【摘要】笛卡爾認(rèn)為哲學(xué)思維是普遍的，能夠?qū)⑺袑W(xué)科統(tǒng)一于哲學(xué)，而實(shí)現(xiàn)知識大一統(tǒng)的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)。既然哲學(xué)能夠統(tǒng)一所有子學(xué)科的關(guān)鍵在于普遍數(shù)學(xué)，那么就需要進(jìn)一步辨析數(shù)學(xué)普遍性的基石，也即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是所謂的普遍數(shù)學(xué)并不一定如其所言完完全全具備必然有效性。既然普遍數(shù)學(xué)的方法并不可信，那么笛卡爾借由普遍數(shù)學(xué)方法構(gòu)建整個(gè)知識大廈也不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)檫@個(gè)統(tǒng)一所有學(xué)科知識的大一統(tǒng)體系同樣無法回答有限如何達(dá)到無限的詰難。

【關(guān)鍵詞】笛卡爾；普遍數(shù)學(xué)；數(shù)理邏輯；有限無限

一、引言

笛卡爾不僅僅是個(gè)偉大的哲學(xué)家，也是個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的哲學(xué)思想帶有濃厚的數(shù)學(xué)思維印記。在笛卡爾的哲學(xué)體系里，數(shù)學(xué)思維舉足輕重，甚至可以認(rèn)為，他將哲學(xué)思維數(shù)學(xué)化，同時(shí)也將數(shù)學(xué)思想納入了他的哲學(xué)大一統(tǒng)體系。笛卡爾認(rèn)為哲學(xué)思維是普遍的，能夠?qū)⑺袑W(xué)科統(tǒng)一于哲學(xué)，而實(shí)現(xiàn)知識大一統(tǒng)的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)，在于數(shù)學(xué)也像哲學(xué)一樣具有普遍性。

在笛卡爾的哲學(xué)系統(tǒng)里，數(shù)學(xué)的普遍性在于數(shù)學(xué)方法的普遍適用，數(shù)學(xué)能夠運(yùn)用于所有學(xué)科，并且能夠產(chǎn)生必然有效的真知識。既然哲學(xué)能夠統(tǒng)一所有子學(xué)科的關(guān)鍵在于普遍數(shù)學(xué)，那么就需要進(jìn)一步辨析數(shù)學(xué)普遍性的基石，也即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)進(jìn)行邏輯思考。研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的途徑是數(shù)理邏輯，數(shù)理邏輯研究的是數(shù)學(xué)的邏輯基石。

二、本體論到認(rèn)識論的轉(zhuǎn)換

笛卡爾是近代哲學(xué)之父。在笛卡爾之前，哲學(xué)的發(fā)展停留在本體論階段，本體論思維階段的哲學(xué)著重探討的是宇宙人生的本質(zhì)。本體論哲學(xué)嚴(yán)格區(qū)分了兩個(gè)世界——本體世界與現(xiàn)象世界，本體世界是現(xiàn)象世界的依據(jù)，現(xiàn)象世界變化依據(jù)本體世界的規(guī)律。本體世界是規(guī)律的領(lǐng)域，規(guī)律的領(lǐng)域就是邏各斯的領(lǐng)域，邏各斯是古代本體論思維哲學(xué)家追求的超驗(yàn)本體。邏各斯表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一方面是世界本身具備規(guī)律性，即是萬事萬物都具有規(guī)律性，一切事物的變化運(yùn)動(dòng)都有原因都依據(jù)必然的規(guī)律，另一方面是人的思維也具有理性，人具備邏各斯的精神，人的理性能夠認(rèn)識藏身經(jīng)驗(yàn)世界背后的規(guī)律。

對邏各斯的求索是哲學(xué)的終極目的。哲學(xué)能夠統(tǒng)一所有分支學(xué)科的依據(jù)是哲學(xué)對邏各斯的緊緊把握。古代本體論哲學(xué)家雖然有志于認(rèn)識邏各斯，卻不知道認(rèn)識邏各斯的途徑，于是哲學(xué)發(fā)展到近代，開啟了認(rèn)識論哲學(xué)時(shí)代。笛卡爾是近代哲學(xué)之父，他是第一個(gè)讓哲學(xué)本體論思維方式接受哲學(xué)認(rèn)識論思維模式批判的哲學(xué)家，他以主客二元對立的思維方法考察邏各斯的存在。笛卡爾認(rèn)識論哲學(xué)脫胎于古代本體論哲學(xué)，認(rèn)識論哲學(xué)與本體論哲學(xué)一樣也是求索邏各斯，求索普遍規(guī)律，構(gòu)建涵蓋所有知識分支的學(xué)術(shù)大一統(tǒng)體系，進(jìn)而掌控世間一切。

三、哲學(xué)大一統(tǒng)體系

大哲學(xué)家往往都有將所有知識統(tǒng)一于哲學(xué)的傾向，笛卡爾自然也不例外，他也想將哲學(xué)打造成終極學(xué)問，其他學(xué)問統(tǒng)統(tǒng)是大哲學(xué)的分支。在笛卡爾的哲學(xué)大一統(tǒng)體系里，哲學(xué)好似一棵枝繁葉茂的參天大樹，一棵樹大根深的知識大樹，樹根是形而上學(xué)，形而上學(xué)作為知識樹的樹根為其他知識提供根基，知識樹的樹干是物理學(xué)，也即是自然哲學(xué)，知識樹的枝葉是應(yīng)用學(xué)科。哲學(xué)為什么能夠統(tǒng)一所有千差萬別的學(xué)科。哲學(xué)大一統(tǒng)的關(guān)鍵不在于研究對象的統(tǒng)一，而在于研究方法的統(tǒng)一。哲學(xué)的研究方法是統(tǒng)一的，即是所有學(xué)科的研究方法是統(tǒng)一的，而這統(tǒng)一的研究方法正是數(shù)學(xué)。笛卡爾是一個(gè)哲學(xué)家，思考的是哲學(xué)問題，但他更是個(gè)數(shù)學(xué)奇才，他對哲學(xué)命題的求索帶有濃厚的數(shù)學(xué)氣息。

在笛卡爾看來，數(shù)學(xué)能夠作為所有學(xué)科的研究方法，不僅僅局限于自然科學(xué)，也能涵蓋人文學(xué)科。因此，數(shù)學(xué)方法是普遍的，對所有學(xué)科，對所有知識有效。而這普遍數(shù)學(xué)便成了笛卡爾哲學(xué)體系的核心。笛卡爾試圖以數(shù)學(xué)方法為途徑，慢慢構(gòu)建起整個(gè)知識大廈，將所有知識統(tǒng)一于哲學(xué)。因而，笛卡爾能夠建立大一統(tǒng)的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)是不是普遍有效的，這當(dāng)然要求數(shù)學(xué)本身邏輯的嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)本身是嚴(yán)密的，也即數(shù)學(xué)本身是無矛盾的，數(shù)學(xué)的基石是牢固的，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是扎實(shí)的，整個(gè)數(shù)學(xué)能夠自身統(tǒng)一于一個(gè)完備的體系。

四、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探究

對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究一直貫穿于數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中。縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，數(shù)學(xué)史大致可以劃分為三個(gè)階段，第一個(gè)是以歐幾里得為基石的初等數(shù)學(xué)階段，第二個(gè)是以皮亞諾算術(shù)為基石的古典數(shù)學(xué)階段，第三個(gè)是以ZFC集合論為基石的現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段。數(shù)學(xué)家對于數(shù)學(xué)基石的求索從未停下腳步。數(shù)學(xué)史三個(gè)階段對比，后一個(gè)階段總比前一個(gè)階段更為內(nèi)涵深厚，第三個(gè)階段ZFC集合論仍舊處于變動(dòng)發(fā)展之中，尚未完完全全成型。對數(shù)學(xué)歷史發(fā)展第三階段的探討形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的核心問題。集合論認(rèn)為集合是數(shù)學(xué)的基石，數(shù)學(xué)的大廈奠基于集合論，數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)在于集合。

樸素集合論的創(chuàng)始人康托爾試圖用集合思想構(gòu)建整個(gè)數(shù)學(xué)體系。邏輯學(xué)家羅素在運(yùn)用康托爾集合論解決自然數(shù)數(shù)列問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論。他將這個(gè)悖論告知另一個(gè)邏輯學(xué)家弗雷格。弗雷格得知后大為吃驚，原來康托爾的樸素集合論并不是完備的，還不能為數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基石，其自身內(nèi)部尚且存在悖論自相矛盾。皮亞諾算術(shù)是古典數(shù)學(xué)的基石，集合論既然是比皮亞諾算術(shù)更高階段的理論，自然應(yīng)當(dāng)能夠涵蓋皮亞諾算術(shù)，即皮亞諾算術(shù)能夠由集合論表示。皮亞諾算術(shù)是自然數(shù)的邏輯。弗雷格研究自然數(shù)時(shí)，他將自然數(shù)表示為集合的形式，他先將集合劃分為兩個(gè)類別，一類是與自己相等的集合，另一類則是與自己不相等的集合。按照此種劃分方法，弗雷格將數(shù)0定義為所有與自己不相等的集合所構(gòu)成的集合，數(shù)1定義為所有與0相等同的集合，數(shù)2定義為所有與0相等同的集合和所有與1相等同的集合所組成的集合，依此類推，依照這個(gè)方式就可以定義一切自然數(shù)。

弗雷格對于自然數(shù)的這個(gè)定義方案存在一個(gè)悖論，羅素發(fā)現(xiàn)了這個(gè)悖論，爆發(fā)了關(guān)于集合論研究的風(fēng)暴。弗雷格方案的悖論在于是否存在與自己不相等的集合。如果這個(gè)集合真實(shí)存在，那它究竟與自己相等還是不相等，此處便會(huì)生成悖論。如果這個(gè)集合與自己相等，那么它就是與自己不相等的集合，因?yàn)榘凑者@個(gè)集合的定義它就是與自己不相等的集合；如果這個(gè)集合與自己不相等，那么它就成了與自己相等的集合，因?yàn)榕c自己不相等正好符合這個(gè)集合的定義。這個(gè)悖論的實(shí)質(zhì)是假如X等于X，那么X不等于X，假如X不等于X，那么X等于X。

以羅素悖論為代表的一系列集合悖論的出現(xiàn)，使得康托爾樸素集合論搖搖欲墜，因?yàn)橄破鹆藢τ跀?shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的熱潮。在此期間產(chǎn)生了數(shù)學(xué)三大派系，一是以弗雷格，羅素為代表的邏輯主義，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯，數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)的所有原始概念都可以用邏輯概念定義，可以用邏輯規(guī)則構(gòu)建起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，邏輯完全能夠?yàn)閿?shù)學(xué)的可靠性奠基。一是以布勞威爾為代表的直覺主義，直覺主義者對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的看法與邏輯主義恰好相反。直覺主義認(rèn)為數(shù)學(xué)的基石是心靈的直覺而不是邏輯，數(shù)學(xué)并不依賴邏輯，相反邏輯倒要依賴數(shù)學(xué)。至于無限的問題，直覺主義堅(jiān)持無限的潛在性，反對實(shí)無限。直覺主義的口號是“存在在于構(gòu)造”，數(shù)學(xué)命題的真理性在于其可以被構(gòu)造。一是以希爾伯特為代表的形式主義，希爾伯特解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的方案是與邏輯主義、直覺主義不同的，但又以它們二者為基礎(chǔ)，在他們兩派的基礎(chǔ)上形成自己的思想體系。希爾伯特形式主義的核心思想是試圖用有限的方法解決包含無限概念的古典數(shù)學(xué)的可靠性問題。

希爾伯特的形式主義方案并沒有實(shí)現(xiàn)，哥德爾不完備性定理的出現(xiàn)終結(jié)了形式主義構(gòu)建完備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理想。哥德爾不完備性定理認(rèn)為形式算術(shù)的任一遞歸擴(kuò)張假如是無矛盾的，那么這個(gè)形式系統(tǒng)是不完備的。形式系統(tǒng)的無矛盾性是指系統(tǒng)內(nèi)部的任何推導(dǎo)都不能出錯(cuò)，不能出現(xiàn)自相矛盾的命題，不能出現(xiàn)二律背反。完備性是指形式系統(tǒng)內(nèi)的所有命題都能夠被證明，在系統(tǒng)內(nèi)部能夠被判定真?zhèn)巍?/p>

五、有限與無限的悖論

哥德爾不完備性定理的出現(xiàn)終結(jié)了數(shù)學(xué)三大派別的爭論。這個(gè)定理闡明形式系統(tǒng)的無矛盾性與完備性不可兼得。哥德爾不完備定理使得對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探究更深一步。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)或許注定不能做到完備，總會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)本身不能解決的悖論，而造成此種困境的根源應(yīng)該是有限與無限的悖論。有限的經(jīng)驗(yàn)歸納如何能夠達(dá)到無限的真理。真理具有無限性，無限性體現(xiàn)在其普遍必然的有效性。但人們對于真理的認(rèn)識依賴于對經(jīng)驗(yàn)的歸納提煉，但經(jīng)驗(yàn)畢竟是有限的，經(jīng)驗(yàn)之外的世界我們一無所知。

經(jīng)驗(yàn)論者休謨對于知識的懷疑不無道理。知識的得出源自經(jīng)驗(yàn)的提煉，當(dāng)人們看到自己所見的烏鴉都是黑色后得出了“烏鴉是黑色的”這個(gè)知識，但所有烏鴉都是黑色的嗎？萬一見到一只白色烏鴉呢。因此，經(jīng)驗(yàn)總是個(gè)別的累積，不可能得到全面的真理，由部分推導(dǎo)出整體顯然不合理。休謨進(jìn)一步認(rèn)為，所謂的客觀規(guī)律其實(shí)并不必然，它們僅僅是人們一廂情愿的心理聯(lián)系。在人們歷經(jīng)的經(jīng)驗(yàn)世界里，在一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事物出現(xiàn)后總會(huì)出現(xiàn)另一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事物，如此反復(fù)，人們自然而然形成慣性思維，這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)事物存在著聯(lián)系，而且是因果聯(lián)系，先出現(xiàn)的事物是原因，后出現(xiàn)的事物是結(jié)果。因而所謂規(guī)律無非是人的主觀聯(lián)想而已。

六、結(jié)論

休謨關(guān)于真理的解釋切斷了有限經(jīng)驗(yàn)通往無限的超驗(yàn)真理的道路，有限與無限的悖論不可解決，二者矛盾不可調(diào)和。有限與無限的悖論是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中最為根本的矛盾，它的存在使得數(shù)學(xué)無法找到自己牢不可破的根基，數(shù)學(xué)的根基不牢那么數(shù)學(xué)方法的普遍性就值得懷疑，所謂的普遍數(shù)學(xué)并不一定如其所言完完全全具備必然有效性。既然普遍數(shù)學(xué)的方法并不可信，那么笛卡爾借由普遍數(shù)學(xué)方法構(gòu)建整個(gè)知識大廈實(shí)現(xiàn)哲學(xué)體系大一統(tǒng)的理想也并不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)檫@個(gè)統(tǒng)一所有學(xué)科知識的大一統(tǒng)體系同樣無法回答有限如何達(dá)到無限的詰難。

【參考文獻(xiàn)】

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[5] 趙 崢， 劉文彪. 廣義相對論基礎(chǔ)[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2014.

【作者簡介】

章宦波（1990—），男，浙江溫州人，遼寧大學(xué)哲學(xué)與公共管理學(xué)院碩士研究生在讀，主要研究方向：科學(xué)技術(shù)哲學(xué)。