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      一類含有三角函數(shù)和絕對(duì)值的函數(shù)求導(dǎo)問題

      2017-03-14 10:43:27王志高
      科技視界 2016年27期
      關(guān)鍵詞:三角函數(shù)

      王志高

      【摘 要】介紹了了一類特殊表達(dá)式中的含三角函數(shù)和絕對(duì)值的函數(shù)求導(dǎo)問題,給出了該類問題可導(dǎo)的充要條件。

      【關(guān)鍵詞】求導(dǎo);三角函數(shù);絕對(duì)值;充要條件;導(dǎo)數(shù)定義

      求導(dǎo)問題是微積分中的一個(gè)重要內(nèi)容,在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上推演出了一系列的求導(dǎo)的公式和方法[1-2]。但是分段函數(shù)的求導(dǎo)一直是比較麻煩的問題,尤其是含有三角函數(shù)和絕對(duì)值的函數(shù)求導(dǎo)問題更是讓學(xué)生們困惑。本文就一類特殊的含三角函數(shù)和絕對(duì)值的求導(dǎo)問題展開討論。

      命題1:函數(shù)f(x)可導(dǎo),函數(shù)F(x)=f(x)(1+|sinx|),則f(0)=0是F(x)在[-1,1]內(nèi)可導(dǎo)的充要條件。

      證明:

      所以F(x)在[-1,1]內(nèi)可導(dǎo)等價(jià)于F(x)在0點(diǎn)可導(dǎo),即F'(0)=F'(0),等價(jià)于f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0),即f(0)=0。

      命題2:函數(shù)f(x)可導(dǎo),函數(shù)F(x)=f(x)(1+|sinx|),則f(0)=0不是F(x)可導(dǎo)的充要條件。

      證明:首先由已知條件顯然有函數(shù)f(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)集上可導(dǎo)、連續(xù)。

      其次根據(jù)函數(shù)sinx的性質(zhì)可以知道

      在實(shí)數(shù)集上可導(dǎo)的充要條件。

      進(jìn)一步,可以推廣到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式里面含有三角函數(shù)和絕對(duì)值的求導(dǎo)問題,該類問題的核心是在分段點(diǎn)上回到導(dǎo)數(shù)的定義去求解,并注意把握三角函數(shù)自身的一些屬性對(duì)求導(dǎo)的影響。

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]趙樹嫄.微積分(第三版)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007.

      [2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,高等數(shù)學(xué)(第六版上冊(cè))[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2007.

      [責(zé)任編輯:朱麗娜]

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