盧子興 黃紀翔

（北京航空航天大學(xué)固體力學(xué)研究所，北京 100083）

0 引言

蜂窩因在壓縮變形下表現(xiàn)出優(yōu)異的能量吸收特性，且具有良好的多功能性和較強的可設(shè)計性，故引起國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注。對規(guī)則蜂窩而言，可在單胞基礎(chǔ)上建立細觀力學(xué)模型來預(yù)測其宏觀性能［1］。然而，蜂窩制備過程中存在缺陷是不可避免的，所以研究缺陷對蜂窩力學(xué)行為的影響很有必要。SILVA等［2］討論了隨機移除壁面這種缺陷形式對周期性蜂窩以及隨機Voronoi蜂窩力學(xué)性能的影響；GUO等［3］也分析了胞元缺失對規(guī)則六邊形蜂窩彈性模量和后屈曲行為的影響；CHEN等［4］研究了6種缺陷對二維蜂窩面內(nèi)屈服性能的影響；LI等［5］討論了胞體的形狀不規(guī)則性及壁厚不均勻分布對蜂窩彈性模量的影響；WANG等［6］考慮了缺陷率對不同形狀蜂窩體的敏感性，分析了四邊形和三角形金屬蜂窩中胞壁缺失對蜂窩面內(nèi)有效彈性模量和初始屈服應(yīng)力的影響；AJDARI等［7］基于規(guī)則的六邊形模型和隨機模型，分析了集中孔洞和部分填充孔對蜂窩彈塑性行為的影響，發(fā)現(xiàn)缺陷的位置對其彈性行為影響不大。

本文利用數(shù)值模擬研究了孔洞和部分填充孔穴這兩種典型的缺陷對彈性蜂窩（橡膠）和彈塑性蜂窩（金屬）的壓縮性能的影響規(guī)律。

1 模型的建立

規(guī)則完整的正六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)是到目前為止最常見的一種蜂窩結(jié)構(gòu)。其面內(nèi)剛度和強度最低，因在該平面內(nèi)的應(yīng)力會使孔壁產(chǎn)生彎曲變形，而其面外剛度和強度則要大得多。本文采用商業(yè)有限元軟件ANSYS@（ANSYS Inc.， Canonsburg，PA）進行分析，并選用BEAM23梁單元來模擬孔壁材料，用數(shù)值模擬方法研究蜂窩在面內(nèi)方向的彈性屈曲和塑性坍塌行為。選用模型尺度為20個單胞×20個單胞，相對密度為0.1的蜂窩結(jié)構(gòu)進行研究。

當(dāng)基體材料為鋁時，采用理想彈塑性模型，且取彈性模量 E＝70 GPa，屈服強度 σy＝130 MPa，泊松比ν＝0.3；為了便于對比分析，純彈性蜂窩的基體彈性性能參數(shù)也設(shè)為 E＝70 GPa，ν＝0.3；另外，為了研究蜂窩的孔壁屈曲和材料屈服之間的耦合作用，進一步比較了屈服強度σy＝1.4 GPa，即屈服應(yīng)變?yōu)?%的結(jié)果。

首先利用非線性屈曲分析來得到完整的蜂窩結(jié)構(gòu)的應(yīng)力－應(yīng)變響應(yīng)曲線，然后引入兩類典型的缺陷：部分填充孔穴以及集中或分散孔洞，其模型示意圖分別如圖1所示。在非線性屈曲分析中，首先進行特征值屈曲分析，然后根據(jù)其屈曲模態(tài)施加一定比例的初始擾動進行分析計算。這里主要研究沿著面內(nèi)方向加載的情況，在上表面施加一個位移，下表面約束沿面內(nèi)方向的位移，放松其他方向的自由度，而兩個側(cè)面是自由的。

圖1 含孔穴缺陷的蜂窩示意圖Fig.1 Diagram of honeycombs with defects filled cells，concentrated and scattered holes

2 結(jié)果與討論

2.1 完整蜂窩材料的模擬結(jié)果

Gibson和Ashby［3］基于正六邊形蜂窩的微結(jié)構(gòu)給出了理論預(yù)測其彈性模量、彈性屈曲應(yīng)力及塑性坍塌應(yīng)力的公式，據(jù)此可以估算其對應(yīng)的彈性屈曲應(yīng)變及塑性坍塌應(yīng)變，還可以得到彈性屈曲和塑性坍塌應(yīng)力相等時基體材料的臨界參數(shù)。為了便于比較，本文研究了屈服應(yīng)變?yōu)?%（σy＝1.4 GPa）的彈塑性基體制成的蜂窩，通過與常見鋁（σy＝130 MPa）蜂窩的性能進行對比來分析其塑性坍塌與孔壁穩(wěn)定性之間的關(guān)系。 計算得到σy＝130 MPa和σy＝1.4 GPa的基體分別對應(yīng)的塑性坍塌應(yīng)力為0.65和7.0 MPa。

圖2給出了由三種不同基體制成的完整蜂窩結(jié)構(gòu)的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線。

對于純彈性基體，本文算得的結(jié)果和理論值吻合得較好，從圖中可以看出大約在應(yīng)變?yōu)?.1時結(jié)構(gòu)整體發(fā)生屈曲；當(dāng)進入后屈曲變形階段之后，結(jié)構(gòu)會達到新的平衡，仍具有一定的殘余剛度，應(yīng)力－應(yīng)變曲線還會繼續(xù)緩慢地上升。對于基體σy＝1.4 GPa的蜂窩，結(jié)構(gòu)的彈性屈曲應(yīng)力比較接近其塑性坍塌應(yīng)力。有限元模擬得到的塑性坍塌應(yīng)力為6.37 MPa，其相比理論估算值7.0 MPa低了9%左右。由于蜂窩結(jié)構(gòu)的主要變形機制是傾斜孔壁的彎曲變形，因此最大應(yīng)力總是發(fā)生在傾斜孔壁的結(jié)點處。當(dāng)其結(jié)點處開始進入屈服后，根據(jù)塑性滑移理論，在最大剪應(yīng)力方向會產(chǎn)生塑性流動，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中部分豎直的孔壁有偏轉(zhuǎn)趨勢，從而使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生新的不均勻的應(yīng)力分配。最終的結(jié)果是其中一部分傾斜孔壁的結(jié)點先進入屈服，而不是所有傾斜孔壁的結(jié)點同時達到屈服強度，這在應(yīng)力－應(yīng)變曲線上對應(yīng)的就是非線性上升階段。隨著應(yīng)力的增加，當(dāng)部分孔壁內(nèi)的局部應(yīng)力達到其彈性屈曲應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)內(nèi)將開始形成局部變形帶，這時蜂窩結(jié)構(gòu)達到其最大塑性坍塌應(yīng)力點。由于基體屈服強度為1.4 GPa的蜂窩結(jié)構(gòu)的塑性坍塌應(yīng)力比較接近彈性屈曲應(yīng)力，故其孔壁屈服與屈曲將會強烈地耦合在一起從而導(dǎo)致局部失穩(wěn)現(xiàn)象加劇，使結(jié)構(gòu)承載能力大大減弱，因此應(yīng)力－應(yīng)變曲線在過了最大點后迅速下降。圖3給出了在蜂窩結(jié)構(gòu)最大切應(yīng)力方向上形成的局部變形帶，該局部變形帶的形成，會使應(yīng)力逐漸穩(wěn)定在一個平臺區(qū)域，由于這里面涉及到孔壁的接觸等復(fù)雜問題，暫不考慮形成局部變形坍塌帶之后的應(yīng)力－應(yīng)變曲線。

圖3 彈塑性蜂窩中形成的局部變形帶示意圖Fig.3 Local deformation band diagram in elasto?plastic honeycombs

對于基體σy＝130 MPa的蜂窩，計算得到的曲線見圖2中的小圖，在最大應(yīng)力為0.63 MPa處達到屈服，比估算值0.65 MPa低了約3%。圖4為塑性坍塌時蜂窩孔壁的應(yīng)力云圖，可以看出，應(yīng)力主要集中在傾斜的孔壁上，并且在兩端結(jié)點處最先達到其屈服強度，從而使蜂窩結(jié)構(gòu)整體塑性坍塌；而豎直的孔壁中的應(yīng)力較小，小于其彈性屈曲應(yīng)力，故未發(fā)生彈性屈曲。與基體σy＝1.4 GPa的蜂窩材料不同的是，此時結(jié)構(gòu)的彈性屈曲應(yīng)力遠大于其塑性坍塌應(yīng)力，所以結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性坍塌以后不會引起屈曲失穩(wěn)現(xiàn)象，而是孔壁繞著端點處形成的塑性鉸發(fā)生旋轉(zhuǎn)。由于孔壁的塑性矩是定常值，而孔壁發(fā)生旋轉(zhuǎn)會致使力矩略有增大，因此其應(yīng)力會略有下降。

圖4 彈塑性蜂窩達到塑性坍塌強度時的應(yīng)力云圖（σy＝130 MPa）Fig.4 Stress nephogram of elasto?plastic honeycombs when reached the plastic collapsed strength

2.2 含集中孔洞缺陷的蜂窩材料的模擬結(jié)果

考慮了5%，10%，15%三種孔洞缺陷的模擬結(jié)果，圖5為含15%集中孔洞的蜂窩結(jié)構(gòu)的一階屈曲模態(tài)圖，可以看出由于孔洞的存在破壞了結(jié)構(gòu)的完整性，其附近會應(yīng)力集中，從而會影響蜂窩材料的變形機制。

圖5 含15%集中孔洞的蜂窩一階屈曲模態(tài)圖Fig.5 First buckling mode diagram of honeycombs

圖6 為含有集中孔洞的純彈性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線。從圖中可以看出，隨著孔洞所占比例的增大，蜂窩的彈性模量和彈性屈曲應(yīng)力都逐漸下降，15%的孔洞使彈性模量下降了20%，而彈性屈曲應(yīng)力則下降了33%左右。由于缺陷的存在，使蜂窩在孔洞附近提前發(fā)生局部屈曲，進而形成局部變形帶，所以應(yīng)力－應(yīng)變曲線中沒有完整結(jié)構(gòu)的整體屈曲后繼續(xù)上升的趨勢。相反，局部變形帶的產(chǎn)生會使應(yīng)力有所下降，最終其穩(wěn)定在一個平臺區(qū)域。

圖6 含集中孔洞的純彈性蜂窩的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.6 Compressive stress?strain curves of elastic honeycombs with concentrated holes

圖7 為含集中孔洞的彈塑性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線。從圖7（a）中可以看出，集中孔洞使其彈性模量和塑性坍塌應(yīng)力下降較大，15%的孔洞使其彈性模量下降了21.4%，而塑性坍塌應(yīng)力則下降了33.7%，相同比例的孔洞缺陷對彈性屈曲／塑性坍塌應(yīng)力的影響比對彈性模量的影響要大。與純彈性蜂窩不同的是，孔洞的存在雖然使結(jié)構(gòu)整體的承載能力下降，但是并沒有改變其主要的變形機制。隨著孔洞所占比例的增加，結(jié)構(gòu)的完整性被嚴重破壞，孔洞附近應(yīng)力集中效果明顯，故其附近孔壁會較早地進入屈服并進一步誘導(dǎo)豎直的孔壁發(fā)生屈曲，開始形成一個沿水平方向的局部變形帶，并導(dǎo)致應(yīng)力－應(yīng)變曲線在過了最大應(yīng)力后下降的趨勢有所緩和。從圖7（b）看到，集中孔洞使其彈性模量、塑性坍塌應(yīng)力及應(yīng)變都大幅下降，15%的孔洞使其彈性模量下降了22.8%，而塑性坍塌應(yīng)力則下降了34.0%。由此可見，對不同的基體組成的蜂窩材料，相同比例的孔洞對其力學(xué)性能的削弱作用相同。

圖7 含集中孔洞的彈塑性蜂窩的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.7 Compressive stress?strain curves of elasto?plastic honeycombs with concentrated holes

2.3 含分散孔洞缺陷的蜂窩材料的模擬結(jié)果

圖8 為含15%分散孔洞的蜂窩結(jié)構(gòu)的一階屈曲模態(tài)圖。可以看出，在離邊界距離最近的孔洞附近應(yīng)力集中效果最明顯，最先出現(xiàn)孔壁屈曲；其他孔洞附近的應(yīng)力集中效果則被弱化了。與集中分布的孔洞相比，分散孔洞對整個結(jié)構(gòu)完整性的破壞要小一些，故其對蜂窩結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響也要小一些。

圖8 含15%分散孔洞蜂窩的一階屈曲模態(tài)圖Fig.8 First buckling mode diagram of honeycombs with 15%scattered holes

可以看出，集中孔洞對彈性模量的降低更顯著，其線彈性階段的長度也明顯減少；并且15%的集中孔洞能使彈性屈曲應(yīng)力下降33%，而15%的分散孔洞使彈性屈曲應(yīng)力只下降了20%左右。圖10為含有集中和分散孔洞的彈塑性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線。對于基體σy＝130 MPa的蜂窩，15%的集中孔使塑性坍塌應(yīng)力下降33.7%，而15%的分散孔則只下降21%；而對于基體 σy＝1.4 GPa的蜂窩，集中和分散孔洞得出的結(jié)果之間的差異就變得比較小了。

圖9為含有集中孔洞和分散孔洞的純彈性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線。

圖10 含集中和分散孔洞的彈塑性蜂窩的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.10 Compressive stress?strain curves of elasto?plastic honeycombs with scattered and concentrated holes

圖9 含集中和分散孔洞純彈性蜂窩的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.9 Compressive stress?strain curves of elastic honeycombs with concentrated and scattered holes

2.4 含部分填充孔穴的蜂窩材料的模擬結(jié)果

選用板單元plane42來模擬填充孔穴，填充的孔穴起到了增強結(jié)構(gòu)承載能力的作用，由于在填充孔穴附近容易發(fā)生應(yīng)力集中，結(jié)構(gòu)的屈曲模式也由整體屈曲變?yōu)榫植壳Х€(wěn)。圖11為含5%填充孔穴的蜂窩材料的一階屈曲模態(tài)圖，由于填充孔穴的引入，結(jié)構(gòu)在承載能力最弱的那一層會最先發(fā)生屈曲變形。

圖11 含5%填充孔穴的蜂窩材料的一階屈曲模態(tài)圖Fig.11 First buckling mode diagram of honeycombs with 5%filled cells

圖12 為不同填充比例的純彈性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線?？梢钥闯?，隨著填充比例的增加，彈性模量急劇地增大，并且最大屈曲應(yīng)力也在增大。填充孔穴的引入，使得不再出現(xiàn)整體屈曲失穩(wěn)的情況，而是使局部區(qū)域內(nèi)的孔壁先發(fā)生失穩(wěn)。填充5%孔穴的蜂窩結(jié)構(gòu)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線在屈曲后不再上升，而是穩(wěn)定在一個平臺區(qū)域，從圖12右圖的變形示意圖中可以看出蜂窩中已經(jīng)開始出現(xiàn)局部失穩(wěn)變形帶。而當(dāng)填充孔穴20%時，結(jié)構(gòu)已經(jīng)很難再形成這種失穩(wěn)變形帶了，故其應(yīng)力－應(yīng)變曲線中沒有平臺區(qū)域，如圖12中最上面的曲線所示。圖13為不同填充比例的彈塑性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線?？梢钥吹?，填充孔穴的引入使彈塑性蜂窩材料的剛度得到較大的提高；同時，填充也引起了局部的應(yīng)力集中，從而使蜂窩提前進入塑性區(qū)。因此，填充比例越大，其應(yīng)力－應(yīng)變曲線中線彈性段越短，彈性極限也越低，相應(yīng)地彈性極限到塑性屈服點之間的曲線弧度明顯加大。

圖12 不同填充比例的純彈性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.12 Compressive stress?strain curves of elastic honeycombs with different fractions of filled cells

圖13 不同填充比例的彈塑性蜂窩材料的壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.13 Compressive stress?strain curves of elasto?plastic honeycombs with different fractions of filled cells

另外，從兩幅圖中完全不同的應(yīng)力響應(yīng)結(jié)果可以看出基體材料的屈服強度直接決定了填充后的蜂窩材料的力學(xué)性能。對于基體σy＝130 MPa的蜂窩，填充后其彈性模量增大的非?？欤瞧渌苄蕴鷳?yīng)力基本保持不變。這是由于結(jié)構(gòu)的屈服強度相比其屈曲應(yīng)力要低很多，因此當(dāng)局部有孔壁發(fā)生屈服后，不會誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)的局部屈曲失穩(wěn)，所以結(jié)構(gòu)可以保持在一個穩(wěn)定的塑性坍塌平臺區(qū)。對于蜂窩材料，當(dāng)整體結(jié)構(gòu)或其中某一層結(jié)構(gòu)失去承載能力時，其應(yīng)力－應(yīng)變曲線會進入平臺區(qū)：對完整的蜂窩材料，其平臺區(qū)代表的是結(jié)構(gòu)的整體失效（所有的傾斜孔壁端部都形成塑性鉸）；對填充比不大的蜂窩材料，由于填充孔穴在每一層的分布是隨機不均勻的，其平臺區(qū)代表結(jié)構(gòu)最弱的那一層達到失效（該層的傾斜孔壁端部都形成塑性鉸）。在這兩種失效形式下得到的結(jié)構(gòu)的靜平衡力非常接近，所以基體屈服應(yīng)力為130 MPa的蜂窩，在填充比例較小時，其平臺區(qū)應(yīng)力幾乎沒有降低。這里需要指出的是，當(dāng)填充比例較大時，結(jié)構(gòu)的失效將表現(xiàn)出很強的局部性，不再是某一層結(jié)構(gòu)失效，而是以未填充的孔穴為中心的局部區(qū)域發(fā)生失效。考慮到在實際蜂窩材料的生產(chǎn)加工中引入的填充孔穴比例較少，所以本文主要在較低的填充比下研究填充孔穴對蜂窩材料的彈塑性力學(xué)性能的影響，此時失效形式仍然為結(jié)構(gòu)最弱層先失效。對于基體σy＝1.4 GPa的蜂窩，結(jié)構(gòu)進入塑性失效后，其壓縮應(yīng)力－應(yīng)變曲線并沒有相對穩(wěn)定的平臺，而是急劇的下降，這一點在對完整蜂窩材料的分析中已詳細解釋。填充孔穴的引入使其塑性坍塌應(yīng)力降低了8%左右，而填充比例的不同卻對該塑性坍塌應(yīng)力影響不大。這是由于此時結(jié)構(gòu)的屈曲應(yīng)力比較接近其塑性坍塌應(yīng)力，而填充所導(dǎo)致的局部應(yīng)力集中使部分豎直孔壁先發(fā)生了屈曲，相當(dāng)于降低了結(jié)構(gòu)的承載能力，所以此時的塑性坍塌應(yīng)力比完整的情況小。同樣地，當(dāng)填充比例較小時，不同填充比的蜂窩雖然整體結(jié)構(gòu)變形完全不同，但最弱層的結(jié)構(gòu)變形卻基本相似（發(fā)生屈曲的豎直孔壁比例相當(dāng)），所以得到的塑性坍塌應(yīng)力也非常接近。與孔洞缺陷的影響所不同的是，填充孔穴對彈性模量的影響要遠大于其對屈曲／坍塌應(yīng)力的影響；對不同基體的蜂窩材料的彈性屈曲／塑性坍塌應(yīng)力，填充孔穴起到完全不同的效果。

3 結(jié)論

研究了兩種典型缺陷，即孔洞和填充孔穴對蜂窩材料純彈性及彈塑性力學(xué)行為的影響。對于含孔洞缺陷的蜂窩材料，比較了集中孔洞和分散孔洞對其應(yīng)力－應(yīng)變行為的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，集中孔洞對其力學(xué)行為影響更大，且它們的存在完全改變了材料的變形模式；對于含填充孔穴的蜂窩材料，其彈性模量得到顯著增強，純彈性蜂窩材料的屈曲應(yīng)力也得到增強，但彈塑性蜂窩的塑性坍塌應(yīng)力則保持不變或有所下降。

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