2（2-2）2-20=（1+5k2）·（-2-x1）（-2-x2），

所以64k2-16=0，即k=±.

點(diǎn)評：本題是一道典型的直線與圓錐曲線的綜合解答題，通常的做法是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理消元解決.結(jié)合本題，問題的關(guān)鍵是解決PB2⊥QB2這個條件轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零之后的復(fù)雜運(yùn)算，思路雖然清晰，但運(yùn)算比較復(fù)雜.如何化簡（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0是本題的難點(diǎn).我們只要能把（2-x1）（2-x2）和（x1+2）（x2+2）用k來表示，問題便能得到解決.

總之，對于圓錐曲線綜合問題，除了使用我們慣常的思想方法與技巧外，還可通過其他途徑使問題得到解決，甚至有時(shí)更快捷.這說明，教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，不能故步自封，僵化思維.教師若多研究一些問題，多想一些辦法，跳出定式思維，從多個角度分析問題，實(shí)現(xiàn)方法的創(chuàng)新.真正活躍學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.