準(zhǔn)確把握函數(shù)的對稱性解題例說

準(zhǔn)確把握函數(shù)的對稱性解題例說

☉浙江省寧?？h知恩中學(xué) 徐明月

對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其中主要有兩種類型：

（1）一個函數(shù)自身的對稱性.

對于特殊的函數(shù)，如奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)系y軸對稱.對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a使得任意x，都有f（a+x）=f（a-x），則f（x）關(guān)于直線x=a對稱；對于函數(shù)f（x）；若存在常數(shù)a，b，使得任意x，都有f（2a-x）=2b-f（x），則函數(shù)f（x）關(guān)于點（a，b）成中心對稱等等.

（2）兩個函數(shù)之間的對稱性.

底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱；y=f（x）與y=f（-x）關(guān)于y軸對稱；y=f（x）與y=-f（x）關(guān)于x軸對稱；y=f（x）與y=-f（-x）關(guān)于原點對稱，y=f（x）與y=-f（2a-x）+2b關(guān)于點（a，b）對稱等等.

解題中要準(zhǔn)確識別對稱的類型，利用相關(guān)的對稱性解題.

一、關(guān)于直線y=x對稱

若兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，常見的類型是底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

例1已知函數(shù)y=ax，y=xb，y=logcx的圖像如圖1所示，則（）.

A.a＞b＞c

B.a＞c＞b

C.c＞a＞b

D.c＞b＞a

解析：a為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，b為冪函數(shù)的指數(shù)，c為對數(shù)函數(shù)的底數(shù).

圖1

對于a，c，由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，易知a＞1，c＞1，但不易直接比較大小.利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系，將y=ax的圖像轉(zhuǎn)化為其反函數(shù)y=logax的圖像，如圖1中粗線所示.進(jìn)而可得出c＞a.

故正確選項為C.

由圖像關(guān)于y=x對稱得|PQ|最小值為2dmin=（1-ln2）.

故正確選項為D.

二、關(guān)于y軸對稱

若函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，則對于任意的x，都有f（-x）=f（x）=f（|x|），解題中利用此關(guān)系，常可有效避免分類討論.

例2（2015年天津理科卷）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x-m|-1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析：因為函數(shù)f（x）=2|x-m|-1為偶函數(shù)，所以m=0，即1=2，

b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0.

所以c＜a＜b.

故正確選項為C.

變式已知函數(shù)f（x）=x2+ex-（x＜0）與g（x）=x2+ ln（x+a）的圖像在存在關(guān)于y軸對稱點，則a的取值范圍是（）.

解析：由題條件易知，存在x0∈（-∞，0），滿足+ex0 -=（-x）02+ln（-x0+a）?ex0 -ln（-x0+a）-=0有負(fù)根，當(dāng)x趨近于負(fù)無窮時，ex0 -ln（-x0+a）-趨近于負(fù)無窮，因為函數(shù)h（x）=ex-ln（-x+a）-在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增，所以h（0）=-lna＞0，所以lna＜ln?a＜，故選B.

三、關(guān)于原點對稱

若函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則對于任意x，都有f（-x）= -f（x），或f（-x）+f（x）=0.根據(jù)條件準(zhǔn)確識別出相關(guān)的性質(zhì)是問題順利求解的關(guān)鍵.

例3已知函數(shù)f（x）的定義域為R，?a，b∈R，若此函數(shù)同時滿足：①當(dāng)a+b=0時，有f（a）+f（b）=0，②當(dāng)a+b＞0時，有f（a）+f（b）＞0，則稱函數(shù)f（x）為Ω函數(shù).

下列函數(shù)：①y=x+sinx；②y=3x-（）x；③y=是Ω函數(shù).（填出所有符合要求的函數(shù)序號）

解析：由條件①知，當(dāng)a=-b時，f（-b）+f（b）=0，進(jìn)而可知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

由條件②知，當(dāng)a＞-b時，有f（a）＞-f（b）=f（-b），即函數(shù)f（x）在定域內(nèi)為增函數(shù).

函數(shù)y=x+sinx與函數(shù)y=3x-（）x既是增函數(shù)；函數(shù)為奇函數(shù)，但不是非單調(diào)函數(shù).

故正確答案為①②.

變式平面若直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點P、Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖像上，②P、Q關(guān)于原點對稱，則稱點對［P，Q］是函數(shù)y=f（x）的一對“友好點對”（注：點對［P，Q］與［Q，P］視為同一對“友好點對”）.

A.0B.1

C.2D.3

解析：此題的關(guān)鍵點在于y軸兩側(cè)的點關(guān)于原點對稱，故可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，即奇函數(shù)的性質(zhì)，作出f（x）=-x2-4x（x＜0），關(guān)于原點對稱的圖像，如圖2中虛線所示，即可得出其與函數(shù)f（x）=log2x（x＞0）的交點個數(shù)為2，故答案C.

圖2

四、關(guān)于直線x=a對稱

例4（2015年福建卷）若函數(shù)f（x）=2|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［m，+∞）單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最小值等于_______.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，故a=1，則f（x）=2|x-1|，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得f（x）在［1，+∞）遞增，故m≥1，所以實數(shù)m的最小值等于1.

變式已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，判斷函數(shù)f（x）的圖像是否關(guān)于直線x=對稱.

五、關(guān)于點（a，b）對稱

例5（2016年全國卷Ⅱ）已知函數(shù)（fx）（x∈R）滿足（f-x）=2-（fx），若函數(shù)y=與y=（fx）圖像的交點為（x，

1y）1，（x2，y）2，…，（xm，ym），則（xi+y）i=（）.

A.0B.mC.2mD.4m

解析：由f（-x）=2-f（x），得f（x）關(guān)于（0，1）對稱，而y=也關(guān)于（0，1）對稱，所以對于每一組對稱點xi+xi′=0，yi+yi′=2，所以m，故選B.

圖3

總之，在解答與函數(shù)對稱性相關(guān)的問題中，要準(zhǔn)確識別出函數(shù)的性質(zhì)，圖像關(guān)于直線對稱，還是關(guān)于點對稱，是一個函數(shù)自身的對稱性，還是兩個函數(shù)間的對稱性，從而準(zhǔn)確利用其解題.