●梁昌金 (壽縣第一中學(xué) 安徽壽縣 232200)

一道高中聯(lián)賽題的探究及其一般化*

●梁昌金 (壽縣第一中學(xué) 安徽壽縣 232200)

文章給出2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)預(yù)選賽第13題的4種證明，然后對(duì)結(jié)論作了類(lèi)比，獲得3個(gè)新命題，最后對(duì)獲得的結(jié)論進(jìn)行了一般化的探究，通過(guò)合理的證明，進(jìn)而得到更完美的結(jié)論.

高中聯(lián)賽；幾何不等式；類(lèi)比探究；一般化

題目 如圖1所示，△ABC為銳角三角形，外接圓圓心為O，半徑為R，AO的延長(zhǎng)線交△BOC的外接圓于點(diǎn)A′，BO的延長(zhǎng)線交△AOC的外接圓于點(diǎn)B′，CO的延長(zhǎng)線交△AOB的外接圓于點(diǎn)C′，求證：OA′·OB′·OC′≥8R3.

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)預(yù)選賽試題第13題)

試題圖形簡(jiǎn)潔優(yōu)美，激發(fā)了筆者的探究欲望.從不同的角度運(yùn)用圖形特征，建立相關(guān)量之間的聯(lián)系，可以得到不同的證明方法.

1 證法探究

以下證法1～證法3是對(duì)結(jié)論的一種等價(jià)性變換代數(shù)化證明[1]，證法4是通過(guò)添加輔助線，利用三角法的直接證明.

證法1 如圖2所示，設(shè)AO,BO,CO分別交對(duì)邊BC,CA,AB于點(diǎn)D,E,F.由點(diǎn)B,O,C,A′共圓，知

∠OBD=∠OCB=∠OA′B,

從而

△OBD∽△OA′B，

于是

即

同理可得

因此

x+y+z=1.

同理可得

OA′·OB′·OC′≥8R3，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

證法2 如圖2所示，設(shè)AO,BO,CO分別交對(duì)邊BC,CA,AB于點(diǎn)D,E,F，△OBC，△OCA,△OAB的面積依次為x，y，z,則

從而

同理可得

同證法1可得

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC為等邊三角形.故OA′·OB′·OC′≥8R3，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

從而

同證法1可得

x(1+y)·y(1+z)·z(1+x)=

xyz(1+x)(1+y)(1+z)≥

圖3

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC為等邊三角形.于是

OA′·OB′·OC′≥8R3，

當(dāng)且僅當(dāng)為△ABC等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

證法4 如圖3所示，作△BOC外接圓的直徑OD，聯(lián)結(jié)A′D，CD，則

∠OA′D=∠OCD=90°,

從而

又易知OD⊥BC，得

從而 ∠A′OD= 180°-∠COD-∠COA=

180°-∠A-2∠B=

∠C-∠B,

同理可得

sin2A>0, sin2B>0, sin2C>0,

于是，由均值不等式得

以上3個(gè)式子相乘得

(sin2A+sin2B)(sin2B+sin2C)(sin2C+sin2A)≥

8sin2A·sin2B·sin2C,

當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC為等邊三角形.故

OA′·OB′·OC′≥8R3，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

2 類(lèi)比探究

類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人.聯(lián)賽題給出了銳角三角形外心的一個(gè)優(yōu)美幾何不等式，若將外心O替換成△ABC的垂心H、內(nèi)心I、重心G，是否具有相似的結(jié)論呢[2]？答案是肯定的，以下筆者給出垂心時(shí)的證明，限于篇幅，內(nèi)心、重心相關(guān)結(jié)論的證明不再贅述，留給有興趣的讀者探究.

命題1 若點(diǎn)H為銳角△ABC的垂心，AH的延長(zhǎng)線交△BHC的外接圓于點(diǎn)A′，BH的延長(zhǎng)線交△AHC的外接圓于點(diǎn)B′，CH的延長(zhǎng)線交△AHB的外接圓于點(diǎn)C′，則

HA′·HB′·HC′≥8HA·HB·HC.

命題2 若點(diǎn)I為銳角△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交△BIC的外接圓于點(diǎn)A′，BI的延長(zhǎng)線交△AIC的外接圓于點(diǎn)B′，CI的延長(zhǎng)線交△AIB的外接圓于點(diǎn)C′，則

IA′·IB′·IC′≥8IA·IB·IC.

命題3 若點(diǎn)G為銳角△ABC的重心，AG的延長(zhǎng)線交△BGC的外接圓于點(diǎn)A′，BG的延長(zhǎng)線交△AGC的外接圓于點(diǎn)B′，CG的延長(zhǎng)線交△AGB的外接圓于點(diǎn)C′，則

GA′·GB′·GC′≥8GA·GB·GC.

圖4

命題1的證明 記△ABC的外接圓半徑為R.如圖4所示，設(shè)BH與AC相交于點(diǎn)E.

在Rt△AEH中,

2RcosA,

同理可得HB=2RcosB，HC=2RcosC.

在△A′BH中，易知

從而 ∠A′BH= ∠A′BC+∠CBH=

∠A′HC+∠CBH=

在△A′BH中，由正弦定理得

從而

HA′=2Rcos(B-C),

同理可得HB′=2Rcos(C-A),

HC′=2Rcos(A-B).

于是

同理可得

因此

HA′·HB′·HC′≥8HA·HB·HC，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

3 一般化的結(jié)論

上述聯(lián)賽題和3個(gè)命題給出了三角形4個(gè)特殊點(diǎn)的一種統(tǒng)一結(jié)論.一個(gè)自然的想法是:若將外心O、垂心H、內(nèi)心I、重心G一般化為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P，是否具有相似的結(jié)論？即PA′·PB′·PC′≥8PA·PB·PC是否成立[3]？答案是肯定的.

命題4 若點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AP的延長(zhǎng)線交△BPC的外接圓于點(diǎn)A′，BP的延長(zhǎng)線交△APC的外接圓于點(diǎn)B′，CP的延長(zhǎng)線交△APB的外接圓于點(diǎn)C′，則

PA′·PB′·PC′≥8PA·PB·PC.

圖5

證明 如圖5所示，設(shè)∠BPA′=α,∠CPA′=β,∠CPB′=γ,由托勒密定理知

PA′·BC=PB·A′C+PC·A′B.

在△A′BC中，應(yīng)用正弦定理得

從而

于是

PA′·PB′·PC′≥8PA·PB·PC.

[1] 梁昌金.一類(lèi)幾何競(jìng)賽題的代數(shù)化證明[J].數(shù)學(xué)通訊：下半月，2015(12):57-59.

[2] 梁昌金.第2130號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)證及其類(lèi)比[J].數(shù)學(xué)通訊：下半月，2016(4):63-65.

[3] 梁昌金.2道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的證明[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(6):48-封底.

??2016-10-21；

2016-11-25

梁昌金(1981-)，男，安徽壽縣人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-48-03